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《与角有关的计算》同步训练题
一．选择题（共17小题）
1．如图，点O是直线AB上一点，射线OD是∠BOC的角平分线，若∠BOC＝140°，则∠AOD的度数是（　　）
A．115° B．110° C．120° D．140°
2．如图，OC是∠AOB的角平分线，∠BOD∠COD，∠BOD＝20°，则∠AOD的度数等于（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
3．如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．如图，两个直角∠AOB，∠COD有相同的顶点O，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（　　）
A．90° B．135° C．150° D．120°
6．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2＝（　　）
A．70° B．60° C．55° D．45°
7．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
8．射线BD在∠ABC内部，下列式子中不能说明BD是∠ABC的平分线的是（　　）
A．∠ABC＝2∠ABD B．∠ABD+∠CBD＝∠ABC
C．∠CBD∠∠ABC D．∠ABD＝∠CBD
9．如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列等式中不成立的是（　　）
A．∠COA＝∠BOC B．∠COD＝∠BOD
C．∠AOC∠AOD D．∠AOC∠AOB
10．如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（　　）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD∠EOC
C．∠AOD+∠BOE＝60° D．∠BOE＝2∠COD
11．如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA
12．如图所示，AB，CD相交于M，ME平分∠BMC，且∠AME＝104°，则∠AMC的度数为（　　）
A．38° B．32° C．28° D．24°
13．已知∠AOB，①分别在OA，OB上取点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点E；③作射线OE．这样得到的∠AOE与∠EOB的大小关系为（　　）
A．∠AOE＞∠EOB B．∠AOE＝∠EOB C．∠AOE＜∠EOB D．不能确定
14．如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝25°35′，∠BOA度数是（　　）
A．64°65′ B．54°65′ C．64°25′ D．54°25′
15．如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD∠COD，∠BOD＝15°，则∠AOD＝（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
16．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠BOD＝70°，则∠AOC等于（　　）
A．145° B．110° C．70° D．135°
17．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（　　）
A．110° B．145° C．35° D．70°
二．填空题（共12小题）
18．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是 　 　．（填序号）
19．如图，∠AOC＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，则∠AOD的度数为 　 　．
20．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°，则∠COD＝　 　，∠BOE＝　 　．
21．已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠BOE＝90°，请写出下列正确结论的序号 　 　
①∠BOC＝130°；②∠AOD＝25°；③∠BOD＝155°；④∠COE＝45°．
22．如图，点A，点B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，若角∠COD＝62°，则∠BOE＝　 　°．
23．如图，点O在直线AB上，射线OC，OD分别在AB两侧，∠COD＝90°，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，给出下列四个结论：①∠COE﹣∠BOF＝45°；②∠EOF为定值；③2∠BOE﹣∠AOD＝90°；④∠AOF+∠EOD＝315°．其中正确的是　 　．（填序号）
24．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，，∠DOE＝70°，设∠COE＝α，利用方程的思想，求得α＝ 　 　°．
25．如图所示，∠DCE＝90°，CF、CH、CG分别平分∠ACD，∠BCD，∠BCE，下列结论：①∠DCF+∠BCH＝90°．②∠FCG＝135°．③∠ECF+∠GCH＝180°．④∠DCF﹣∠ECG＝45°．其中正确的是 　 　．
26．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC，则∠AOC的度数是 　 　°．
27．如图，已知点O是直线AB上一点，OC、OD、OM、ON为从点O引出的四条射线，若∠BOD＝30°，，∠MON＝90°，则∠AON与∠COM之间的数量关系是 　 　；
28．如图，O为直线AB上一点，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的上方．将三角板绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过 　 　秒后，MN⊥AB．
29．已知射线OC、OE在∠AOB内部，OC平分∠AOB，∠AOB＝110°，∠EOC＝10°，则∠AOE＝　 　．
三．解答题（共31小题）
30．如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度数；
（2）比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由．
31．【实践活动】
如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．
（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE 　 　∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 　 　．
【拓展探究】
（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．
32．将一副直角三角板ABC和BDE的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆放，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝30°，三角板ABC在∠DBE内可任意转动．
（1）以点B为顶点的所有锐角有 　 　个．
（2）求以点B为顶点的所有锐角的度数和．
33．如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．
（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；
（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数．
34．如图，已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转到OD，且∠COD＝60°．
（1）如图①，若∠AOD＝90°，试判断∠AOC与∠BOD之间的大小关系并说明理由；
（2）如图②，作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数．
35．已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．
（1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；
（2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α．
①如图2，当0°＜α＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；
②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．
36．如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝　 　；
（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．
37．如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
（2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
38．如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．
（1）∠AOB 　 　∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）求∠AOC的度数．
39．已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．
（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．
40．已知一副直角三角尺OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝90°，∠COD＝30°．
（1）将两个直角三角尺按如图1摆放，点A在边OC上，则∠BOD＝ 　 　；
（2）将直角三角尺OCD从图1位置绕点O逆时针方向转到图2位置，使OB恰好平分∠COD，求∠AOC的度数；
（3）如图3，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，若三角尺OCD在∠AOB内部绕点O任意转动（OC、OD均在∠AOB内部），试判断∠MON的度数是否会发生变化？通过计算说明理由．
41．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可．
42．将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 　 　；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小．
43．已知直线AB经过点O，∠COD＝90°，射线OE是∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOC＝32°，求∠DOE的度数；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，若∠DOE＝58°，求∠AOC的度数；
