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专题二 平行线的判定与性质
【知识点】
1. 平行线中常用的结论：
(1) 在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交；
(2) 在同一平面内不相交的两条直线互为平行线；
(3)两条平行线被第三条直线所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，反之也成立；
(4) 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行；
(5) 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
(6) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
2. 平行线中的常见“模型”：
(1) 铅笔模型: 若a∥b, 则∠1+∠2+∠3=360°
(3) 其他模型:
若a∥b, 则∠1=∠2+∠3 若a∥b, 则∠3=∠1+∠2
注意：遇到带有“折线”“拐角”类的题目，解决问题的办法一般是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自然得到解决.
3. 等积变形：
(1) 几何图形面积计算问题的题型较多，解题最常用的就是转化思想，即将不规则的组合图形，通过分、合、移、补、转等变形转化为规则的几何图形，然后利用图形的面积公式进行计算.
(2) 可以利用平行线间的距离处处相等，同底等高的两三角形面积相等来解决有关面积转化的问题.
(3) 蝴蝶模型:
如图①, 已知AB∥CD, 则S△ACD与S△BCD的大小关系是
如图②, 已知AB∥CD, 则S△ACO与S△BDO的大小关系是.
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题型1 平行线的判定方法
【例1】如图所示，已知. 求证： (试用三种方法证明)
举一反三。
1. 如图所示，已知. 求证 (用两种方法证明)
【例2】如图所示，已知. 试用p,q, y米表示x.
举一反三。
2. 如图所示，已知. 点M、N分别为两直线上的点，点E，F为两直线内部的点，求证：
题型3 平行线的性质和判定的综合应用
【例3】如图所示，已知∠ 求 的度数.
3. 如图所示, 已知∠1=25°, ∠2=45°, ∠3=30°, ∠4=10°, 试说明直线AB∥CD.
题型4 基本图形的变式
【例4】如图所示, AB∥CD, EM是∠AMF的平分线, NF是∠CNE的平分线, EN, MF交于O点.
(1) 若∠AMF=50°, ∠CNE=40°, 分别求∠E, ∠F的度数;
(2) 若图中∠E+60°=2∠F, 求∠AMF的度数;
(3) 探究∠E, ∠F与∠MON之间的数量关系.
举一反三。
4. (1)如图①所示, AB∥CD, ∠DCE=60°, ∠E=20°, 求∠ABE的度数;
(2) 如图②所示, 已知AB∥CD, ∠EBF=2∠ABF, CF平分∠DCE, 若2∠F--∠E=10°, 求∠ABE的度数.
题型5 设未知数求定角
【例5】如图①所示, 直线MN与直线AB, CD分别交于点E, F, AB∥CD,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P, EP的延长线与CD交于点G, 点 H是MN上一点, 且GH⊥EG.
(1) 求证:
(2) 如图②所示, 连接PH, K是GH上一点, 作PQ平分∠EPK, 问. 的大小是否发生变化 若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由.
举一反三。
5. 如图所示，已知 点 P 是射线AM 上一动点 (与点 A 不重合)， 和 的平分线分别交射线 AM 于点C，D. 的平分线与 的平分线交于点 H，在点 P运动的过程中， 与 的比值是否变化 若不变，请求出这个比值； 若变化，请找出其变化规律.
题型6 求角的和、差、倍、分为定值
【例6】如图所示， 与 的角平分线交于点 G， 已知 求 的值.
举一反三。
6. 已知点A, C为射线l上两点, 且.
(1) 如图①所示, 点E在线段AC上, 求证:
(2) 如图②所示, 若点E, F在线段AC 上, 且. DE 平分 求 的度数.
题型7 按照点的不同位置关系分类讨论求角
【例7】(1) 如图①所示, F是OC边上一点, 求证:
(2) 如图②所示, OC平分 点 D, E在射线 OA, OC 上, 点 P 是射线 OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点 F，设 若 是否存在这样的x的值，使得 若存在，求出x的值； 若不存在，说明理由.
举一反三。
7.(1) 如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少 求这两个角的度数.
(2) 如图所示, 直线 EF 与直线 AB, CD 分别交于点 E, F, 点 P 为直线EF左侧平面上一点，且. 求 的度数.
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题型8 分类讨论求角之间的关系
【例8】如图①所示, 已知AB∥CD, BE平分∠ABD, DE平分∠BDC.
(1) 求证: BE⊥DE;
(2) H是直线CD上一动点(不与点D重合), BI平分∠HBD交CD 于点I, 在图②或图③中, 请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由.
举一反三。
8. 已知 点 P在直线AD 上, E 为 CD上一点.
(1) 如图①所示，当点 P在线段AD延长线上时，求证：
(2) 如图②所示，当点P在直线AD上运动时(不与点A，D重合)，求 与 之间的数量关系.
题型9 结论探索题
【例9】阅读理解，填写部分理由，探索新的结论.
(1) 如图①所示, AB∥CD, 求证: ∠B+∠C=∠BEC.
理由如下: 过E点作EF∥AB, 则∠1=∠B( ),
∵EF∥AB、AB∥CD(已知), ∴FF∥CD( ).
∴∠2=∠C( ).
∵∠BEC=∠1+∠2, ∴∠BEC=∠B+∠C( );
(2)如图②所示, 图中的∠B, ∠E,∠G, ∠F, ∠C的数量关系是 , 证明你的结论;
(3)如图③所示, 图中的∠B, ∠E,∠F, ∠G, ∠H, ∠M,∠C的数量关系是 .
举一反三。
9. 如图①, 图②, 图③所示, 若 试求：
的度数；
的度数；
的度数；
(4) 猜测 的度数，并说明理由.
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题型10“蝴蝶模型”的应用
【例10】如图①所示, 已知直线m∥n, A, B为直线n上的两点, C, D为直线m上的两点.
(1)写出图中面积相等的各对三角形 ；
(2)如果A，B，C为三个定点，点D在m上移动，那么无论D 点移动到任何位置，总有 与△ABC的面积相等，理由是 ：
解决以下问题：如图②所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图中折线CDE)还保留着.张大爷想过E点修一条直路，使直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦荒地面积一样多，请你用相关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案.(不计分界小路与直路的占地面积)
(3) 写出设计方案，并在图③中画出相应的图形；
(4) 说明方案设计的理由.
举一反三。
10. 如图①所示, 直线m∥n, A, B为直线n上的点, C, P为直线m上的点, 如果A, B, C三个定点，点P在m上移动，那么无论点 P移动到何位置，△ABP与 的面积总相等，说明理由.
应用：
(1)如图②所示, △ABC和△DCE都是等边三角形,若 的边长为1，则.△BAE的面积是 .
(2)如图③所示，四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求 的面积.

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