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石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测
数
学
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，
1.设集合A={x∈RI1≤x<5},B={x∈R|x2-3x-4<0,则A∩B=
A.（-1,1]
B.（-1,4)
C.[1,4)
D.[1,5)
2.已知复数z满足(1+i)z=2+3i,则复数z的虚部为
A为
B.
c
D
3.已知平面向量a,b满足a(a-b)=2,且4=1，bl=2,则向量a,b的夹角为
A君
B.2π
3
C.
0.磐
4.已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为
A.
B.
2W5
3
c.43
D.2W5
3
4
5.已知sin(a+B)=2cos(a-p),tana+tanB=号，则tana.tan B=
3
A.3
B.-3
c
D.月
6.若数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，a4+a,>0,S<0,则Sn的最小值为
A.S3
B.S
C.S,
D.Sa
7.已知双曲线C:云上=1的左、右焦点分别为F、,过坐标原点的直线与双曲线C交
48
于A、B两点，若FA=2F到，则A=
A.4N7
B.2W7
C.43
D.4
高三数学第1页（共4页）
8.已知函数f:)为定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上单调递减，满足
o8,小-o小2r),则实数a的取值范国为
B.
C.(0,8]
D.[8,+oo)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知实数a,b,c满足a>b>c>0,则下列选项正确的是
A.
atc>a
B.g8-c>0
C.b>c
,D.a+b+1
>2W2
b+c b
b-c
a-b a-c
ab
10.已知函数/)-=如(@x+ (@>0),则下列说法正确的是
A.当ω=3时，fx)在
4,7π上单调递增
99
B.若(x)-寸(3川=2，且片-=究，则函数f)的最小正周期为元
C.若∫)的图象向左平移π个单位长度后，得到的图像关于y轴对称，则0的最小值为3
12
D.若f(x)在[0,2π]上恰有4个零点，则ω的取值范围为
2329
12’12
11.如图，曲线C过坐标原点O,且C上的动点P(x,y)满足到两
个定点F(-a,0),F(a,0)(a>0)的距离之积为9，则下列结
F,
论正确的是
A.a=3
B.若直线y=a与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为[1，∞)
C.△PFF周长的最小值为12
D.△PR5面积的最大值为号
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在等比数列{an}中，41=1，a2·4a4=64,则a5=
〔-x2+3x-1,x≥0，
13.已知函数f(x)=
任+4
x<0,
若y=x与y=f(x)的图象相切于A、B两点，则直线
AB的方程为
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数学答案
一、单选题：
1 5CABCD 6 8BAD
二、多选题：
9.BCD 10.ABD 11.AD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 16 13. x 3y 4 0 14. 23
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
p 5
15.解：(1)由题意得 2 ……….....................................................（2 分）
2 2
解得 p 1,……….....................................................（3 分）
2
故抛物线方程为 y 2x .……….....................................................（5 分）
1
(2) 由题意得直线 l的斜率不为 0，设直线 ： = + ,与 2 = 2
2
联立得 2 2 1 = 0，由韦达定理得 y1 y2 2t, y1y2 1①……….............................................（. 7 分）
设 B( 1 , 1),D( 2 , 2)，过 O 点做 垂线，垂足为 G.
1 1 1 1 1
由 S OBF S ODF ，得OG · BF = DF · OG，即BF = DF由BF = DF得y1 = y2②.......................（. 9 分）
2 2 2 2 2
√2 √2
由①②联立上式得 1 = ， 2 = √2， = ............................................（11 分） 2 4
9
BD=√( )2+ ( 2 2 21 2 1 2) =√(1 + )( 1 2) = .............................................（13 分） 4
16．证明：（1）连接B D ，由题意可得 B D // BD，..........................................................（2 分）
又因为 BD //平面A B C D ，平面A B C D 平面GBD GM，
BD 平面GBD，所以BD // GM，由平行传递性可知GM // B D ...........................................（4 分）
1 3
所以 M为靠近A 的A B 三等分点，GM B D .......................................................（6 分）
3 2
（2）
如图，设 AC BD O ，连接B O, D O，由题意得 AC BD,
AC BB ， BB BD B，故 AC 面BB O，
同理可证 AC 面DD O ，故 B O AC，D O AC，
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{#{QQABAYgUggggQAIAAAhCUQUACAEQkgCACYgGxAAAMAIAyAFABAA=}#}
所 以 B OD 为 二 面 角 B AC D 的 平 面
角............................................................................................................................. ........（8 分）