（3）若∠DOE＝x度，由（1），（2）猜测∠AOC大小，请你直接写出∠AOC＝　 　度；（用含x的式子表示）
44．【提出问题】
已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．
（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．
请补充完成下列解答过程：
解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，
∴∠AOD＝　 　°．
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝　 　°．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE＝　 　∠AOD＝　 　°．
∴∠COE＝∠AOC+　 　＝　 　°．
【类比分析】
（2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）．
【变式探索】
（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．
45．如图①，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数为　 　；
（2）将图①中的∠COD绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图①中的∠COD绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系：　 　．
46．如图，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度数．
47．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°．
（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数．
（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数．
48．已知：∠AOD＝160°，∠BOC＝20°．
（Ⅰ）如图1，求∠AOC+∠BOD的值．
（Ⅱ）如图2，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的值．
49．如图，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若，求∠AOE的度数．
50．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；
（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．
51．如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC的平分线，
（1）求∠BOE的度数；
（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且，求∠COF的度数．
52．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝140°．
（1）求∠COE的度数是多少？
（2）如果∠COD＝30°，求∠BOE的度数．
53．已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．
（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．
54．如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝20°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC比∠BOD小30°，求∠AOE的度数．
55．如图，已知点O为直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠DOF＝90°．
（1）若∠BOC＝40°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COD＝2∠EOF，∠AOE与∠DOE是否相等？请说明理由．
56．如图，射线OA在∠BOC的内部，已知∠AOB＝α，∠AOC＝β（0°＜α＜90°，0°＜β＜90°），OP与OQ分别是∠AOB和∠BOC的平分线．
（1）当α＝40°，β＝30°时，求∠POQ的度数；
（2）当α＝40°，β＝60°时，则∠POQ的度数为 　 　；
（3）继续探究，发现∠POQ与β之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是：　 　．
57．如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3．
（1）求∠DOE．
（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．
58．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD＝60°，
①求∠AOE的度数；
②若∠AOF＝20°，直接写出∠FOD的度数．
59．如图，点O在直线AB上，∠COD在直线AB上方，且∠COD＝60°，射线OE在∠COD内部，∠AOE＝2∠DOE．
（1）如图1，若OD是∠BOC的平分线，求∠COE的度数；
（2）如图2，探究发现：当∠BOD的大小发生变化时，∠COE与∠BOD的数量关系保持不变．请你用等式表示出∠COE与∠BOD的数量关系，并说明理由．
60．已知∠AOB＝120°，在∠AOB内部作射线OC，使得∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）如图，在∠BOC内部作射线ON，使得∠BON＝3∠CON；作射线OM平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）如果过点O作射线OD，使得2∠AOD＝3∠BOD，则∠COD的度数为 　 　．（不需写演推过程）中小学教育资源及组卷应用平台
《与角有关的计算》同步训练题
一．选择题（共17小题）
1．如图，点O是直线AB上一点，射线OD是∠BOC的角平分线，若∠BOC＝140°，则∠AOD的度数是（　　）
A．115° B．110° C．120° D．140°
【思路点拔】利用平角计算出∠AOC的度数，利用角平分线计算出∠COD的度数，相加即可．
【解答】解：∵∠BOC＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣140°＝40°，
∵射线OD是∠BOC的角平分线，
∴∠COD140°＝70°，
∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+70°＝110°，
故选：B．
2．如图，OC是∠AOB的角平分线，∠BOD∠COD，∠BOD＝20°，则∠AOD的度数等于（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【思路点拔】先由∠BOD∠COD，∠BOD＝20°，得出∠COD＝3∠BOD＝60°，根据角的和差求出∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝40°，再利用角平分线定义得出∠AOB＝2∠BOC＝80°，于是根据∠AOD＝∠AOB+∠BOD即可求解．
【解答】解：∵∠BOD∠COD，∠BOD＝20°，
∴∠COD＝3∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝40°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOB＝2∠BOC＝80°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+20°＝100°．
故选：D．
3．如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拔】根据角平分线的定义得到∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，则∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB，然后把∠AOB的度数代入计算即可．
【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（∠AOB+∠BOC﹣∠BOC）∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠MON90°＝45°．
故选：B．
4．如图，两个直角∠AOB，∠COD有相同的顶点O，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．
【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，∴①正确；
②∵只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD＝90°，∴②错误；
③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°
∴OB平分∠COD，∴③正确；
④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，∴④正确；
故选：C．
5．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（　　）
A．90° B．135° C．150° D．120°
【思路点拔】根据平角和角平分线的定义求得．
【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，
∴∠COD＝90°（互为补角）
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC+∠NOD（30°+60°）＝45°（角平分线定义）
∴∠MON＝90°+45°＝135°．
故选：B．
6．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2＝（　　）
A．70° B．60° C．55° D．45°
【思路点拔】由角平分线的定义得到∠BOC＝2∠2．然后结合邻补角的定义进行计算．
【解答】解：∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠2．
又∵∠1＝40°，∠1+∠BOC＝180°，
∴40°+2∠2＝180°，
解得∠2＝70°．
故选：A．
7．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°
【思路点拔】分为两种情况，当∠AOB在∠AOC内部时，当∠AOB在∠AOC外部时，分别求出∠AOM和∠AOD度数，即可求出答案．
【解答】
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM∠AOC＝40°，
∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；
