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【江西专用】九年级（上）期中数学模拟试卷（一）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据中心对称图形的定义判断即可．
解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、是中心对称图形；
D、不是中心对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3分）下列方程中，①x2+6＝3x；②；③x2﹣x＝0；④2x﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0．是一元二次方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据一元二次方程的定义，直接判断即可．
解：方程①③⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
方程②是分式方程，④是二元一次方程．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的条件是解决本题的关键．一元二次方程的条件：（1）方程是整式方程；
（2）方程只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2．
3．（3分）若二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或﹣1
【思路点拔】由根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1 x2＝a，将式变形代入即可．
解：y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，
∴x1+x2＝﹣1，x1 x2＝a，
∵3，
∴3a2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1或a；
∵y＝x2+x+a的图象与x轴有两个交点，
∵Δ＝1﹣4a＞0，
∴a，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键．
4．（3分）若x＝2是方程3x2﹣7＝a2的一个根，则a的值为（　　）
A．5 B．±5 C． D．
【思路点拔】将x＝2代入方程得到有关a的方程，然后求解即可．
解：∵x＝2是方程3x2﹣7＝a2的一个根，
∴3×4﹣7＝a2，
∴a2＝5，
解得a＝±，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义及直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
5．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣（x+1）2+k的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
【思路点拔】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝﹣1，图象开口向下，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，A（﹣2，y1）与（0，y1）关于对称轴对称，由4＞0＞﹣1，可判断y2＞y1＞y3．
解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2+k，
∴对称轴为x＝﹣1，开口向下，
根据二次函数图象的对称性可知，A（﹣2，y1）与（0，y1）关于对称轴对称，
因为4＞0＞﹣1，故y2＞y1＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
6．（3分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（x1，0），（x2、0），（x1≠x2），且x1x2≠0，直线y2＝k1x+b1（k1≠0）与x轴交于（x1，0），直线y3＝k2x+b2（k2≠0）与x轴交于（x2，0），若满足y1＝y2 y3的x取值有且只有2个，则（　　）
A．a＞k1 k2 B．a＜k1 k2 C．c＝b1b2 D．c≠b1b2
【思路点拔】利用根与系数关系可得x1+x2，x1x2，由一次函数与x轴交点可得：k1，k2，再结合y1＝y2 y3的x取值有且只有2个，可得：a﹣k1k2≠0，进而可推出：c≠b1b2，即可得出答案．
解：∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（x1，0），（x2、0），（x1≠x2），
∴，
又∵直线y2＝k1x+b1（k1≠0）与x轴交于（x1，0），
∴k1x1+b1＝0，
∴k1，
∵直线y3＝k2x+b2（k2≠0）与x轴交于（x2，0），
∴k2x2+b2＝0，
∴k2，
∵y1＝y2 y3的x取值有且只有2个，
∴ax2+bx+c＝（k1x+b1）（k2x+b2），
整理得：（a﹣k1k2）x2+（b﹣k1b2﹣k2b1）x+c﹣b1b2＝0，
∵x的取值有且只有2个，
∴a﹣k1k2≠0，
∴a﹣k1k2＞0或a﹣k1k2＜0，
即a＞k1k2或a＜k1k2，故A、B错误；
又∵a﹣k1k2＝a﹣（）（）＝aa0，
∴a0，
∵a≠0，
∴10，
∴c≠b1b2，
故C错误，D正确，
故选D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一次函数与x轴的交点，一次函数与抛物线的交点，根与系数的关系，一元二次方程的概念等，熟练掌握一元二次方程及根与系数关系是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）若方程2x2+x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2＝　　．
【思路点拔】直接利用根与系数的关系求解即可．
解：
∵方程2x2+x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，
∴x1+x2，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
8．（3分）已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则2a+b＝　﹣11　．
【思路点拔】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而求出答案．
解：∵点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，
∴a＝﹣5，b＝﹣1，
则2a+b＝2×（﹣5）﹣1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，得出a，b的值是解题关键．
