资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
备战2025年高考数学一轮复习专题：函数零点问题（知识梳理、典型例题、跟踪训练）
一、单选题
1．已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列各数一定是零点的是（ ）
A．2019 B．2022 C．2025 D．2028
2．函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．4
3．已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．巳知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（ ）
①函数的图象关于点中心对称
②函数的单调增区间为
③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的零点是（ ）
A． B．1，2 C． D．
8．关于函数，实数满足，且，有以下四个结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有两个零点
B．恒成立
C．若方程有两个不等实根，则的范围是
D．直线与函数图象有两个交点
11．下列命题是假命题的是（ ）
A．若，则
B．函数的零点是和
C．是成立的充分不必要条件
D．若，则函数的最小值为2
三、填空题
12．函数在区间上的零点个数为 个．
13．已知函数有两个零点，则的取值范围为 ．
14．设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．根据指数函数的相关性质解决下面两个问题：
(1)已知，证明：；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
16．设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．
(1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围；
(2)证明：当时，有且仅有两个零点．
17．已知函数．
(1)求的单调增区间（只需写出结果即可）；
(2)求不等式的解集；
(3)若方程在区间内有3个不等实根，求的最小值．
18．已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有三个不相等的零点，且在点处切线的斜率为，求的取值范围及的值.
19．已知向量，，函数，.
(1)求在上的值域；
(2)求的值；
(3)已知，讨论在上零点的个数.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C B B D B ABD BCD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】由已知条件确定函数周期，再逐项判断即可.
【详解】因为是奇函数，所以且，
令，可得：
因为是偶函数，且，
所以，
所以，
所以定义域为R的函数一个周期为8，
所以无法判断，
，
，无法判断.
，无法判断.
故选：B
2．B
【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】由得，即，
函数的零点即方程的根，
作出函数和的图象，如图，
由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点，
故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为．
故选：B．
3．A
【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.
【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，
又方程可化为，
所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，
因为函数为定义域为的偶函数，
所以，函数的图象关于轴对称，
因为，
取可得，，
所以函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，
又当时，，
作出函数，的区间上的图象如下：
观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，
将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，
则，，，，
所以函数在区间上所有零点的和为.
故选：A.
4．C
【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围.
【详解】
的图象如图所示，设，
结合图像可得：，且，，
而，故，
故，
设，而在为增函数，
故，
故选：C.
5．B
【分析】根据图象求出，然后结合正弦函数性质判断各命题．
【详解】，
由图象知函数的最小正周期为，因此，即，
，因此函数的图象关于点中心对称，①正确；
由得，，②正确；
，因此把的图象向左平移个单位长度得的图象，③正确；
由题意，时，
当时，，在上有2个零点，则，解得，
当时，，在上有2个零点，则，解得，
因此的范围是或，④错．
故选：B．
6．B
【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可.
【详解】因为，所以，
令，则方程有2个根，
所以，解得，
则的取值范围是．
故选：B
7．D
【分析】利用零点定义解方程可得结论.
【详解】令，解得，
由零点定义可得函数的零点是.
故选：D
8．B
【分析】首先将函数写成分段函数，画出函数图象，数形结合即可判断①；结合及基本不等式判断②；再结合的范围确定、的范围，即可判断③④.
【详解】因为，
当时，则，当时，则，
所以的图象如下所示：
因为实数满足，且，即与有两个交点，由图可知，故①正确；
因为，所以，所以，
所以，所以，即，
所以，所以，所以，故②正确；
当时，则，即，
又，所以，
所以，即，
又，所以，所以，则，
又，
所以，
所以，即，故③错误；
当时，则，即，所以，
又，所以，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，故④错误；
综上所述，正确的结论有个.
故选：B
9．ABD
【分析】由已知条件得到，，进而逐项判断即可.
【详解】由题意可得：① ，②，③
由①+②可得：，所以，A正确；
，
因为，所以，B正确；
②①可得：，
所以，C错误；
因为，，D正确.
故选：ABD
10．BCD
【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.
【详解】对A：当时，；当时，；时，，
所以函数只有1个零点.A错误；
对B：欲证，须证在上恒成立.
设，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的最小值为，因为，所以.故B正确；
对C：.
设，
则，.
由；由.
所以在上单调递增，在单调递减.
所以的最大值为：，又当时，.
如图所示：
所以有两个解时，.故C正确；
对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.
设，，所以.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值为.
因为，，所以
所以.
且当且时，；时，.
所以函数的图象如下：
所以有两解成立，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：
（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.
（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.
11．ABD
【分析】对A，根据函数的单调性即可判断；对B，根据零点的定义即可判断；对C，根据充分不必要条件的判断即可得到答案；对D，根据对勾函数的单调性即可判断.
【详解】对A，因为函数在上均单调递增，则在上单调递增，
若，则，即，故A错误；
对B，令，解得或4，则其零点为或4，故B错误；
对C，，解得，则 ，
则是成立的充分不必要条件，故C正确；
对D，令，则，，，
根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，
，故D错误.
故选：ABD.
12．
【分析】由题意可得，利用换元法与导数可得函数零点个数.