故选：C．
8．射线BD在∠ABC内部，下列式子中不能说明BD是∠ABC的平分线的是（　　）
A．∠ABC＝2∠ABD B．∠ABD+∠CBD＝∠ABC
C．∠CBD∠∠ABC D．∠ABD＝∠CBD
【思路点拔】根据角平分线定义的表示方法得出即可．
【解答】解：A、能表示BD是∠ABC的平分线，故本选项错误；
B、不能表示BD是∠ABC的平分线，故本选项正确；
C、能表示BD是∠ABC的平分线，故本选项错误；
D、能表示BD是∠ABC的平分线，故本选项错误；
故选：B．
9．如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列等式中不成立的是（　　）
A．∠COA＝∠BOC B．∠COD＝∠BOD
C．∠AOC∠AOD D．∠AOC∠AOB
【思路点拔】根据角平分线的定义进行作答．
【解答】解：A、∵OC平分∠AOD，∴∠COA＝∠COD，故本选项错误；
B、∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD，故本选项正确；
C、∵OC平分∠AOD，∴∠COA＝∠COD，∴∠AOC∠AOD，故本选项正确；
D、∵OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD，∴∠AOC∠AOB，故本选项正确；
故选：A．
10．如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（　　）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD∠EOC
C．∠AOD+∠BOE＝60° D．∠BOE＝2∠COD
【思路点拔】本题是对角的平分线的性质的考查，角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．
【解答】解：A、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠DOE（∠BOC+∠AOC）∠AOB＝60°．
故本选项叙述错误；
B、∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠AOD∠AOC．
又∵OC是∠AOB内部任意一条射线，
∴∠AOC＝∠EOC不一定成立．
故本选项叙述错误；
C、∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠BOE+∠AOD＝∠EOC+∠DOC＝∠DOE（∠BOC+∠AOC）∠AOB＝60°．
故本选项叙述正确；
D、∵OC是∠AOB内部任意一条射线，
∴∠BOE＝∠AOC不一定成立，
∴∠BOE＝2∠COD不一定成立．
故本选项叙述错误；
故选：C．
11．如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA
【思路点拔】根据角平分线的性质，可得答案．
【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正确；
B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正确；
C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正确；
D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D错误；
故选：D．
12．如图所示，AB，CD相交于M，ME平分∠BMC，且∠AME＝104°，则∠AMC的度数为（　　）
A．38° B．32° C．28° D．24°
【思路点拔】利用角平分线的性质和角的和差关系计算．
【解答】解：∵∠AME＝104°，∠AME+∠BME＝180°
∴∠BME＝180°﹣104°＝76°
∵ME平分∠BMC，
∴∠EMC＝∠BME＝76°
∴∠AMC＝∠AME﹣∠EMC＝104°﹣76°＝28°
故选：C．
13．已知∠AOB，①分别在OA，OB上取点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点E；③作射线OE．这样得到的∠AOE与∠EOB的大小关系为（　　）
A．∠AOE＞∠EOB B．∠AOE＝∠EOB C．∠AOE＜∠EOB D．不能确定
【思路点拔】根据角平分线的尺规作图法可知，由于不能确定OC，OD大小关系，因此射线OE不一定是的角平分线，即可的得解．
【解答】解：由于不能确定OC，OD大小关系，就不能确定∠AOE与∠EOB的大小关系．
故选：D．
14．如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝25°35′，∠BOA度数是（　　）
A．64°65′ B．54°65′ C．64°25′ D．54°25′
【思路点拔】由射线OC平分∠DOB，∠DOC＝25°35′，得∠BOC＝∠DOC＝25°35′，从而求得∠AOB．
【解答】解：∵OC平分∠DOB，
∴∠BOC＝∠DOC＝25°35′，
∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣25°35′＝64°25′．
故选：C．
15．如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD∠COD，∠BOD＝15°，则∠AOD＝（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【思路点拔】利用角平分线的性质得出∠BOC＝∠AOC，进而利用已知角的度数得出∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠BOD∠COD，∠BOD＝15°，
∴∠COD＝3∠BOD＝45°，
∴∠BOC＝45°﹣15°＝30°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠BOC＝∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝75°．
故选：D．
16．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠BOD＝70°，则∠AOC等于（　　）
A．145° B．110° C．70° D．135°
【思路点拔】先根据邻补角的定义求出∠AOD＝110°，再根据角平分线的定义求出∠DOC＝35°，然后根据∠AOC＝∠AOD+∠DOC即可得出答案．
【解答】解：∵点O在直线AB上，∠BOD＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣70°＝110°，
∵射线OC平分∠BOD，
∴∠DOC∠BOD70°＝35°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝110°+35°＝145°．
故选：A．
17．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（　　）
A．110° B．145° C．35° D．70°
【思路点拔】首先根据角平分线定义可得∠BOD＝2∠BOC＝70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数．
【解答】解：∵射线OC平分∠DOB．
∴∠BOD＝2∠BOC，
∵∠COB＝35°，
∴∠DOB＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
二．填空题（共12小题）
18．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是 　①③④　．（填序号）
【思路点拔】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．
【解答】解：①∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠BOC，∠COD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOB＝∠COD；
故①正确．
②只有当OB，OC分别为∠AOC和∠BOD的平分线时，∠AOB+∠COD＝90°；
故②错误．
③∵∠AOC＝∠BOD＝90°，OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠COB＝45°，则∠COD＝90°﹣45°＝45°
∴CB平分∠BOD；
故③正确．
④∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOB＝∠COD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
故④正确．
故答案为：①③④．
19．如图，∠AOC＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，则∠AOD的度数为 　120°　．
【思路点拔】由∠AOC＝80°，利用角平分线的定义可求出∠BOC的度数，结合OD是∠BOC的平分线，可求出∠COD的度数，再将其代入∠AOD＝∠AOC+∠COD中即可求出结论．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC＝80°，
∴∠BOC＝∠AOC＝80°．
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD∠BOC80°＝40°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝80°+40°＝120°．
故答案为：120°．
20．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°，则∠COD＝　152°　，∠BOE＝　62°　．
【思路点拔】先根据∠AOC+∠COD＝180°求出∠COD的度数，再根据角平分线的性质求出∠AOB的度数，由平角的性质可求出∠DOB的度数，OE是∠BOD的平分线即可求出∠BOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC+∠COD＝180°，∠AOC＝28°，
∴∠COD＝152°；
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC＝28°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝2×28°＝56°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣56°＝124°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE∠BOD124°＝62°．
故答案为：152°、62°．
21．已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠BOE＝90°，请写出下列正确结论的序号 　①②③　
①∠BOC＝130°；②∠AOD＝25°；③∠BOD＝155°；④∠COE＝45°．
【思路点拔】根据角平分线的定义、邻补角和直角的概念求解可得．
【解答】解：∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，故①正确；
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD∠AOC50°＝25°，故②项正确；