9．（3分）点A（m，y1），B（m+4，y2），C（1，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+4的图象上，且y1≤y2≤y3，则m的取值范围是　m≤﹣1　
【思路点拔】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x＝1，由题意推出二次项系数小于0，可找出函数的单调区间，再结合A、B点坐标的特点即可得出关于m的一元一次不等式（巧妙借助于抛物线的对称性解决问题），解不等式即可得出结论．
解：二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）的对称轴为x1，
∵点A（m，y1），B（m+4，y2），C（1，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+4的图象上，且y1≤y2≤y3，
∴a＜0，
∴二次函数图象在x＜1上单调递增，在x≥1上单调递减．
∵点A（m，y1），B（m+4，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）的图象上，且y1≤y2，
∴m+m+4≤1×2，解得：m≤﹣1．
故答案为m≤﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出关于点的横坐标之和的不等式是关键．
10．（3分）抛物线y＝x2﹣4x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为　18　．
【思路点拔】根据抛物线顶点坐标公式即可求得抛物线顶点坐标，易求得抛物线与x轴交点，即可求得AB的值，即可解题．
解：抛物线的顶点式为y＝（x﹣2）2﹣9，
顶点坐标为（2，﹣9），
令y＝x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
即AB＝5﹣（﹣1）＝6，
所以△ABC的面积为6×|﹣9|＝18，
故答案为18．
【点评】本题考查了抛物线与x轴交点坐标的求解，考查了抛物线顶点坐标的求解，本题中求得抛物线顶点坐标是解题的关键．
11．（3分）点P（2，﹣2）关于点M（1，0）的对称点P′的坐标是 　（0，2）　．
【思路点拔】设P'的坐标是（a，b），根据中心对称的性质，可得两点的中点坐标为M（1，0），进而即可求解．
解：设P'的坐标是（a，b），
∵点P（2，﹣2）关于点M（1，0）的对称点是P'，
∴，
解得：a＝0，b＝2，
∴点P'的坐标是（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝CD，连接AD，点F为线段AD上一点，连接BF，使得BF＝BC，且∠BFD＝∠CAD，过点C作CG⊥BF于点G，交AD于点M，当DM＝7时，△CDM的面积为 　　．
【思路点拔】过点C作CH⊥AD于点H，过点B作BN⊥AD于点N，构造三角形全等，然后利用BF＝BC得到等腰三角形BCF，从而利用等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余推理得出△HCF是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求出线段CH的长度，从而可以求出△CDM的面积．
解：连接CF，过点C作BH⊥AD于点H，过点B作BN⊥AD交AD的延长线于点N，
∵BN⊥AD，CH⊥AD，
∴∠BND＝∠CHD＝90°，
又∵BD＝CD，∠BDN＝∠CDH，
∴△BDN≌△CDH（AAS），
∴BN＝CH，DN＝DH，
设∠CBF＝α，∠BFD＝∠CAD＝β，
∵BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC90°α，
∵∠CAD+∠CDA＝90°，CG⊥BF，∠BFD+∠GMF＝90°，
∴∠CDA＝∠GMF＝∠CMD，
∴CD＝CM，
∴CH⊥DM，
∴DH＝HMDM，
∴DN＝DH＝HM，NH＝7，
∵∠CDA＝∠CBF+∠BFD＝α+β，∠CDA+∠CAD＝90°，
∴α+β+β＝90°，即有β＝45°α，
∴∠HFC＝∠BFC﹣∠BFD＝90°α﹣（45°α）＝45°，
∴∠HCF＝∠HFC＝45°，
∴CH＝HF，
设BN＝x，则CH＝HF＝BN＝x，NF＝NH+HF＝BN＝7+x，
在Rt△BND中，BD2＝BN2+ND2，
∴BD2＝x2+（）2，
在Rt△BNF中，BF2＝BN2+NF2，
∴BF2＝x2+（x+7）2，
∵BF＝BC＝2BD，
∴BF2＝4BD2，
∴4[x2+（）2]＝x2+（x+7）2，
∴x＝0或x＝7，
∴BN＝CH＝7，
∴S△CDMDM CH7×7．
【点评】本题属于几何综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）解方程：x2+4x﹣1＝0；
（2）解方程：x2﹣1＝2（x+1）．
【思路点拔】（1）根据公式法，可得答案；
（2）根据因式分解法，可得答案；
解：（1）在方程x2+4x﹣1＝0中，a＝1，b＝4，c＝﹣1，
x，
解得：．
（2）x2﹣1＝2（x+1）．
（x+1）（x﹣3）＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
14．（6分）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
【思路点拔】过点B作关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点P，此时PA+PB＝AB'，AB'就是最短路程．过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于点E，则AE＝CD＝400m，B'E＝DE+B'D＝200+100＝300（m），结合勾股定理即可求得AB'．
解：如图，过点B作关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点P，
此时PA+PB＝AB'，AB'就是最短路程．
∴亮亮从A处把羊群赶到河边P处饮水再回家，行走路程最短．
过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于点E，
则AE＝CD＝400m，B'E＝DE+B'D＝200+100＝300（m），
由勾股定理得AB'500m．
∴亮亮走的最短路程为500m．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
15．（6分）已知二次函数y＝ax2+4ax+1（a≠0）．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点（x0，y0）在x轴的下方，求证：a．
