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专题三 三角形的内角和定理
【知识点】
1. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
2. 三角形内角和定理的推论
推论1，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图①所示, ∵∠1是△ABC的外角, ∴∠1=∠ABC+∠ACB.
推论2，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
如图①所示, ∵∠2是△ABC的外角, ∴∠2>∠BAC, ∠2>∠ACB.
3. 与三角形的角有关的模型
模型1：角的“8”字模型：
如图②所示, AC, BD相交于点O, 连接AD, BC. 结论: ∠A+∠D=∠B+∠C.
模型2：角的“飞镖”模型：
如图③所示, 结论: ∠D=∠A+∠B+∠C.
注意：角的“8”字模型和角的“飞镖”模型不可直接使用，解题中必须证明后再用.
题型1 求角度的大小
【例1】在△ABC中, 已知∠A-∠B=30°, ∠C=4∠B. 求∠A, ∠B, ∠C的度数.
举一反三。
1. 在△ABC中, ∠B比∠A的2倍少5°, ∠C比∠A多21°, 求∠A, ∠B,∠C的度数.
题型2 判断三角形的形状
【例2】在△ABC中, 已知 试判断这个三角形的形状.
举一反三。
2. 一个三角形的三个内角度数的比是3∶7∶10，最大的内角是多少度 这个是什么三角形
题型3 利用分类讨论思想求角度
【例3】已知非直角三角形ABC中， ，高BD和CE所在直线交于点H，求. 的度数.
举一反三。
3. 在 中， BD是AC边上的高， 求 的度数.
题型4 三角形的折叠与求角
【例4】生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如下两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
(1) 如图①所示, 求∠ABC的度数;
(2) 如图②所示, 若AE∥BC, 则.
举一反三。
4.(1) 如图①所示,将直角三角形(∠ACB 为直角) 沿线段 CD折叠使点 B 落在点 B'处, 若 则
(2) 如图②所示, 纸片 中， 将纸片的一角沿ED折叠，使点 A 落在△ABC外点A'处, 求∠1-∠2的度数.
题型5 入射角与反射角的问题
【例5】光线以如图所示的角度α照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ，Ⅱ之间来回反射，已知 求 的度数.
举一反三。
5. 光线以如图所示的角度α照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ，Ⅱ之间来回反射，已知 ，求∠γ的度数.
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题型6 应用三角形内角和定理的推论1求角的度数
【例6】如图所示， 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠FDE=64°, ∠DEF=43°, 求 各内角的度数.
举一反三。
6. 如图所示, △ABC的一条外角平分线是 CE, F是CA 延长线上一点, FG∥CE交AB于点G. 若∠DCE=50°, ∠B=40°, 求∠FGA的度数.
题型7 应用三角形内角和定理的推论2求证角或线段的不等关系
【例7】如图所示，已知在 中， A D平分∠BAC, 交BC于点 D. 求证: .
举一反三。
7. 如图所示，在 中, AD平分 于D, 求证：
考点8 三角形两内角平分线夹角
【例8】已知在 中，
(1) 如图①所示, 的角平分线交于点O，求 的度数：
(2) 如图②所示. 的三等分线交于点 则.
(3) 如图③所示, 的n等分线交于点 则 (用含n的代数式)
举一反三。
8. 如图所示， 于D，试探究 与 之间的数量关系.
考点9 三角形两外角平分线夹角
【例9】如图, 点 P是 两条外角平分线的交点，求证：
举一反三·
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分. BC平分∠ABy, 求∠C的度数.
考点10 三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角
【例10】如图所示, 点 D 是BC延长线上一点, PB平分. PC平分 求证：
举一反三。
10. 如图所示, 试探究 之间的数量关系.
考点11 角平分线+高线夹角模型
【例11】(1)已知△ABC中, ∠B>∠C, AD⊥BC于点D, AE 平分∠BAC,如图①所示, 设∠B=x,∠C=y, 试用x, y表示∠DAE, 并说明理由;
(2) 在图②中, 其他条件不变, 若把“AD⊥BC于点 D”改为“F是AE上一点, FD⊥BC于点 D”,试用x，y表示
(3) 在图③中，若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x，y表示
(4)在图③中,分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线,交于点P,如图④.试用x,y表示∠P= .
举一反三。
11. 如图所示, AD 是 的角平分线，M是射线AD 上一点， 于点N， 且
(1) 如图①,当点M与A 点重合, 时, 求∠DMN的度数;
(2)如图②,当点M在线段AD上(不与A, D两点重合) 时, 求证:
(3) 如图③，当点 M在线段AD 延长线上时，(2) 中的结论成立吗 为什么
(4)如图④，在(2)的条件下，过点M作AD的垂线交 CB的延长线于点N，直接写出. 的度数(用含α，β的式子表示).
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考点12 与三角形有关的双角平分模型
【例12】(1) 模型: 如图①所示, AD, BC交于O点. 求证: ∠D+∠C=∠A+∠B.
(2) 模型应用: 如图②所示, ∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.
①若∠D=30°, ∠B=40°, 则∠E的度数是 ;
②直接写出∠E与∠D, ∠B之间的数量关系: .
(3) 类比应用: 如图③所示, ∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E. 若∠D=m°,∠B=n°, (m举一反三。
12. 如图所示，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I.
(1) 如图①所示，写出∠I与∠A，∠D之间的数量关系式并证明；
(2) 如图②所示，直接写出∠I与∠A，∠D之间的数量关系式为 .
考点13 “飞镖”与“8字”模型应用
【例13】(1) 如图①所示, 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
(2)如图②所示, 在四边形ABCD中, AM, CM分别平分∠DAB和∠DCB, AM与CM交于M, 探究∠AMC与∠B, ∠D间的数量关系.
举一反三。
13.(1) 如图①所示, 求. 的度数.
(2) 如图②所示, 求 的度数.
题型14 三角形内角和定理与平行线的综合应用
【例14】已知, 在四边形ABCD中,
(1) 求证:
(2) 如图①所示, 若DE平分. BF平分 的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明；
(3) 如图②所示, 若 BF, DG分别平分. 的外角，写出BF与DG的位置关系，并证明.
举一反三。
14. 如图所示, ∠OAB=30°,∠OAP=∠NAP, ∠NMA=∠NAM, PN∥MB, 试求 的度数.

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