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°，故③正确；
∵∠BOE＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝40°，故④错误；
故答案为：①②③．
22．如图，点A，点B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，若角∠COD＝62°，则∠BOE＝　28　°．
【思路点拔】根据角平分线的定义可得∠AOC＝124°，然后利用平角定义可得∠BOC＝56°，从而再利用角平分线的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵射线OD平分∠AOC，∠COD＝62°，
∴∠AOC＝2∠COD＝124°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝56°，
∵射线OE平分∠BOC，
∴∠BOE∠BOC＝28°，
故答案为：28．
23．如图，点O在直线AB上，射线OC，OD分别在AB两侧，∠COD＝90°，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，给出下列四个结论：①∠COE﹣∠BOF＝45°；②∠EOF为定值；③2∠BOE﹣∠AOD＝90°；④∠AOF+∠EOD＝315°．其中正确的是　①②③④　．（填序号）
【思路点拔】根据周角，平角，直角，角平分线的定义，逐一判断每个结论即可．
【解答】解：∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠AOE＝∠EOC∠AOC，∠BOF＝∠DOF∠BOD，
设∠BOF＝∠DOF＝α，∠AOE＝∠COE＝β，∠COD＝90°，则∠COB＝90°﹣2α；
∵∠AOC+∠COB＝180°，
∴2β+90°﹣2α＝180°，解得：β﹣α＝45°，
∴∠COE﹣∠BOF＝β﹣α＝45°，
故选项①正确；
∠EOF＝∠EOC+∠COB+∠BOF＝β+90°﹣2α+α＝90°+β﹣α，
由①知：β﹣α＝45°，
∴∠EOF＝90°+β﹣α＝90°+45°＝135°，为定值，
故选项②正确；
由②可得：∠BOE＝∠EOF﹣∠BOF＝135°﹣α；∠AOD＝360°﹣∠AOC﹣∠COD＝360°﹣2β﹣90°＝270°﹣2β，
∴2∠BOE﹣∠AOD＝2（135°﹣α）﹣（270°﹣2β）＝2（β﹣α），
由①可得β﹣α＝45°，
∴2∠BOE﹣∠AOD＝2（β﹣α）＝2×45°＝90°，
故选项③正确；
∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣α，∠EOD＝∠EOC+∠COD＝β+90°，
∴∠AOF+∠EOD＝180°﹣α+β+90°＝270°+β﹣α，
由①知：β﹣α＝45°，
∴∠AOF+∠EOD＝270°+β﹣α＝270°+45°＝315°，
故选项④正确；
综上，符合题意的选项为①②③④．
故答案为：①②③④．
24．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，，∠DOE＝70°，设∠COE＝α，利用方程的思想，求得α＝ 　20　°．
【思路点拔】根据已知条件及角平分线定义分别用α表示出∠BOC＝4α，∠AOC＝140°﹣2α，再根据∠AOC+∠BOC＝180°列出关于α的方程，然后解方程求出α即可．
【解答】解：∵∠COE∠BOE，∠COE＝α，
∴∠BOE＝3∠COE＝3α，
∴∠BOC＝∠BOE+∠COE＝4α，
∵∠DOE＝70°，
∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝70°﹣α，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOC＝140°﹣2α，
∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴140°﹣2α+4α＝180°，
解得：α＝20°．
故答案为：20．
25．如图所示，∠DCE＝90°，CF、CH、CG分别平分∠ACD，∠BCD，∠BCE，下列结论：①∠DCF+∠BCH＝90°．②∠FCG＝135°．③∠ECF+∠GCH＝180°．④∠DCF﹣∠ECG＝45°．其中正确的是 　①②④　．
【思路点拔】根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案做出选择．
【解答】解：∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，
∴，
，
，
∵∠ACB＝180°，∠DCE＝90°，
∴∠FCH＝90°，∠HCG＝45°，∠FCG＝135°，故②正确；
∴∠DCF+∠BCH＝90°，故①正确；
∴∠FCG+∠HCG＝180°，故③错误；
设∠BCG＝α，则∠ECG＝α，
∴∠BCH＝45°﹣α，
∴∠ACF＝∠DCF＝45°+α，
∴∠DCF﹣∠ECG＝45°，故④正确．
故答案为：①②④．
26．OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线，若∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC，则∠AOC的度数是 　40或120　°．
【思路点拔】分OC在∠AOB内部和外部两种情况，分别画出图形，运用角的和差及已知条件计算即可．
【解答】解：①如图所示：当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC，
∴，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝80°﹣40°＝40°；
②如图所示：当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC，
∴，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°+40°＝120°．
综上，∠AOC的度数是40°或120°．
故答案为：40°或120．
27．如图，已知点O是直线AB上一点，OC、OD、OM、ON为从点O引出的四条射线，若∠BOD＝30°，，∠MON＝90°，则∠AON与∠COM之间的数量关系是 　∠AON+20°＝∠COM　；
【思路点拔】根据，设∠AOC＝7x，∠COD＝8x，由∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°可求出x的值，再由∠AON+∠MON＝∠AOC+∠COM即可得出答案．
【解答】解：设∠AOC＝7x，∠COD＝8x，
由∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，
∴7x+8x+30°＝180°，
∴x＝10°，
即∠AOC＝70°，∠COD＝80°，
∵∠AON+∠MON＝∠AOC+∠COM，
∴∠AON+90°＝70°+∠COM，
即∠AON+20°＝∠COM，
故答案为：∠AON+20°＝∠COM．
28．如图，O为直线AB上一点，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的上方．将三角板绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过 　10或70　秒后，MN⊥AB．
【思路点拔】认真读懂题意，分析整个转动过程会发现，转动一周有两个时刻出现MN⊥AB，通过位置确定角的度数，再分别讨论计算出时间即可．
【解答】解：根据旋转的性质，可知MN从原先的位置转到MN⊥AB，要经过30°或180°+30°＝210°，
∴30÷3＝10（秒）；210÷3＝70（秒），
故答案为：10或70．
29．已知射线OC、OE在∠AOB内部，OC平分∠AOB，∠AOB＝110°，∠EOC＝10°，则∠AOE＝　45°或65°　．
【思路点拔】根据角平分线求出∠AOC的度数，再分OE所在的位置求出两种结果．
【解答】解：
如图，∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝110°÷2＝55°，
∴∠AOE＝55°﹣10°或∠AOE＝55°+10°，
∴∠AOE＝45°或65°．
故答案为：45°或65°．
三．解答题（共31小题）
30．如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度数；
（2）比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义得到∠MOC∠AOC，∠NOD∠BOD，结合图形计算即可；
（2）根据角的和差关系解答即可．
【解答】解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC∠AOC，∠NOD∠BOD，
∴∠MON（∠AOC+∠BOD）+∠COD∠COD80°＝50°+80°＝130°；
（2）∠DOM＝∠CON，理由如下：
∵∠MOC∠AOC，∠NOD∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠MOC＝∠NOD，
∴∠MON﹣∠NOD＝∠MON﹣∠MOC，
∴∠DOM＝∠CON．
31．【实践活动】
如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．
（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE 　＝　∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 　∠ACB+∠DCE＝180°　．
【拓展探究】
（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）依题意得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，进而得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，然后根据同角的余角相等可得出答案；
（2）由∠ACD＝90°，∠ECB＝90°得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，则∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，然而∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系；
（3）先由∠ACD+∠BCE＝180°得∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，进而得∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系．
【解答】解：（1）依题意得：∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
故答案为：＝．
（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∵∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝90°+90°，
∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，
又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；