（3）已知点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（1，y3），（2，y4）在该函数图象上，若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，试求a的取值范围．
【思路点拔】（1）根据对称轴公式和y轴上点的坐标特征即可求得；
（2）根据题意a＞0，且Δ＞0，即（4a）2﹣4a 1＞0，解得即可；
（3）根据二次函数的性质即可得出y3＝a+4a+1≥0，y4＝4a+8a+1＜0，解得即可．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+4ax+1（a≠0）．
∴函数图象的对称轴为直线x2，y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）∵该函数图象开口向上，且图象上的一点（x0，y0）在x轴的下方，
∴a＞0，且Δ＞0，即（4a）2﹣4a 1＞0，
∴a；
（3）∵函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜1＜2，y1＝y2，
∴当开口向上时，则y1＝y2＜y3＜y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中最少有两个小于零，不合题意，
当开口向下时，则y1＝y2＞y3＞y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1＝y2＞y3＞0＞y4，
∴y3＞0，y4＜0，即当x＝1时，y3＝a+4a+1≥0，
x＝2时，y4＝4a+8a+1＜0，
解得a．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，得到关于a的不等式是解题 的关键．
16．（6分）抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为　（3，0）　；m＝　2　，n＝　3　．
（2）画出此二次函数的图象；
（3）利用图象回答：当x取何值时，y≤0？
【思路点拔】（1）根据二次函数的对称性求得另一个交点，然后根据待定系数法即可求得m、n的值；
（2）求得顶点，画出图象即可；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
把（﹣1，0），（3，0）代入y＝﹣x2+mx+n得，
解得
故答案为（3，0），m＝2，n＝3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点为（1，4）
画出此图象如图：
（3）由图象可知：当x≤﹣1或x≥3时y≤0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解答此题的关键．
17．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求函数图象的对称轴、顶点M坐标、与x轴交点A，B的坐标，与Y轴交点C的坐标，并画出函数的大致图象；
（2）根据图象直接写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为1？若存在，直接写出P的坐标．
【思路点拔】（1）二次函数解析式配方后，找出对称轴及顶点M坐标，令y＝0求出x的值确定出A与B的坐标；令x＝0求出y的值，确定出C坐标，画出大致图象即可；
（2）由题意找出y为负数时，自变量x的范围即可；
（3）存在，设P纵坐标为y，根据三角形ABP面积为1，求出y的值，确定出P坐标即可．
解：（1）二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
则函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点M（2，﹣1），与x轴交点A（1，0），B（3，0），与y轴交点C（0，3），
如图所示：
；
（2）由图象得：当y＜0时，x的范围为1＜x＜3；
（3）在抛物线上存在点P，使三角形ABP的面积为1，
∵AB＝3﹣1＝2，△ABP面积为1，
∴设P纵坐标为y，即2×|y|＝1，
解得：y＝1或﹣1，
把y＝1代入抛物线解析式得：x2﹣4x+3＝1，即x2﹣4x+2＝0，
解得：x2±，此时P（2，1）或（2，1）；
把y＝﹣1代入抛物线解析式得：x2﹣4x+3＝﹣1，
解得：x＝2，
则满足题意P的坐标为（2，﹣1）．
【点评】此题考查了二次函数的图象，性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A、B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，直接写出c，d，e，f的大小关系．
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．
【思路点拔】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．
（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，由抛物线开口向下可得m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，进而求解．
解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2﹣4a+b，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣4a+b）．
（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），
∴d＞c＞e＝f．
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），
∴d＜c＜e＝f．
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，x＞﹣2时，y随x增大而增大，
∴m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，
∴，
解得，
∴yx2x．
当a＜0时，抛物线开口向下，x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，
∴，
解得．
∴yx2x．
综上所述，yx2x或yx2x．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（t﹣1）x+t2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求t的取值范围；
（2）当t＝﹣3时，求x1+x1x2+x2的值．
【思路点拔】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于t的一元一次不等式，解之即可得出t的取值范围；
（2）代入t＝﹣3找出原方程，根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣8、x1x2＝9，将其代入x1+x1x2+x2中即可求出结论．
