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圆
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，下列判断正确的是( )
A.与x轴相交 B.与y轴相切
C.点O在外 D.点在内
2.下列说法正确的是( )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.圆是轴对称图形,任何一条直径都是圆的对称轴
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.等弧所对的弦必相等
3.如图,点,,,在上,是的一条弦,则( ).
A. B. C. D.
4.有一题目：“已知和有相同的外心，，求.”两人的说法如下：甲：的度数是；乙：甲考虑的不全，的度数还应有一个不同的值.下列判断正确的是( )
A.甲和乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲和乙都错
5.如图，P为外一点，PA、PB分别切于点A、B，CD切于点E，分别交PA、PB于点C、D，若，则的周长为( )
A.8 B.6 C.12 D.10
6.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点同时从原点O出发,点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方向运动,点B以每秒1个单位长的速度沿y轴的正方向运动,设运动时间为t秒,以为直径作圆,圆心为点P.在运动的过程中有如下5个结论：
①的大小始终不变；
②始终经过原点O；
③半径的长是时间t的一次函数；
④圆心P的运动轨迹是一条抛物线；
⑤始终平行于直线.
其中正确的有( )
A.①②③④ B.①②⑤ C.②③⑤ D.①②③⑤
7.如图，AB为的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是( )
A.9.6 B. C. D.10
8.在中，，，.点O为边AB上一点（不与A重合），是以点O为圆心、AO为半径的圆.当与三角形边的公共点个数为3时，OA的取值范围为( )
A.或 B.或
C. D.或
9.如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人,它的俯视示意图如图②所示,的直径为40cm,毛刷的一端固定在点M处,另一端为动点P,,毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A,B,且A,M,B三点在同一条直线上,则该毛刷能扫到区域的面积(阴影部分)是( )
A. B.
C. D.
10.中，，是的外接圆，于点D，关于点D对称得到.若线段与有两个公共点，则满足的条件是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为_________.
12.如图，AC是的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是的内接正十边形的一边，若AB是的内接正n边形的一边，则____.
13.如图,与相切于点B,连接交于点E,过点B作交于点F,连接,若,则的度数为______.
14.如图,正六边形的边长为6,以顶点A为圆心,的长为半径画圆,则：
(1)图中阴影部分的面积为______；
(2)直线与圆A的位置关系是______.
15.如图，在中，，，D为上一点，E为上一点，若，则的最小值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图所示,以的顶点A为圆心,为半径作圆,分别交,于点E,F,延长交于G.
(1)求证：；
(2)若劣弧所对圆心角的度数为,求的度数.
17.（8分）作图题
如图,在中,已知.
(1)尺规作图：画的外接圆(保留作图痕迹,不写画法)
(2)连接,；若,,求的长.
18.（10分）如图,在中,半径,过OA的中点C作交于D、F两点,且,以O为圆心,OC为半径作,交OB于E点.
(1)求的半径OA的长；
(2)计算阴影部分的面积.
19.（10分）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看得到的平面图形如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看得到的平面图形如图2，其中，中间的正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，则图2中：
（1）___________°；
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为___________.（结果保留根号）
20.（12分）关于x的一元二次方程,如果a、b、c满足且,那么我们把这样的方程称为“勾系方程”,请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根.
(2)如图,已知、是半径为5的的两条平行弦,,,且关于x的方程是“勾系方程”.
①求的度数,
②直接写出的长：_____________(用含a、b的式子表示).
21.（12分）课本改编
(1)如图1,四边形为的内接四边形,为的直径,则______度,______度.
(2)如果的内接四边形的对角线不是的直径,如图2,求证：圆内接四边形的对角互补.
知识运用
(3)如图3,等腰三角形的腰是的直径,底边和另一条腰分别与交于点D,E,F是线段的中点,连接,求证：是的切线.
答案以及解析
1.答案：C
解析：圆心，
到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，
的半径为2，
与x轴相离，与y轴相交，故选项A、B错误；
由，
则点O在外，故选项C正确；
设，
，
则点在上，故选项D错误；
故选：C.
2.答案：D
解析：A.平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,故该选项错误；
B.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,故该选项错误；
平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,所以B选项错误；
C.在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,故该选项错误；
D.同弧或等弧所对的圆周角相等,故该选项正确；
故选：D.
3.答案：D
解析：连接CD,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
故选：D.
4.答案：C
解析：
画出图形，当点D，C在的不同侧时，
，
；
当点D，在的同一侧时，
，
综上所述，的度数为或，
甲错乙对，
故选：C.