（3）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
又∵∠ACD+∠BCE＝180°，
∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，
即：∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°．
32．将一副直角三角板ABC和BDE的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆放，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝30°，三角板ABC在∠DBE内可任意转动．
（1）以点B为顶点的所有锐角有 　5　个．
（2）求以点B为顶点的所有锐角的度数和．
【思路点拔】（1）按照从小到大的顺序，找出以点B为顶点的锐角即可；
（2）把（1）中所找的角相加，根据∠DBE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE＝90°，∠ABC＝30°，求出答案即可．
【解答】解：（1）以点B为顶点的锐角有：∠ABD，∠ABC，∠CBE，∠DBC，∠ABE，共5个，
故答案为：5；
（2）由题意可知：∠DBE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE＝90°，∠ABC＝30°，
∴以点B为顶点的所有锐角的度数和为：
∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠DBC+∠ABE
＝∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠ABC
＝∠DBE+∠DBE+∠ABC
＝90°+90°+30°
＝210°．
33．如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．
（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；
（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数．
【思路点拔】（1）先说明∠AOD+∠EOB＝90°，再说明∠AOD＝∠FOD，从而得出∠FOD+∠EOB＝90°，再根据∠FOD+∠EOF＝90°，即可得到∠EOB＝∠EOF；
（2）设∠AOD＝x°，则∠DOF＝x°，∠EOF＝90°﹣x°，列方程即可求得．
【解答】解：（1）∠EOB＝∠EOF；理由如下：
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOD＝∠FOD，
∴∠FOD+∠EOB＝90°，
∵∠FOD+∠EOF＝90°，
∵∠EOB＝∠EOF．
（2）设∠AOD＝x°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠DOF＝x°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣x°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF，
∴x°+x°＝90°﹣x°，
∴x＝30，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣30﹣90°＝60°．
34．如图，已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转到OD，且∠COD＝60°．
（1）如图①，若∠AOD＝90°，试判断∠AOC与∠BOD之间的大小关系并说明理由；
（2）如图②，作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α，当0°＜α＜60°时，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数．
【思路点拔】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角的大小；
（2）根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根据∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD计算即可．
【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，
又∵∠AOB＝120°
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC；
（2）∵OC恰好平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠EOC＝α，
∴∠AOE＝2∠AOC＝2α，
∵OE为∠AOC的平分线，
∴∠DOE＝∠AOE＝2α，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，
∵∠COD＝60°，
∴3α＝60°，
∴α＝20°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°．
35．已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．
（1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；
（2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝α．
①如图2，当0°＜α＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数；
②当α≠60°时，请探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．
【思路点拔】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角的大小；
（2）①根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2α，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，根据∠COD＝60°列方程，求出α的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD计算即可；
②分两种情况：当0°＜α＜60°时，当60°＜α＜120°时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可．
【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，
又∵∠AOB＝120°
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC；
（2）①∵OC恰好平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠EOC＝α，
∴∠AOE＝2∠AOC＝2α，
∵OE为∠AOC的平分线，
∴∠DOE＝∠AOE＝2α，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝3α，
∵∠COD＝60°，
∴3α＝60°，
∴α＝20°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4α＝40°；
②分情况讨论：
当0°＜α＜60°时，
∵∠BOD＝∠AOB﹣∠COD﹣∠AOC＝60°﹣α，
∵∠AOD＝α+60°，OE为∠AOD的平分线，
∴，
∴，
∴；
当60°＜α＜120°时，
∵∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB＝α﹣60°，
∵∠AOD＝α+60°，OE为∠AOD的平分线，
∴，
∴，
∴；
综上所述，．
36．如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝　40°　；
（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．
【思路点拔】（1）由角平分线的定义得出，进而即可求得∠BOC；
（2）由角平分线的定义得出，即∠AOE＝2∠BOD；
（3）由角平分线的定义得出得出，根据∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，，进而即可求解．
【解答】解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC，
∴，
∵∠AOE＝140°，
∴，
∵∠COD＝30°，
∴∠BOC＝40°；
故答案为：40°．
（2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
∴，
∴，即，
即∠AOE＝2∠BOD，
（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，
∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
∴，
∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，，
∴∠AOE＝2∠BOD．
37．如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
（2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠BOC的度数；
（2）依据等式的性质，即可得到∠AOC＝∠BOD．
【解答】解：（1）∵OE是∠COA的平分线，∠AOE＝50°，
∴∠AOC＝2∠AOE＝100°，
又∵∠AOB＝∠COD＝18°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°；
（2）∠AOC＝∠BOD．
理由：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
38．如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．
（1）∠AOB 　＝　∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）求∠AOC的度数．
【思路点拔】（1）根据角的倍分关系进行解答即可；
（2）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系列方程可求出答案．
【解答】解：（1）∠AOB＝∠NOC，理由如下：
∵∠BON：∠NOC＝3：1，
∴∠NOC：∠BOC＝1：4，
又∵∠AOB：∠BOC＝1：4，
∴∠AOB＝∠NOC，
故答案为：＝；
（2）由（1）可得∠AOB＝∠NOC，
设∠NOC＝α，则∠AOB＝α，∠BON＝3α，
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM∠AOBα，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝91°，
即α+3α＝91°，
解得α＝26°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+4α＝5×26°＝130°，
答：∠AOC＝130°．
