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第3讲 线段的垂直平分线
专题一 线段垂直平分线的性质
【知识点】
1. 线段的垂直平分线
线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上.
方法技巧：出现线段垂直平分线时，往往在线段垂直平分线上利用已知点(或构造点) 与线段两端连线，得到相等线段构成等腰三角形.
2. 中垂线图
如图所示, C是△ABP的边AB上一点, ①AP=BP, ②AC=BC, ③PC⊥AB.
①②③中任意两个结论都可以推出第三个结论.
题型1 应用中垂线的性质求线段的长或角的度数
【例1】如图,△ABC中, ∠B=22.5°, ∠C=60°, AB的垂直平分线交 BC 于点 D. 交 AB于点 F, 于点E, 求EC的长.
【分析】连接AD, 利用DF 垂直平分线AB, 得到AD=BD.
因为AE⊥BC, 得到Rt△ADE和Rt△ACE. 利用勾股定理可求EC的长.
举一反三。
1. 如图, 在 中， 点 D是BC的中点,. 交AC于点 E, 的角平分线BF交DE于点P, 连接PC.
(1) 若 求 的度数；
(2) 若 请写出m，n满足的关系式.
题型2 应用中垂线的性质证明线段相等或角相等
【例2】如图，已知线段AB垂直平分线段CD于点O，点 F在AB的垂直平分线上， 于点 E,
(1) 求证:
(2) AF交CD于点M, FD交AB 于点 N, 求证: .
【分析】(1) 45°角一般是构造等腰直角三角形来解决，本题证明. 为等腰直角三角形即可；
(2) 用截长补短法证明.
举一反三。
2. 如图, 在 中. 点O为AB的中点, M, N分别在直线AC, BC上, 且
(1) 如图1, 若 M在AC上, N在BC上, 求证:
(2)如图2, 若点M在AC上, 点N在BC的延长线上, 试探究: CN, MN, AM之间的数量关系.
题型3 证明直线是某条线段的垂直平分线
【例3】如图, 在 中， D 为 BC的中点, 于点E, BF∥AC交CE的延长线于点 F.
求证: AB垂直平分DF.
【分析】证明AB 垂直平分 DF 的关键是证明. 由于 ，故需证明 进而可以证明
举一反三。
3. 如图, 在 中， 点O为BC的中点，点D为 外一点， 过点O作AD的垂线交DC于点 N，交BD的延长线于点 M.
求证：AD为MN的垂直平分线.

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