设 BB' DD' h ，由二面角 B' AC D'为直二面角可知 B OD ,
2
3
由(1)可得BO ,故OD 3 ， B O2 BO2 h2 ， D O
2 DO2 h2
2
在 Rt B OD 中，由勾股定理可得 B O2 D O2 B D 2 ...................................................................（10 分）
3 2 27 3 6即 h 3 h2 整理得 h2 ，解得 h .......................................（12 分）
4 4 2 2
6 3 3 1 3 3
题设可知 BB ，则 SABCD S ABC S ACD 2 ..................................（14 分）
2 2 2 2
9 2
所以V Sh ABCD A B C D .....................................................................（15 分）
4
方法二：向量法 ：
z
O
x
y
设直线AC与直线BD交于点O,以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴建立
如图所示的空间直角坐标系：O xyz.
在Rt ABC中， OB AC.由射影定理得：
1 3 3
OA ,OC ,OB ,设DD h,则：
2 2 2
1 3 3
A(0， ，0)，B ( ,0,h),C(0, ,0), D ( 3,0,h)
2 2 2
...........................................................................（8 分）
设平面B ' AC的一个法向量为n1 (x1, y1, z1)
(x1, y1, z1)（ 0，2，0） 0 y 0 n
1
1 AC 0
则： ,即： 3 1 3 1 令x1 2h,则z1 3，.........
AB ' n 0 (x1, y1, z1)（ ，，h） 0 x1 y1 hz1 01 2 2 2 2
n1 ( 2h,0, 3)，
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{#{QQABAYgUggggQAIAAAhCUQUACAEQkgCACYgGxAAAMAIAyAFABAA=}#}
.........................................................................（10 分）
设平面D ' AC的一个法向量为n2 (x2 , y2 , z2 )
(x2 , y2 , z2 )（ 0，2，0） 0 y2 0 n2 AC 0
则： ,即： 1 1 令x2 h,则z2 3，
AD ' n 0 (x2 , y2 , z2 )（ 3，，h） 0 3x y hz 0 2 1 1 2 2 2
n2 (h,0, 3)，
.............................................................（12 分）
当二面角B '
6
AC D '为直二面角时，n1 n2 0，即： 2h
2 3 0,得：h . ..................（. 13 分）
2
1 9 2
V ' ' ' ' SABCD h AC BD h ........................................（15 分） ABCD A B C D 2 4
a
17．解：（1）设BD CD
2
AB 3
在 ABD 中， cos B ①…………………….....................................................（2 分）
BD a
2
在 ABC中，由余弦定理
AB2 BC 2 AC 2 ( 3)2 a2 (2 3)2
cos B ②…………………….......................（4 分）
2 AB BC 2 3 a
3 ( 3)2 a2 (2 3)2
所以，
a 2 3 a
2
所以， a 21 ,BC 21 …………………….....................................................................（6 分）
（2）

AB AC 3 2 3 cos 3 ……………………..................................................................（7 分）
3
1 1 1 1 1 2 1 2 1
AD BE (AB AC) (AE AB) (AB AC) ( AC AB) AB AC AB AC
2 2 3 3 2 6 2
…………………….............................................................................................................................（9 分）
1 1 2 22 21AD (AB AC) (AB 2AB AC AC ) ………….......................（11 分）
4 4 2
1 1 2 2 22 21BE ( AC AB) AC AB AC AB ) …………………...............（13 分）
3 9 3 3
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1