39．已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．
（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．
【思路点拔】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，从而得到∠DOC的度数，即可求解；
（2）分两种情况，OE在OC的上方或OE在OC的下方，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，
∴，，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝54°；
（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，
设∠BOE＝x°，
当OE在OC的上方时，∠COE＝（x﹣36）°，
∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，
由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°，
解得x＝42，即∠BOE＝42°；
当OE在OC的下方时，则∠COE＝（36﹣x）°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，
由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°，
解得x＝27，即∠BOE＝27°；
综上，∠BOE的度数为42°或27°．
40．已知一副直角三角尺OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝90°，∠COD＝30°．
（1）将两个直角三角尺按如图1摆放，点A在边OC上，则∠BOD＝ 　60°　；
（2）将直角三角尺OCD从图1位置绕点O逆时针方向转到图2位置，使OB恰好平分∠COD，求∠AOC的度数；
（3）如图3，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，若三角尺OCD在∠AOB内部绕点O任意转动（OC、OD均在∠AOB内部），试判断∠MON的度数是否会发生变化？通过计算说明理由．
【思路点拔】（1）根据∠BOD＝∠AOB﹣∠COD即可得出答案；
（2）根据角平分线性质得∠COB＝15°，再根据∠AOC＝∠AOB﹣∠COB可得出答案；
（3）先求出∠AOC+∠BOD＝60°，再根据角平分线定义得∠MOC+∠NOD＝30°，由此可得∠MON得度数．
【解答】解：（1）依题意得：∠AOB＝90°，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OB恰好平分∠COD，
∴∠COB∠COD＝15°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣15°＝75°；
（3）∠MON的度数不发生变化，始终等于60°，理由如下：
∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC∠AOC，∠NOD∠BOD，
∴∠MOC+∠NOD（∠AOC+∠BOD）＝30°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOD+∠COD＝30°+30°＝60°．
41．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系．
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可．
【思路点拔】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°．
（2）如图2，∠MONα，
理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOCα+30°，∠NOC∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOCα．
（3）如图3，∠MONα，与β的大小无关．
理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC∠AOC（α+β），
∠NOC∠BOCβ，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+ββ＝αβ．
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
（α+β）βα，
即∠MONα．
42．将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 　37.5°　；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝α时，求∠MON的大小．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义直接进行计算即可；
（2）先根据∠BOC＝14°算出∠AOC＝31°，∠BOD＝16°，然后根据角平分线的定义进行计算即可；
（3）用n表示出∠AOC＝45°+α，∠BOD＝30°+α，然后根据角平分线的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝37.5°．
故答案为：37.5°；
（2）当∠BOC＝14°时，∠AOC＝45°﹣14°＝31°，∠BOD＝30°﹣14°＝16°，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝15.5°+8°+14°＝37.5°；
（3）当∠BOC＝α时，∠AOC＝45°+α，∠BOD＝30°+α，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，
，
∴．
43．已知直线AB经过点O，∠COD＝90°，射线OE是∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOC＝32°，求∠DOE的度数；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，若∠DOE＝58°，求∠AOC的度数；
（3）若∠DOE＝x度，由（1），（2）猜测∠AOC大小，请你直接写出∠AOC＝　2x　度；（用含x的式子表示）
【思路点拔】（1）已知∠AOC，可得∠BOC；由OE是∠BOC的角平分线，可得∠COE；则∠DOE＝∠COD﹣∠COE，即可求出；
（2）已知∠DOE，可得∠COE；由OE是∠BOC的角平分线，可得∠BOE；则∠AOC＝180°﹣∠BOE﹣∠COE，即可求出；
（3）根据题意，易得∠AOC＝2∠DOE＝2x（度）；
【解答】解：（1）∵∠AOC＝32°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝148°，
∵射线OE是∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝74°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣74°＝16°；
（2）∵∠DOE＝58°，
∴∠COE＝90°﹣∠DOE＝32°，
∵∠BOE＝∠COE，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOE﹣∠COE＝116°；
（3）根据（1）（2），猜测∠AOC＝2∠DOE＝2x（度）；
故答案为：2x．
44．【提出问题】
已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．
（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．
请补充完成下列解答过程：
解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，
∴∠AOD＝　70　°．
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝　20　°．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE＝　　∠AOD＝　35　°．
∴∠COE＝∠AOC+　∠AOE　＝　55　°．
【类比分析】
（2）如图2，设∠COE＝α，求∠BOD的度数（用含α的代数式表示）．
【变式探索】
（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，
∴∠AOD＝70°．
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝20°．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE∠AOD＝35°．
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝55°．
故答案为：70，20，，35，∠AOE，55．
（2）∵∠COD＝90°，∠COE＝α，
∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣α，
∵OEOE是∠AOD的平分线，
∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∵∠AOB＝180°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α，
（3）设∠ D O E＝x°，根据题意得：3（ x +90）﹣2（180﹣2 x ）＝78，
解得 x ＝24，
∴∠COE＝114°．
45．如图①，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数为　15°　；
（2）将图①中的∠COD绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图①中的∠COD绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系：　∠AOC＝360°﹣2∠DOE　．
【思路点拔】（1）由已知可求出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数；
（2）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
【解答】解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD∠BOC＝90°150°＝15°；
（2）∠AOC＝2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，
则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），
所以得：∠AOC＝2∠DOE；
（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE；
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE，
则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（∠DOE﹣90°），
所以得：∠AOC＝360°﹣2∠DOE；
故答案为：（1）15°；（3）∠AOC＝360°﹣2∠DOE．