解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（t﹣1）x+t2＝0有两个实数根x1、x2，
∴Δ＝[﹣2（t﹣1）]2﹣4t2＝4﹣8t≥0，
解得：t．
（2）当t＝﹣3时，原方程为x2+8x+9＝0，
∴x1+x2＝﹣8，x1x2＝9，
∴x1+x1x2+x2＝﹣8+9＝1．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）代入t＝﹣3找出原方程．
20．（8分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．
【思路点拔】（1）由等腰直角三角形的性质可求ABAC＝4，DBBE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，可求BE＝2，由勾股定理可求CE＝2，由直角三角形的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△AMN≌△DME，可得AN＝DE＝BE，∠MAN＝∠ADE，再由“SAS”可证△ACN≌△BCE，可得∠ACN＝∠BCE，可得结论．
解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴AC＝BC＝4，ABAC＝4，DE＝BE，DBBE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，
∵AB＝2BD，
∴AD＝BD＝2，
∴BE＝2，
∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴CE2，
∵点F是CE的中点，
∴BFCE；
（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，
∵点M是AD中点，
∴AM＝MD，
又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，
∴△AMN≌△DME（SAS），
∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，
∴AN∥DE，
∴∠NAH+∠DHA＝180°，
∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，
∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，
∴∠NAC+∠DBH＝90°，
∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，
∴∠CBE+∠DBH＝90°，
∴∠CBE＝∠NAC，
又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，
∴△ACN≌△BCE（SAS），
∴∠ACN＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，
∴CN⊥CE．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ACN≌△BCE是本题的关键．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
【思路点拔】（1）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+k，找出函数图象上A和C的坐标，求出函数解析式即可；
（2）根据题意，求出当x＝22.2时，y的值，根据车辆顶部与隧道的空隙不少于0.5米可得出等式，从而得出通过隧道车辆的高度的最大值．
解：（1）如图②中，A（﹣4，0），C（0，4），
设抛物线解析式为y＝ax2+k，
由题意，得，
解得：，
∴抛物线表达式为．
（2）22.2，
当x＝2.2时，y2.22+4＝2.79，
当y＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29 （m）．
答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式等知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．
22．（9分）如图，点A（1，0）在x轴上，点B（0，3）在y轴上，以AB为直角边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，AB＝AC，且点C落在第一象限，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点B，C．
（1）试确定二次函数的表达式；
（2）已知点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴上的一动点，且PB＝PC，求点P的坐标．
【思路点拔】（1）作CD⊥x轴于D，通过证得△AOB≌△CAD（AAS），求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）设P（，n），利用勾股定理得到关于n的方程，解方程即可求得n的值，从而求得点P的坐标．
解：（1）作CD⊥x轴于D，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD，
∵∠AOB＝∠CDA＝90°，AB＝AC，
∴△AOB≌△CAD（AAS），
∵A（1，0），B（0，3），
∴AD＝OB＝3，CD＝OA＝1，
∴C（4，1），
把B、C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2x+3；
（2）∵二次函数为y＝﹣x2x+3，
∴对称轴为直线x，
∴设P（，n），
∵PB＝PC，
∴（）2+（3﹣n）2＝（4）2+（1﹣n）2，
解得n，
∴点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，求得点C的坐标是解题的关键．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm．D从A出发以3cm/s速度向B运动，E从B出发以2cm/s的速度向C运动，若D、E同时出发，运动时间为t，问：
（1）t为何值时，△BDE为等边三角形；
（2）t为何值时，△BDE为直角三角形．
【思路点拔】（1）因为∠B＝60°，所以只需要BD＝BE，既可保证△BDE为等边三角形．
（2）根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B＝60°，所以就可以表示出BD与BE的关系，要分情况进行讨论：①∠BDE＝90°；②∠BED＝90°．然后在直角三角形BDE中根据BD，BE的表达式和∠B的度数进行求解即可．
解：（1）假设在点D与点E的运动过程中，△BDE能成为等边三角形，∵∠B＝60°，
则BD＝BE，
