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八年级阶段质量抽测
数学
2024.10
（本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟）
注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1．下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．观察下图中尺规作图的痕迹，在中，线段一定是（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
3．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ）
A．SAA B．ASA C．AAS D．SSS
4．如图，，，添加一个条件，不能直接证明的是（ ）
A． B． C． D．
5．等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．李老师做了个长方形教具，其中两边长分别为和，则该长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
9．如图，在中，，垂直平分交于点．若的周长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，与交于点，过点作直线．和关于直线对称，点，的对称点分别是点，，连接，．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算的结果为________．
12．计算________．
13．已知，，则________．
14．如图，在和中，，，，则________．
15．如图，在中，，，，，，则的长度为________．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（本小题10分）
计算：（1）；（2）．
17．（本小题6分）
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．
（1）在图中画出关于轴对称的；
（2）直接写出，，的坐标．
18．（本小题7分）
如图，点在上，点在上，，．求证：．
19．（本小题8分）
如图，是的外角，．
（1）请作出的角平分线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
（2）求证：．
20．（本小题9分）
阅读材料：
如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小．
“智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长．
（图1） （图2） （图3）
如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可．
（1）请完成图3中的证明；
（2）如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________；
（3）如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________．
（图4） （图5）
21．（本小题10分）
定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．
（1）若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由；
（2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值．
22．（本小题13分）
如图1，在中，，点在上，点在延长线上，．
（图1） （图2） （图3）
（1）求证：；
（2）如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度．
23．（本小题12分）
通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型建立】
（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
（图1）
【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点坐标是，点，．且，连接．求的度数；
【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点坐标为，点在直线上，点在轴上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．
（图2） （图3）
八年级阶段质量抽测数学答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．D 8．A 9．B 10．A
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11． 12． 13． 14．110 15．9
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（本小题10分）
计算：（1）；
． 5分
（2）．
， 4分
． 5分
17．（本小题6分）
（1） 3分
（2）点的坐标为； 4分
点的坐标为； 5分
点的坐标为． 6分
18．（本小题7分）
在和中
． 5分
． 7分
19．（本小题8分）
（1） 4分
（2），． 5分
，． 6分
，． 7分
． 8分
20．（本小题9分）
（图3）
直线是点，的对称轴，点，在上（评卷时要强调），
，， 2分
． 3分
在中，， 4分
． 5分
即的值最小．
（2）则的最小值是4； 7分
（3）的最小值是4.8． 9分
21．（本小题10分）
（1）
2分
3分
4分
，是的“好多项式” 5分
（2）
． 7分
当时 ， 9分
当时 ， ． 10分
22．（本小题13分）
（1），． 1分
同理． 2分
，，． 3分
（图1）
（2），． 4分
，，
．
． 5分
是等边三角形．，．
在上取点，使，连接，是等边三角形． 6分
，．
．
在和中
．． 7分
，，．． 8分（其余方法，备课组自行赋分）
（3）方法一：，． 9分
．，，．
． 10分
延长至点，使，连接，
在和中
． 11分
，．．
，．
在和中
． 12分
．
，． 13分
方法二：延长至点，使，连接．证．再证两次全等即可．（方法一，二都可以在得到具体角度的情况下再做辅助线）
方法三：先证，，得到，作，证两次全等即可．
（其余方法，备课组自行赋分）
23．（本小题12分）
（1）________________，________________． 2分
（2）过点作于点，．
，．
．
，．． 3分
在和中
4分
，．
，，，，．
，．．．
． 5分
即 6分
（其余方法，备课组自行赋分，但利用了直线解析式，解析式部分不给分）
（3）点G的坐标为， 12分（每个1.5分，只对一个2分，只对三个5分）
①当
②当
同理
③当

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