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专题三 一次方程组的应用
【知识点】
1. 列方程组解应用题的关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意解的合理性. 主要应用有：
(1) 在实际数学问题中，构造二元一次方程组解决有关问题：
(2) 能从图表中获得有关信息，列二元一次方程组解决问题.
2. 一次方程组的应用策略：
(1) 有些问题需要根据题意分成若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合.
(2) 当题目中的量比较多，仅设一两个未知数难以求解时，恰当地增设未知数，设而不求，联系转化，可使问题化难为易.
(3) 在题目所给的条件无法求出每一个未知量时，通常要将题目最终所求的看成一个整体，利用已知条件进行恰当的变形求出这个整体.
题型 1 方案选择问题
【例1】已知：用两辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨； 用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨. 某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨
(2) 请你帮该物流公司设计租车方案；
(3) 若A 型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次. 请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
举一反三。
1. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000元； 经粗加工后销售，每吨利润可达4500元； 经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农产品公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨； 如果进行精加工，每天可加工 6吨. 但两种加工方法不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部加工或销售完毕，为此公司研制了三种处理方案：方案一，将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三，将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在 15天内完成. 你认为哪种方案能获利最多 为什么
题型2 分类讨论问题
【例2】某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数(千克) 不超过20 千克 20千克以上但不超40千克 40千克以上
每千克价格 6元 5元 4元
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付出264元. 请问：张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克
举一反三。
2. 某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数m 0200
收费标准/(元/人) 90 85 75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动. 已知甲校报名参加的学生人数多于 100，乙校报名参加的学生人数少于100. 经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费 18000元.
(1) 两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200吗 为什么
(2) 两所学校报名参加旅游的学生各有多少人
题型3 设而不求
【例3】有一只小船顺流行驶，从甲地到乙地需6小时，逆流行驶这段距离需8小时，现有一木排顺流漂下，由甲地至乙地需几小时
举一反三。
3. 防汛指挥部决定冒雨排一个蓄水池中的水，假设每分钟降雨量相同，每台水泵的排水量也相同，若开两台水泵需40分钟排完积水，若开4台水泵则需16分钟排完积水，若开6台水泵，则需几分钟排完积水
题型4 整体求解
【例4】甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多 (多的比少的) 多几道题
举一反三。
4. 有甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱； 若购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件，共需多少元钱
题型5 一次不定方程组问题
【例5】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2 分. 小明共套 10次，每次都套中了，且每个小玩具都至少被套中一次. 小明套 10次共得61分，则小鸡至少被套中几次
举一反三。
5. 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总个数是365，则三个小组共有多少名同学

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