46．如图，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度数．
【思路点拔】（1）根据角平分线定义得出∠BOC∠AOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠BOC和∠COE，再代入∠BOE＝∠BOC+∠COE求出即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC∠AOC80°＝40°；
（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°，
∴∠BOC∠AOC＝40°，∠COE＝2∠DOE＝60°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝40°+60°＝100°．
47．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°．
（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数．
（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数．
【思路点拔】（1）先求出∠AOD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠AOB，于是得到结论；
（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOD＝100°；
（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOCAOBx，
∴x﹣x＝20°，
解得x＝40°，
∴∠AOB＝3x＝120°．
48．已知：∠AOD＝160°，∠BOC＝20°．
（Ⅰ）如图1，求∠AOC+∠BOD的值．
（Ⅱ）如图2，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的值．
【思路点拔】（1）利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD，然后再利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）∵∠AOD＝160°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOC+∠BOC
＝∠AOD+∠BOC
＝160°+20°
＝180°，
∴∠AOC+∠BOD的值为180°；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD，
∵∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠MON＝∠MOC+∠CON
＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
∠AOC∠BOD﹣∠BOC
（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
180°﹣20°
＝90°﹣20°
＝70°，
∴∠MON的值为70°．
49．如图，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若，求∠AOE的度数．
【思路点拔】（1）利用角平分线定义，角的加减计算即可；
（2）先求出∠COB的度数，再判断∠COE的可能位置，分情况求出∠AOE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠COB∠AOB80°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD∠COB40°＝20°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+20°＝60°；
（2）由（1）知∠COB＝40°，∠AOC＝40°，
∴∠COE40°＝10°，
∴射线OE可能在射线OC上边，
此时∠AOE＝∠AOC﹣∠COE＝40°﹣10°＝30°，
射线OE可能在射线OC下边，
此时∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+10°＝50°，
∴∠AOE的度数为30°或50°．
50．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；
（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．
【思路点拔】（1）先利用角平分线的定义得到∠COD∠AOC，∠COE∠BOC，所以∠DOE∠AOB，然后根据平角的定义求解；
（2）先利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD＝65°，然后计算∠AOD+∠DOE即可；
（3）设∠COD＝3x，∠COE＝2x，然后利用∠COD+∠COE＝90°可计算出x＝18°，从而得到∠COD＝54°，则∠AOD＝54°，然后计算∠AOD+∠DOE．
【解答】解：（1）∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD∠AOC，∠COE∠BOC，
∴∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC），
即∠DOE∠AOB180°＝90°；
（2）∵∠AOD＝∠COD＝65°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝65°+90°＝155°；
（3）∵∠COD：∠COE＝3：2，
∴设∠COD＝3x，∠COE＝2x，
∵∠COD+∠COE＝90°，
∴3x+2x＝90°，
解得x＝18°，
∴∠COD＝54°，
∴∠AOD＝54°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝54°+90°＝144°．
51．如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC的平分线，
（1）求∠BOE的度数；
（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且，求∠COF的度数．
【思路点拔】（1）先利用角的和差关系可得∠BOC＝108°，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答；
（2）分两种情况：当射线OF在OA的上方时；当射线OF在OA的下方时；然后分别进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠BOD＝18°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝108°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOE∠BOC＝54°，
∴∠BOE的度数为54°；
（2）分两种情况：
当射线OF在OA的上方时，如图：
∵∠BOC＝108°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，
∵，
∴∠AOF72°＝24°，
∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝72°﹣24°＝48°；
当射线OF在OA的下方时，如图：
∵∠BOC＝108°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，
∵，
∴∠AOF72°＝24°，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝72°+24°＝96°；
综上所述：∠COF的度数为48°或96°．
52．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝140°．
（1）求∠COE的度数是多少？
（2）如果∠COD＝30°，求∠BOE的度数．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义得出∠COD∠AOD，∠DOE∠BOD，那么∠COE＝∠COD+∠DOE∠AOB＝70°；
（2）先根据∠COD＝20°求出∠AOD的度数，再根据∠AOB＝130°求出∠BOD的度数，根据角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，
∴∠COD∠AOD，∠DOE∠BOD，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE
∠AOD∠BOD
（∠AOD+∠BOD）
∠AOB
＝70°；
（2）∵OC是∠AOD的平分线，∠COD＝30°，
∴∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝140°﹣60°＝80°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE∠BOD80°＝40°．
53．已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．
（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．
【思路点拔】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝180°﹣∠BOM计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝20°，
∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝70°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠MOC＝140°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝40°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
54．如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝20°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC比∠BOD小30°，求∠AOE的度数．
【思路点拔】（1）先利用平角定义可得∠BOC＝160°，再利用角平分线的定义可得∠COE＝80°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（2）设∠BOD＝x°，则∠AOC＝（x﹣30）°，然后利用平角定义可得∠AOC+∠BOD＝90°，从而可得x﹣30+x＝90，进而可得∠AOC＝30°，再利用平角定义可得∠BOC＝150°，从而利用角平分线的定义可得∠BOE＝75°，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝160°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE∠BOC＝80°，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝10°，
∴∠DOE的度数为10°；
