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2024-2025学年辽宁省大连市名校联盟九年级（上）第一次月考
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程，则配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
4.抛物线的顶点坐标是 。
A. B. C. D.
5.关于函数，下列描述错误的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 函数最大值是 D. 当时，随的增大而增大
6.反比例函数的图象位于( )
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限
7.如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，
点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为，则的值为( )
A. B.
C. D.
8.如图，将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为( )
A. B.
C. D.
9.如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使∽的是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，正方形，点在边上，且：：，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，有如下结论：；；；：：上述结论中，正确的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知函数是反比例函数，则______．
12.已知点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是______．
13.我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步，其中长与宽和为步，问长与宽各多少步？若设长为步，则可列方程是______方程化为一般形式．
14.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：
则当时，的取值范围是 ．
15.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
求证：∽；
若，，，求的长．
17.本小题分
解方程：
；
；
18.本小题分
我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年月份投递快递总件数为万件，月份投递快递总件数万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同．
求该公司投递快递总件数的月增长率；
若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数是否达到万件？
19.本小题分
小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间分与录入文字的速度字分之间的函数关系如图．
求与之间的函数关系式；
小明在：开始录入，要求完成录入时不超过：，小明每分钟至少应录入多少个字？
20.本小题分
如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．
分别求出两个函数的解析式；
连接，求的面积．
21.本小题分
如图，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
按如图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由假设船底与水面齐平．
22.本小题分
综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，．
问题发现
奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到点，的对应点分别是点，，直线与边交于点点不与点重合，与边交于点．
如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明．
如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求．
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题和问题，请你解答．
问题：如图，按照如上操作
折痕的长为______；
在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论；
问题：在绕点旋转的过程中，探究下列问题：
如图，当直线经过点时，的长为______；
如图，当直线时，求的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题，请你解答．
问题：在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积．
23.本小题分
【定义】若连接抛物线与坐标轴的三个交点形成线段，若其中一段线段与坐标轴夹角为度，则图象称为美感抛物线如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
请判断抛物线是否为美感抛物线；
如图，抛物线上存在一动点横坐标是，过点作直线轴于点，与直线交于点当，，形成的线段中，某两段线段长度相等时，求线段的长；
若点、点、点分别为在坐标平面内、在抛物线对称轴上、在抛物线上不与顶点重合的动点，是否可以形成邻边之比为：的矩形，请直接写出点的横坐标．
参考答案
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15.
16.证明：四边形是平行四边形，
，，
，；
，，
，
∽；
解：四边形是平行四边形，
．
∽，
，
即，
．
，，
．
在中，，，，，

．
17.解：，
，即，
，
，
解得；
，，，
，
，
解得．
18.解：设该公司投递快递总件数的月增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该公司投递快递总件数的月增长率为．
万件，
，
若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数不能达到万件．
19.解：设，
把代入得，，
，
与的函数表达式为；
当时，，
，
在第一象限内，随的增大而减小，
小明录入文字的速度至少为字分，
答：小明每分钟至少录入个字．
20.解：由过点和可得：
，
解得：，
故，
又由过点和可得：
，
解得，
故．
由过点，可知，
故，
而点横坐标为，
．
21.解：如图，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是，
结合函数图象可知，顶点 ，点 ，
设二次函数的表达式为，
将点 代入函数表达式，
解得：，
二次函数的表达式为，
即 ；
工人不会碰到头，理由如下：
小船距点，小船宽，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距点距离为，
将代入，
解得：
，
此时工人不会碰到头．
22.
23.解：抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
令，则，
解得，，
，，
令，则；
点，
，
，
，
抛物线是美感抛物线；
设直线的表达式为，把点、的坐标代入得：
，
解得，
直线的表达式为，
抛物线上存在一动点横坐标是，直线轴于点，与直线交于点，
点，点，
点，
，
当点在之间时，存在点是的中点，
则，
解得：舍去或，
则；
当点在之间时，
同理可得：，
解得：舍去或，
则，
综上，或；
可以形成邻边之比为：的矩形；理由如下：
若点、点、点分别为在坐标平面内、在抛物线对称轴上、在抛物线上不与顶点重合的动点，设点，点，
当四边形是矩形时，则为直角，
当点在对称轴的左侧时，如图，
过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
为直角，
则，
，
，
∽
四边形是矩形邻边之比为：，
即：：或：，
即和的相似比为：或：，
即，
由题意得：，，，，
即或，
解得：舍去或；
当点在对称轴右侧时，如图，
同理可得：或，
解得：或，
综上，或或．
点的横坐标为或或．
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