【详解】
，
令，则，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以函数在区间上的零点个数为个.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两个：一是利用二倍角的余弦公式转化为用正弦表示函数；二是借助换元法研究函数的零点情况.
13．
【分析】令，得到，构造函数，，根据条件，数形结合得到，从而有，通过换元，得到，再求出在的取值范围，即可求解.
【详解】易知函数的定义域为，令，得到，
令，，图象如图所示，
因为函数有两个零点，由图易知，，
且，得到，
所以，令，
则，又易知在区间上单调递减，
所以，即的取值范围为，
故答案为：.
14．
【分析】先确定不是零点，令函数为0，参变分离得，转化为两函数图象的交点个数问题即可.
【详解】因为，，
令，
当时，，故不是零点，
所以，令，
则函数的图象与在内有4个交点，
函数的图象如图所示，

由图可得，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：把求函数的零点个数问题通过分离变量转化为两函数的图象的交点个数问题是常用方法.
15．(1)证明见解析.
(2)
【分析】（1）整理不等式，根据指数函数的单调性，可得答案；
（2）整理方程，根据一元二次方程根在情况，建立不等式组，可得答案.
【详解】（1）证明：由，则，
由函数在上单调递减，则，
根据函数在上单调递减，故.
（2）由方程，整理可得，
因为函数在上单调递增，且，
由题意可知，方程有两个不相等的正根，
则，解得.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由“凸函数”定义可得在区间D上单调递减，令，则问题转化为在恒成立，分离参数后转化为求函数最值可得；
（2）令，结合的单调性与三角函数的有界性，分区间讨论的单调性与函数值的符号变化即可.
【详解】（1）由，则.
由题意可知，为上的“凸函数”，
则在区间上单调递减，设，
则，所以在恒成立，
则在恒成立，
又当时，函数取最小值，且最小值为，
所以有，解得，
即a的取值范围为.
（2）当时，由得
.
令，其中，
则，其中.
①当时，则，，
所以，则在单调递增，
则恒成立，即在无零点；
②当时，令，其中，
由在单调递增，
又，
故存在，使得，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
由，
故存在，使，即，
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又，
故当时，，即在无零点；
③当时，由，则，
故故在单调递增，
，且，
故由零点存在性定理可知在有且仅有一个零点；
④当时，，
故在无零点；
综上所述，有且仅有两个零点，其中，而另一个零点在内.
由，即将图象向左移1个单位可得的图象.
故也有两个零点，一个零点为，另一个零点在内.
故有且仅有两个零点，命题得证.
【点睛】关键点点睛：该题目属三角函数与导函数综合题型，解决本题目的关键在于利用导函数与三角函数的有界性分区间讨论函数值的符号变化.当时，，单调递增，而，无零点；当时，通过二次求导与零点存在性定理可得先减后增，而，也无零点；当时，，单调递增，而，有且仅一个零点；当，由三角函数有界性，恒有故无零点.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由复合函数的单调性判断即可；
（2）由偶函数的对称性及单调性，结合定义域列不等式组求解即可；
（3）设，将方程在区间内有3个不等实根转化为方程有两个不相等的实数根，其中，，列出不等式组，求出的范围及，再利用二次函数求最值即可．
【详解】（1）由得，，解得，
又因为在单调递增，在单调递增，在单调递减，
所以的单调增区间为．
（2）因为定义域关于原点对称，
又，所以为偶函数，
由（1）得，，解得．
（3）设，当时，，，即，
则方程有3个不等实根方程有两个不相等的实数根，其中，，
所以，即，解得，
所以，
当即时有最小值，最小值为．
18．(1)
(2)答案见解析
(3)，0
【分析】（1）利用导数求得，确定切点，可求切线方程；
（2）求得，分和两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；
（3）由（2）知，函数的单调性，根据函数有三个零点，结合函数的单调性和极值，列出不等式组，可求的取值范围，由有三个不相等的零点，不妨设，求导可求的值.
【详解】（1）当时，，，
切点为，切线斜率，
故切线方程为，
即切线方程为.
（2），
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增.
（3）由（2）知，有三个零点，则，且，
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为，
由有三个不相等的零点，
不妨设，其中，
则，
则
.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
19．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据数量积的坐标形式结合三角变换可得，根据正弦函数的性质可求其值域；
（2）根据的周期性和特殊角的三角函数值可求的值；
（3）先求出零点的一般形式，再就不同的取值分类讨论后可零点的个数.
【详解】（1）由题设
，
故的值域为.
（2），
故的最小正周期为，而，
，，
，，
，
故，
故.
（3）由（2）可得，
令可得，
故或，其中，
故或，
若，则，
此时在上零点的个数为2；
若，则，
此时在上零点的个数为1；
当，，
此时在上零点的个数为0；
当，此时，
此时在上零点的个数为1，
综上，，则：
当时，在上零点的个数为0；
当或时，在上零点的个数为1；
当时，在上零点的个数为2；
【点睛】思路点睛：对于三角函数的零点个数问题，应该根据先求出零点的一般形式，再根据零点是否在区间中分类讨论.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