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专题二 30°角的用法
【知识聚焦】
直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余 (角的关系)、勾股定理 (边的关系)、30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用.
【典例精讲】
题型1 含 的直角三角形斜边上的高
【例1】如图, 在△ABC 中, AB=c, ∠A:∠B:∠ACB=1:2:3, CD⊥AB,垂足为点 D, 求 DB的长.
【分析】根据比例设∠A, ∠B, ∠C分别为k, 2k, 3k, 利用三角形内角和定理求出k, 从而得到. ∠B, ∠C的度数, 再求出. 然后根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半解答.
举一反三。
1. 如图, 在 中， 垂足为点 D， , 求BC的长.
题型2 利用 角作高构造直角三角形
【例2】如图, CD是 的中线， 求证：
【分析】过点A作. 于E，构造出. 的直角三角形，即可求解.
举一反三。
2. 如图, 在 中， 求 的面积.
题型3 利用30°角补形构造直角三角形
【例3】如图, 四边形 ABCD 中, 若 求 AD的长.
【分析】挖掘本题三角形的形状特征，补形列方程即可解决.
举一反三。
3. 如图, 四边形 ABCD中, 求AD的长.
题型4 利用底角为15°的等腰三角形构造30°角的直角三角形
【例4】如图, ∠AOC=15°, OC平分∠AOB, 点P为OC上一点, PD∥OA交OB于点D, PE⊥OA于点E, 若OD=4cm, 求PE的长.
【分析】作 PF⊥OB于点F，转化PE长，发现图中隐藏30°角，找出来利用30°的直角三角形性质计算.
举一反三。
4. 如图, 已知OC平分∠AOB,P是射线OC上任意一点, PD∥OA交OB于 D, PE⊥OA于点 E, ∠OPE=75°, 如果PE=6cm, 求OD的长.
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题型5 利用 角构造 角的直角三角形
【例5】如图, 在 中， ，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰 且 连接CE, 若 求 的面积.
【分析】挖掘出 是含有 的三角形，作高构造 的直角三角形.
举一反三。
5. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a元，求购买这种草皮至少需要多少元 专题五 60°角的用法
【知识点】
合理利用60°角构造等边三角形得到相等线段，再进行推理.
【典例精讲】
题型1 过60°角的边上一点作平行线构造等边三角形
【例1】如图1, △ABC为等边三角形, D为B上任一点, ∠ADE=60°, 边DE与. 外角的平分线相交于点 E.
(1) 求证: AD=DE;
(2) 如图2，若点D在 CB的延长线上，(1) 中的结论 .(填成立或不成立)
【分析】(1) 作DM∥CA交AB于M. 则. 是等边三角形，则易证. 根据ASA 即可证得△AMD≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等，即可；
(2) 作DM∥BA交CA于M. 与(1) 相同, 可证△CDM是等边三角形，然后证明. 根据全等三角形的对应边相等，即得AD=DE.
举一反三。
1. 如图, 是等边三角形，点D是AC的中点，点E，F分别在BC，AB的延长线上，
(1) 求证:
(2) 若 求 的值.
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题型2 在 角的两边上截取两条相等线段构造等边三角形
【例2】如图, 为等边三角形，
(1) 如图1, 当. 时, 直接写出DA, DC, DB之间的数量关系为 .
(2) 如图2, 当. 时，①中的关系式是否成立 说明理由.
【分析】直接在DB上截取 证 为等边三角形，再证
举一反三。
2. 已知 是边长为5 的等边三角形.
(1)如图1，若点P是BC上一点，过点C，点 P分别作AB，AC的平行线，两线相交于点Q，连接BQ，AP的延长线交 BQ于点D. 试问：线段AD，BD，CD之间是否存在某种确定的数量关系 若存在，请写出它们之间数量关系并证明你的结论； 若不存在，说明理由.
(2) 如图2，若点 P是BC延长线上一点，连接AP，以AP为边作等边. (点 E, 点 A在直线BC同侧), 连接CE交AP 于点 F, 求CE--CP的值.
题型3 利用60°角延长构造等边三角形
【例3】已知点D, 点 E分别为等边△ABC边BC, AC上的点, CD=AE, AD与BE交于点F.
(1) 如图1, 求∠AFE的度数;
(2) 点G为AC中点, ∠BFG=120°, 如图2, 求证: AF=2FG.
【分析】(1) 挖掘本题隐含的几何条件及运用三角形外角定理转化求角.
(2) 延长 FE 至点 M, 使 FM=AF, 连 MC, 延长 PG 交 MC 手 N. 易证△AFM 为等边三角形,△ABF≌△ACM, 易证△FMN为等边三角形AF=FM=FN, 再证△AFG≌△CNG, 得FG=GN.
举一反三。
3. 如图, 在△ABC中, ∠BAC=60°, 以BC为边在△ABC的同侧作等边△DBC, BD, AC相交于点 E,连结AD.
(1) 如图1, 若 求证: △ABC≌△ADC;
(2) 如图2, 若 求 的值.
20第2讲 直角三角形
专题一 45°角的用法
【知识点】
1. 利用45°角构造等腰直角三角形进而构造出三角形全等；
2. 利用45°构造对称全等；
3. 利用45°角构造等腰直角三角形进而构造出K型全等(内K或外K).
题型1 利用 角作垂线构造等腰直角三角形
【例1】如图,点D为Rt△ACB外一点, ∠ACB=90°, AC=BC, ∠ADC=45°, 求证: ∠CDB=45°.
【分析】过点C作CD的垂线交直线DA于点E, 易得∠E=45°, 易证△ACE≌△BCD即可.
举一反三。
1. 如图, 点D为BC上一点， 求 的度数.
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题型2 过 角的顶点作一边的垂线构造对称型全等
【例2】如图, 在 中， 点F在AB上, 求证：
【分析】利用 作CF的垂线，则CE为角平分线，构造对称型全等，相当于变相“补短法”，再用全等转化BF即可.
举一反三。
2. 如图: 已知. 点O为AB中点, 点E为AC上一点, 点F在BC上, 求`证：
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题型3 利用 角作高构造K型全等
【例3】如图, 在平面直角坐标系中, A(0, 3), B(-4, 3), AB交x轴于点 D,
(1) 求AD的长及点 D的坐标:
(2) 点C在y轴上, 求 的面积.
【分析】(1) 过点B作x轴的垂线，垂足为H，证 即可：
(2) 过D作BD的垂线与BC延长线交于点E，作 轴，垂足为点F，易证 得EF=HD=2, DF=BH=3, ∴OF=DF--OD=1, E(1, 2), 根据梯形BHFE的面积求出OC的长.
举一反三·
3. 平面直角坐标系中， B为y轴正半轴上一点， 求点 B 坐标.

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