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海南省农垦实验中学2025届高三10月月考数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分。
一、单选题
1．满足的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ）
A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变
3．我国著名数学家华罗庚曾经专门对数形结合赋诗一首，强调其重要性：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．”在数学的学习和研究中，我们常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征．现从商标“Kappa”（中文名“背靠背”） 中抽象出图象如下，其对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知定义在上的奇函数满足，若，则（ ）
A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称
C． D．
10．下列命题正确的有（ ）
A．
B．已知函数在R上可导，若，则
C．已知函数，若，则
D．
11．下列命题中正确的有（ ）
A．函数的图象一定过定点
B．函数的定义域是，则函数的定义域为
C．若，则的取值范围是
D．若，则
三、填空题
12．在中，，则 .
13． ； .
14．函数在处的切线方程为 ．
四、解答题
15．观察：
…
(1)第行是多少个数的和？和是多少？
(2)计算第行的值．
16．已知函数．
(1)当时，求的单调区间：
(2)若的值域为，求实数a的取值范围．
17．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，．
(1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率．
(2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格；
②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望．
参考数据：，，．
19．已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D A B B C ABC CD
题号 11
答案 CD
12．/
13． －3
14．
15．(1)第行是个数的和，和为
(2)
16．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2).
17．（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
18．（1）采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在内的有3件，在内的有2件．
记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则．
（2）①因为，
所以，且；
所以或或，
所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有万件零部件不合格．
②因为，所以，所以Y可以取0，1，2，3，
，，
，，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
故．
19．（1）不妨设双曲线C的半焦距为，
，
，
解得，
则，
故双曲线C的方程为；
（2）设，则，
为双曲线C上的两点，
两式相减得，整理得，
则，
故为定值，定值为4．

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