AD BE 1
cos AMB cos AD, BE 2 …………………...............（15 分）
AD BE 21 21 7

2 3
18
(x 1)ex
解：（1）x 0, f '(x) ........................................................................（.. 2分）
x2
x (0,1), f '(x) 0, f (x)单调递减，
x (1, ), f '(x) 0, f (x)单调递增，..................................................................（.. 3分）
f (x)min f (1) e;...............................................................................................（.. 4分）
x 1 x 1（2）方程 f (x) 可化简为 e 1 0
x2 x
ex
1 1
方程 1 0的根就是函数 g(x) ex 1的零点,
x x
x 1
易知 g(x) e 1在 ，0 ， 0， 上单调递增.......................................................（5 分）
x
3
3 1 1
因为 g( ) e 2 0, g( 1) 0，
2 3 e
3
所以函数 g(x)在 ，0 有唯一零点 x1，且 x1 ， 1 ..........................................（7 分）
2
1
因为 g( ) e 3 0, g(1) e 2 0，
2
1
所以函数 g(x)在 0， 有唯一零点 x2 ，且 x2 ，1 .....................................（9 分）
2
则T x1 x2 1,0 ，因此， n 1. ................................................................（10 分）
（3）设 h(x) f (x) ax a ln x (e 1) ，则当 x 0时h(x) 0恒成立，
' (x 1)e
x a (x 1)(ex ax)
h (x) a ..........................................................（12 分）
x2 x x2
ex
①由（1）得 e，ex ex
x
a e ex当 时， ax ex ex 0
x (0,1),h '(x) 0, f (x)单调递减，
x (1, ),h '(x) 0, f (x)单调递增，
h(x) h(1) e a (e 1) 1 a 0
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a 1............................................................................................................................. .......（14 分）
②当 a e时， h(1) 1 a 0，这与 h(x) 0矛盾，.....................................................（16 分）
综上， a 1 ...........................................................................................................................（17 分）
19．解析：
（1）由题意得①，③是“规范01数列”，…………………………………………..（2 分）
5
对于②，由于 k 5
5
时， a 3 ，故②不是“规范01数列”； ……………..（3 分） i
i 1 2
（2）b1 1,b2 2,b3 5,b4 14；
…………………………………………………（每个 1 分）（7 分）
“规范01数列”{an}中，首项 a1 0，若{an}同时满足：
n k n k
①当 n 1,2,3,...,k 1时， a ；②当n k 时，i a ， i
i 1 2 i 1 2
此时可将{an}划分为两部分，即 a1,a2 ,..., ak 和 ak 1,ak 2 ,...,an ，由于 a1 0且ak 1，则a2 ,a3 ,...,ak 1 可
构成一个“规范01数列”，所以数列{bm}的递推公式为：
bm b0bm 1 b1bm 2 b2bm 3 ... bm 2b1 bm 1b0 ……………………………………（9 分）
m m 1 4m 2
（注：学生由bm C2m C2m 得出bm 1 bm也可给到 10 分）
m 2
（3）①
F 2(x) b 20 (b0b1 b1b0)x (b0b2 bb b b )x
2
1 1 2 0 ... (b0bm b1bm 1 ... bmb0)x
m ...
b1 b2x b
2
3x ... bm 1x
m ...
xF 2 (x) F (x) 1……………………………………….......................………………（10 分）
1 1 4x
即 F (x)
2x
由于 lim F (x) b0 1
x 0
1 1 4x
当 F (x) 时， lim F (x) （舍去）
2x x 0
1 1 4x 4x 2
当 F (x) 时， lim F (x) lim lim 1，满足题意
2x x 0 x 0 2x(1 1 4x ) x 0 1 1 4x
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{#{QQABAYgUggggQAIAAAhCUQUACAEQkgCACYgGxAAAMAIAyAFABAA=}#}
1 1 4x
故 F(x)的收缩表达式为 F (x) ；……………….......................…………（12 分）
2x
②
1 1 4x
G(x)
2x
1
[1 (1 Cm1 ( 4x)m )]
2x 2m 1

2 Cm1 ( 4x)m 1
2
m 1 …………...........................…...........….......…………（14 分）
1 1 3 3
( ) ( ) ( m)
2 2 2 2 2 ( 4x)m 1
m 1 m!
1 3 3
(m )
2 2 2 (4x)m 1
m 1 m!
(2m 3) (2m 5) ... 1
(2x)m 1
m 1 m!
(2m 3) (2m 5) ... 1 (2m 2) (2m 4) ... 2
xm 1
m 1 m!(m 1)! ...…..........………………（15 分）
(2m 2)!
xm 1
m 1 m!(m 1)!
(2m)!
xm
m 0 m!(m 1)!
(2m)!
故数列{bm}的通项公式为bm ………………………………………….（17 分）
m!(m 1)!
（注：其余方法得出bm 均可给到 17 分）
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