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专题三 构造等腰三角形
【知识点】
实际解题中的一个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
(1) “角平分线+平行线”构造等腰三角形：(2) “角平分线+垂线”构造等腰三角形：(3)用“垂直平分线”构造等腰三角形；(4) 用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.
【典例精讲】
题型1 作平行线构造等腰三角形
【例1】如图,在△ABC中, ∠ABC=∠ACB, D为AB 上一点, E为AC 延长线上一点, 且 BD=CE,连DE交BC于F. 求证: DF=EF.
【分析】要证DF=EF，考虑证DF和EF所在三角形全等，但只具备一个角的条件，另有一边相等，一角互补，则可作平行构等腰，将互补角转化为相等角，从而得到AAS的全等条件.
举一反三。
1. 如图, 在 中， P , Q两点分别在BC, CA上, 并且AP, BQ分别是 的角平分线. 求证：
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题型2 中线倍长构造等腰三角形
【例2】如图, AD为△ABC的中线, E为AB上一点, AD, CE交于点F, 且AB=CF, 过点E作AF的垂线交AC于点P, 求证: AP=PF.
【分析】因EP⊥AF, 故可将证AP=PF转化为去证AE=EF即可. 故倍长中线AD到点G, 使DG=AD, 连接CG, 证△GCD≌△ABD, 得CG=AB=CF, 再通过角度转化可得AE=EF.
举一反三。
2. 如图, AB∥CD,BD与AC交于点E, DO平分∠CDE. 若点O为AC的中点, 试探究线段CD, AB,BD间的数量关系.
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题型3 利用∠α=2∠β构造等腰三角形
【例3】如图,△ABC中, ∠BAC=2∠C, BD为△ABC的角平分线, BC=6, AB=3.5, 求AD的长.
【分析】构造对称型全等, 在BC上截取BE=BA, 可证∠BED=∠A=2∠C, 得EC=ED=AD, 故求AD的长就转化为求CE的长.
举一反三。
3. 如图, E为△ABC内部一点, AE的延长线交 BC于点D, 连接BE, CE, ∠BED=∠BAC=2∠DEC,AC=AB. 探究BE, AE的数量关系, 并说明理由.
题型4 截长补短构造等腰三角形
【例4】如图, 中， CD 平分 交AB于点D, E为BC上一点, BE 求证：
【分析】先利用角平分线CD构造对称型全等，再通过计算角度证
举一反三。
4. 如图, 中， 于点D, 试探究 BC, BD, AD之间的关系.
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题型5 方程思想解决几何问题
【例5】如图, 已知在△ABC中, ∠C=90°, AC=BC=4, 点M 是边AC上一动点(与点A, C不重合), 点N在边 CB的延长线上, 且AM=BN, 连接MN交边AB于点P.
(1) 求证: MP=NP;
(2) 若设AM-x, BP-y, 求y与x之间的关系式;
(3) 当△BPN是等腰三角形时, 求AM的长.
【分析】(1) 过点M作MD∥BC交AB于点D, 求出 DM=BN, 证△MDP≌△NBP即可;(2) 求出AB, 根据△MDP≌△NBP推出DP=BP, 推出方程 即可: (3) 求出BP=BN, 所得方程的解即可.
举一反三。
5. 如图, 在△ABC中, AB=20cm, AC=12cm, 点P从点 B出发以每秒3cm的速度向点A运动, 点Q从点A 同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另 一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，求运动的时间.
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