5.答案：C
解析：∵PA、PB分别切于点A、B，CD切于点E，
，，，
，
即的周长为12，
故选：C.
6.答案：D
解析：依题意,,
∴,
∴的大小始终不变,故①正确；
如图,连接,
∴,
∴始终经过原点O,故②正确
∵
∴半径的长是时间t的一次函数,故③正确；
∵
∴圆心的运动轨迹是一条直线；故④不正确
∵,,
设直线的解析式为,
则,
解得：,
∴直线的解析式为
∴始终平行于直线,故⑤正确.
故选：D.
7.答案：A
解析：∵，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
∴，即：，
∴，
，
.
故选：A.
8.答案：B
解析：如图所示，在圆心O从到的过程中，与三角形边的公共点个数为3，当圆心O恰好到达，时，与三角形边的公共点个数变为4，过点作于点D，则.在中，，，，，设，则，，即，得，经检验，是原分式方程的解，当时，与三角形边的公共点个数为3，当点O为AB的中点时，与三角形边的公共点个数为3，此时.综上，当或时，与三角形边的公共点个数为3.
9.答案：C
解析：如图,连接,,,由题意可知点M是点A,P,B所在圆的圆心.
∵A,M,B三点在同一条直线上,
∴是的直径,
∴.
∵的直径为40cm,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴.
∴,
∴,
∴.
故选：C.
10.答案：C
解析：如图，当与切于点F时，此时线段与有且只有一个公共点，
连接，，
是的外接圆，于点D，
为直径，，
，
关于点D对称得到，
，
，
；
当从点B在中点时，由题意可知，，为等腰直角三角形，
，
；
此时，点E与点C重合，线段与有两个公共点，
此时当点B继续逆时针向点A运动时（不与A重合），线段与有且只有一个公共点，
综上，线段与有两个公共点时，满足的条件是.
故选：C.
11.答案：
解析：六边形是正六边形，
，
，
故答案为：.
12.答案：15
解析：连接OB，是的内接正六边形的一边，
，
是的内接正十边形的一边，
，
，
即，，
故答案为15.
13.答案：/25度
解析：连接,
∵与相切于点B,
∴,
∵,,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
故答案为：.
14.答案：(1)
(2)相切
解析：(1)∵六边形是正六边形,
∴,,
∴阴影部分的面积,
故答案为：.
(2)连接,
∵六边形是正六边形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵是圆A的半径,
∴是圆A的切线,
∴直线与圆A的位置关系是相切
故答案为：相切
15.答案：
解析：以的中点O为圆心，的长为半径作圆，连接，如图，
，
点D在上，
当CE最小时，即最小，
当时，最小，即CE最小，
设，则，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
CE的最小值为；
故答案为：.
16.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图,连接,
为圆心,
,
,
四边形为平行四边形,
,
,,
,
；
(2)∵劣弧所对圆心角的度数为,
,
,
四边形为平行四边形,
,
.
17.答案：(1)图见解析
(2)
解析：(1)如图所示,即为所求；
(2)∵
∴,
∵,,即,
解得：或(负值舍去).
18.答案：(1)⊙O的半径OA的长为2
(2)阴影部分的面积为
解析：(1)连接OD,如图,
∵,,
∴,
∵C为OA的中点,
∴.
在中,,
∴,
∴,
∴,
∴的半径OA的长为2；
(2)∵,
∴,
∴,
,
,
.
19.答案：（1）30
（2）
解析：（1）根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和为360°，
得.
（2）设中间正六边形的中心为O，如图，
由题意得，，，
四边形ABFG为矩形，，
又，，
，.
在中，，，
则，由正六边形的结构特征知，
，，
.
又，，.
20.答案：(1)证明见解析
(2)①
②
解析：(1)证明：关于x的一元二次方程是“勾系方程”,
且,,
,
,
,
方程必有实数根；
(2)①,理由如下：
作于E,延长交于F,连接,,
,
,
,,
,
,
是“勾系方程”,
,
；
,
；
,
,
,
,
.
②如图所示,过点D作的垂线,垂足为G,则四边形是矩形,
∴,
∵,则
∴
故答案为：.
21.答案：(1)90,180
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)∵四边形为的内接四边形,为的直径,
∴度,
∵
∴
故答案为：90,180
(2)证明：如图,连接并延长,交于点E,连接,
由(1)可知,,,
,
,
即圆内接四边形的对角互补
(3)证明:连接,,如图所示.
,
,
四边形是圆内接四边形,
,
是线段的中点,
是的半径,
是的切线.

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