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2024-2025学年福建省莆田市秀屿区毓英中学九年级（上）第一次质检数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为( )
A. B. C. D.
4.对于抛物线，下列说法正确的是( )
A. 开口向上，顶点坐标： B. 开口向上，顶点坐标：
C. 开口向下，顶点坐标： D. 开口向下，顶点坐标：
5.若将抛物线图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式为，则、的值为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.如图，将绕着点顺时针旋转后得到若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.若关于二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围为( )
A. B. C. ，且 D. ，且
9.如图，是直角三角形，，，，点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；有两个不相等的实数根其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.点关于原点对称的点的坐标是 ．
12.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
13.已知有个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为，则关于的函数解析式为______．
14.已知二次函数，若当时，随的增大而增大，则的取值范围是______．
15.飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行的时间；单位：的函数解析式是飞机着陆后滑行______秒能停下来．
16.如图，中，，点为内一点，，若，则的最小值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.解方程
．
18.已知一个二次函数的图象经过、、三点．
求这个二次函数的解析式；
将这个二次函数图象平移，使顶点移到点的位置，求所得新抛物线的表达式．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
与关于原点成中心对称，写出点、、的坐标；
将绕点顺时针旋转得到，画出．
20.本小题分
如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
求证：；
连接，若，求的度数．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论为何值，方程总有实数根；
若该方程有两根为，，且，求的值．
22.本小题分
某商场经营一种新上市的文具，进价为元，试营销阶段发现：当销售单价为元时，每天的销售量为件，销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件，同时商场规定销售单价不少于元．
若商场每天要获得销售利润元，销售单价应定为多少元？
求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
23.本小题分
有一块长，宽的矩形铁皮．
如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．
由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
24.本小题分
如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上．
求证：．
如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接．
求证：．
若，求的度数．
25.本小题分
如图，抛物线与轴交于，，为抛物线的顶点．
Ⅰ求抛物线的解析式；
Ⅱ如图，若为射线与轴的交点，为射线上一点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；
Ⅲ如图，在Ⅱ的条件下，若与重合，为线段上一点，过作轴的平行线交抛物线于，连接，若，求点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，
或，
解得：或；
，
，
，
则或，
解得：或．
18.解：设所求二次函数的解析式为，由题意得，
解得．
所以这个二次函数的解析式为；
因为新抛物线是由抛物线平移得到，而新抛物线的顶点坐标是，
所以新抛物线的解析式为．
19.解：如图，
与关于原点成中心对称，，，，
，，；
如图，
即为所作图形．
20.证明：是等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，连接，
，，
为等边三角形，
，
又，
．
21.证明：，，，
，
，即，
不论为何值，方程总有实数根．
解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或．
22.解：当销售单价为元时，每天的销售量为件，销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件，设销售单价为元，依题意得：
，
解得不合题意，舍去，，
答：销售单价应定为元；
设销售单价为元，每天的销售利润元，依题意得：
．
，，
函数图象开口向下，当时，随的增大而减少，
又销售单价不低于元，
当时，有最大值，最大值为元，
答：当销售单价为元时，该文具每天的最大利润为元．
23.解：设截去的小正方形的边长为，由题意，得
，
解得：，舍去．
答：截去的小正方形的边长．
能．
设左边的小正方形的边长为，
根据题意得
解得：或，
经检验不符合题意，舍去，
盒子的体积为：．
24.证明：是等边三角形，
，，
由旋转可知：，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：点关于直线的对称点为，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
；
解：点关于直线的对称点为，
，
，
由知，，
如图，连接，
则，
，
由知：，
，
，
，
由知，，
，
，
，
．
25.解：Ⅰ抛物线与轴交于、，与轴交于，为抛物线的顶点，，点的横坐标为，
，，
，
解得，
抛物线解析式为；
Ⅱ如图中，连接抛物线顶点坐标，．
．
；
Ⅲ如图中，延长交于．
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
设，
，
解得或舍弃，
，
点的坐标为．
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