（2）设∠BOD＝x°，
∵∠AOC比∠BOD小30°，
∴∠AOC＝（x﹣30）°，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∴x﹣30+x＝90，
解得：x＝60，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE∠BOC＝75°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝105°，
∴∠AOE的度数为105°
55．如图，已知点O为直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠DOF＝90°．
（1）若∠BOC＝40°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COD＝2∠EOF，∠AOE与∠DOE是否相等？请说明理由．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义可得，的度数，再根据∠AOF＝180°﹣∠DOF﹣∠BOD进行计算即可得出答案；
（2）设∠EOF＝α，根据题意可得出∠COD＝∠BOD＝2α，则可得∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°﹣α，由∠AOF＝90°﹣∠BOD＝90°﹣2α，可得出∠AOE＝∠AOF+∠EOF＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，即可得出∠AOE＝∠EOC，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝40°，OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝20°，
∵∠DOF＝90°，
∴∠AOF＝180°﹣20°﹣90°＝70°；
（2）∠AOE与∠DOE 相等；
设∠EOF＝α，则∠COD＝2∠EOF＝2α，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD＝2α，
∵∠DOF＝90°，
∴∠AOF＝180°﹣2α﹣90°＝90°﹣2α，
∵∠AOE＝∠AOF+∠EOF＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠DOE＝∠DOF﹣∠EOF＝90°﹣α，
∴∠AOE＝∠DOE．
56．如图，射线OA在∠BOC的内部，已知∠AOB＝α，∠AOC＝β（0°＜α＜90°，0°＜β＜90°），OP与OQ分别是∠AOB和∠BOC的平分线．
（1）当α＝40°，β＝30°时，求∠POQ的度数；
（2）当α＝40°，β＝60°时，则∠POQ的度数为 　30°　；
（3）继续探究，发现∠POQ与β之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是：　∠POQβ　．
【思路点拔】（1）先利用角的和差关系求出∠BOC＝70°，然后利用角平分线的定义求出∠BOP＝20°，∠BOQ＝35°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的思路，进行计算即可解答；
（3）利用（1）的思路，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝α＝40°，∠AOC＝β＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°，
∵OP与OQ分别是∠AOB和∠BOC的平分线，
∴∠BOP∠AOB＝20°，∠BOQ∠BOC＝35°，
∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝15°，
∴∠POQ的度数为15°；
（2））∵∠AOB＝α＝40°，∠AOC＝β＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝100°，
∵OP与OQ分别是∠AOB和∠BOC的平分线，
∴∠BOP∠AOB＝20°，∠BOQ∠BOC＝50°，
∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP＝30°，
故答案为：30°；
（3）∵OP与OQ分别是∠AOB和∠BOC的平分线，
∴∠BOP∠AOB，∠BOQ∠BOC，
∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠BOP
∠BOC∠AOB
（∠BOC﹣∠AOB）
∠AOC，
β，
故答案为：∠POQβ．
57．如图1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3．
（1）求∠DOE．
（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．
【思路点拔】（1）根据已知易得∠AOB∠AOC＝60°，∠BOC∠AOC＝100°，再根据∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，然后求出∠AOD＝20°，∠BOD＝40°，∠COE＝60°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（2）利用角平分线的定义和（1）的结论可得∠DOM∠BOD＝20°，∠CON∠COE＝30°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝160°，∠AOB∠BOC，
∴∠AOB∠AOC＝60°，∠BOC∠AOC＝100°，
∵∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，
∴∠AOD∠AOB＝20°，∠BOD∠AOB＝40°，
∴∠COE＝3∠AOD＝60°，
∴∠DOE＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠COE＝160°﹣20°﹣60°＝80°，
∴∠DOE的度数为80°；
（2）∵OM平分∠BOD，
∴∠DOM∠BOD＝20°，
∵ON平分∠COE，
∴∠CON∠COE＝30°，
∴∠MON＝∠AOC﹣∠CON﹣∠AOD﹣∠DOM
＝160°﹣30°﹣20°﹣20°
＝90°，
∴∠MON的度数为90°．
58．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD＝60°，
①求∠AOE的度数；
②若∠AOF＝20°，直接写出∠FOD的度数．
【思路点拔】（1）利用角平分线的定义解答即可；
（2）①利用角平分线的定义和角的和差的意义解答即可；
②
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC∠AOC，∠COE∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE（∠AOC+∠BOC），
∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE180°＝90°；
（2）①∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC∠AOC，∠COE∠BOC，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
∴∠COE∠BOC＝30°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°+30°＝150°；
②当OF在OA上边时，如图：
∵∠AOF＝20°，∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠FOD＝∠AOD﹣∠AOF＝40°；
当OF在OA下边时，如图：
∵∠AOF＝20°，∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠FOD＝∠AOD+∠AOF＝80°，
综上所述，∠FOD为40°或80°．
59．如图，点O在直线AB上，∠COD在直线AB上方，且∠COD＝60°，射线OE在∠COD内部，∠AOE＝2∠DOE．
（1）如图1，若OD是∠BOC的平分线，求∠COE的度数；
（2）如图2，探究发现：当∠BOD的大小发生变化时，∠COE与∠BOD的数量关系保持不变．请你用等式表示出∠COE与∠BOD的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，再利用∠AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【解答】解：（1）∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝120°．
∵∠AOD＝∠AOE+∠DOE，∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE，
∴，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝20°．
（2）∠BOD＝3∠COE，
设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
60．已知∠AOB＝120°，在∠AOB内部作射线OC，使得∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）如图，在∠BOC内部作射线ON，使得∠BON＝3∠CON；作射线OM平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）如果过点O作射线OD，使得2∠AOD＝3∠BOD，则∠COD的度数为 　32°或176°　．（不需写演推过程）
【思路点拔】（1）根据题意可求出．再根据∠BON＝3∠CON和OM平分∠AOC，可求出，，进而可求出∠MON＝∠COM+∠CON＝40°；
（2）分类讨论：当OD在∠AOB内部时，设∠BOD＝x°，则，由∠BOD+∠AOD＝∠AOB＝120°，可列出关于x的方程，解出x的值，即得出∠BOD的大小，最后由∠COD＝∠BOC﹣∠BOD计算即可；②当OD在∠AOB外部时，设∠BOD＝y°，则，由∠BOD+∠AOD+∠AOB＝360°，可列出关于y的方程，解出y的值，即得出∠BOD的大小，最后由∠COD＝∠BOC+∠BOD计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∠AOC：∠BOC＝1：2，
∴．
∵∠BOC＝∠BON+∠CON＝80°，∠BON＝3∠CON，
∴．
∵OM平分∠AOC，
∴，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝40°．
（2）分类讨论：①如图，当OD在∠AOB内部时，
设∠BOD＝x°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴，
∵∠BOD+∠AOD＝∠AOB＝120°，
∴，
解得：x＝48，
∴∠BOD＝48°．
∵∠BOC＝80°，
∴∠COD＝80°﹣48°＝32°；
②如图，当OD在∠AOB外部时，
设∠BOD＝y°，则，
∵∠BOD+∠AOD+∠AOB＝360°，
∴，
解得：y＝96，
∴∠BOD＝96°．
∴∠COD＝80°+96°＝176°．
故答案为：32°或176°．

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