即6﹣3t＝2t，
解得t．
故当t时，△BDE是个等边三角形．
（2）根据题意得AD＝3tcm，BE＝2tcm，
∵在△ABC中，AB＝BC＝6cm，∠B＝60°，
∴BD＝（6﹣3t）cm，
若△BDE是直角三角形，则
∠BDE＝90°或∠BED＝90°，
①当∠BDE＝90°时，∠B＝60°，根据300所对的直角边是斜边的一半，
可得：BE＝2BD，
∴2×（6﹣3t）＝2t，
解得：t；
②当∠BED＝90°时，∠B＝60°，根据300所对的直角边是斜边的一半，
可得：BD＝2BE，
即：6﹣3t＝2×2t
解得：t．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理、等边三角形的性质，动点问题等知识点．中小学教育资源及组卷应用平台
【江西专用】九年级（上）期中数学模拟试卷（一）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列方程中，①x2+6＝3x；②；③x2﹣x＝0；④2x﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0．是一元二次方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）若二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或﹣1
4．（3分）若x＝2是方程3x2﹣7＝a2的一个根，则a的值为（　　）
A．5 B．±5 C． D．
5．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣（x+1）2+k的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
6．（3分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（x1，0），（x2、0），（x1≠x2），且x1x2≠0，直线y2＝k1x+b1（k1≠0）与x轴交于（x1，0），直线y3＝k2x+b2（k2≠0）与x轴交于（x2，0），若满足y1＝y2 y3的x取值有且只有2个，则（　　）
A．a＞k1 k2 B．a＜k1 k2 C．c＝b1b2 D．c≠b1b2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）若方程2x2+x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2＝　 　．
8．（3分）已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则2a+b＝　 　．
9．（3分）点A（m，y1），B（m+4，y2），C（1，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+4的图象上，且y1≤y2≤y3，则m的取值范围是　 　
10．（3分）抛物线y＝x2﹣4x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为　 　．
11．（3分）点P（2，﹣2）关于点M（1，0）的对称点P′的坐标是 　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝CD，连接AD，点F为线段AD上一点，连接BF，使得BF＝BC，且∠BFD＝∠CAD，过点C作CG⊥BF于点G，交AD于点M，当DM＝7时，△CDM的面积为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）解方程：x2+4x﹣1＝0；
（2）解方程：x2﹣1＝2（x+1）．
14．（6分）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．
15．（6分）已知二次函数y＝ax2+4ax+1（a≠0）．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点（x0，y0）在x轴的下方，求证：a．
（3）已知点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（1，y3），（2，y4）在该函数图象上，若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，试求a的取值范围．
16．（6分）抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
（1）抛物线与x轴的另一个交点坐标为　 　；m＝　 　，n＝　 　．
（2）画出此二次函数的图象；
（3）利用图象回答：当x取何值时，y≤0？
17．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求函数图象的对称轴、顶点M坐标、与x轴交点A，B的坐标，与Y轴交点C的坐标，并画出函数的大致图象；
（2）根据图象直接写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为1？若存在，直接写出P的坐标．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A、B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，直接写出c，d，e，f的大小关系．
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（t﹣1）x+t2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求t的取值范围；
（2）当t＝﹣3时，求x1+x1x2+x2的值．
20．（8分）已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
22．（9分）如图，点A（1，0）在x轴上，点B（0，3）在y轴上，以AB为直角边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，AB＝AC，且点C落在第一象限，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点B，C．
（1）试确定二次函数的表达式；
（2）已知点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴上的一动点，且PB＝PC，求点P的坐标．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm．D从A出发以3cm/s速度向B运动，E从B出发以2cm/s的速度向C运动，若D、E同时出发，运动时间为t，问：
（1）t为何值时，△BDE为等边三角形；
（2）t为何值时，△BDE为直角三角形．

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