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专题01 正比例函数和反比例函数 解答压轴题
一．解答题
1．（2023秋 杨浦区期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
2．（2023秋 长宁区校级期末）已知在直角坐标平面内，函数y＝﹣的图象经过点A（﹣4，a），点A关于x轴的对称点B在直线y＝kx上．
（1）求k的值：
（2）点P在射线BO上，点Q是坐标平面内一点，PQ⊥x轴．如果△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，求点Q的坐标．
3．（2022秋 长宁区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于点A，且点A的横坐标为3．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）已知点B在这个正比例函数的图象上，且在点A上方，直线BC∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点C，交y轴于点D，如果点C恰好是BD的中点，求点B的坐标．
4．（2022秋 长宁区校级期末）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为（a，3）（其中a＞4），射线OA与反比例函数的图象交于点P，点B在函数的图象上，且AB∥x轴．
（1）当点P横坐标为8时，求直线AO的表达式；
（2）联结BO，当OA平分OB与x轴正半轴的夹角时，求点P的坐标．
5．（2023秋 闵行区期末）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于点A．已知OA＝4，直线OA与y轴的夹角为30°．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
6．（2023秋 松江区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a）．
（1）求k的值；
（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．
①求AB的长；
②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为时，求点C的坐标．
7．（2021秋 虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．
（1）在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB＝3，求MO．
（2）若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）
8．（2023秋 金山区期末）如图，直线y＝mx（m＞0）的图象与双曲线交于A、B两点，且点A的坐标为（2，4），过A作AC⊥y轴，垂足为点C．
（1）求m和n的值；
（2）联结BC，直接写出点B的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）如果在双曲线上有一点D，点D在第一象限且满足，求点D的坐标．
9．（2023秋 静安区校级期末）如图，已知点O为坐标原点，点A在正比例函数第一象限的图象上，OA＝4，反比例函数的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点B在x轴上，且AB＝AO．如果点P在反比例函数的图象上（点P与点A不重合），Q在x轴上，△PQB为等边三角形，求点Q的坐标．
10．（2023秋 长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线（k＞0）上有一动点C（m，n）（0＜m＜4）．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）若CD＝3AB，求点C坐标；
（3）联结OC、AC，当△COD与△AOB的重合部分的面积值为1时，求△ACO的面积．
11．（2024 二七区校级四模）如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数）的图象交于点A（a，4）和B（8，1）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）若点E是x轴上一动点，且∠OAE＝∠AOC，请直接写出点E的坐标．
12．（2023秋 杨浦区期中）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k≠0）交第一象限于点A（m，4）．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）将点O绕点A逆时针旋转90°至点B，求直线OB的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若点C是射线OB上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交双曲线y＝（k≠0）的图象于点D，交x轴于点E，且S△DCO：S△DEO＝2：3，求点C的坐标．
13．（2021秋 杨浦区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
（1）若BC＝4，求点E的坐标；
（2）连接AE，OE．
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
14．（2023秋 浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，直线y＝x经过点A（m，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A和点B（8，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直线y＝x上有一点C，使得S△ABC＝，直接写出点C的坐标．
15．（2023秋 青浦区校级期中）在平面直角坐标系平面中，直线经过点A（m，2），反比例函数（k≠0）的图象经过点A和点B（8，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴上找一点C，当AC＝BC时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACB的面积．
16．（2023秋 长宁区校级期中）在直角平面坐标系中，直线y＝2x与双曲线相交于点A（1，n），将原点O绕点A逆时针旋转90°得到对应点B．
（1）求n、k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）联结OB，直线OB与双曲线相交于点C，求S△AOC的值．
17．（2023秋 杨浦区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，4）在反比例函数y＝上的图象上，将点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，点B恰好落在反比例函数y＝的图象上．
（1）求点A、B的坐标．
（2）联结BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求S△ABC．
18．（2023秋 浦东新区校级期末）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0），反比例函数y＝（k2≠0），在同一坐标平面内有公共点A（﹣8，a），且反比例函数的图象经过点P（6，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求正比例函数的解析式；
（3）如果y轴上有一点B（0，﹣3），x轴上有一点C，若△ABC是等腰三角形，求点C的坐标．
19．（2023秋 长宁区校级期中）如图，在Rt△ABO中，直角顶点B在x轴正半轴上，反比例函数y＝（n＞0）的图象分别与边AO、边AB交于点C、D．
（1）如果点C的坐标为（2，3），且AD＝8，求n的值及点B的坐标；
（2）联结CB，如果AD＝DB，求S△OAB：S△OCB的值．
20．（2022秋 青浦区校级期中）如图，A为反比例函数y＝（k＜0）的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．
（1）联结AO，当S△APO＝2时，求反比例函数的解析式；
（2）联结AO，若A（﹣1，2），y轴上是否存在点M，使得S△APM＝S△APO，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由，
（3）点B在直线AP上，且PB＝3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．
21．（2023秋 青浦区校级期中）如图，已知正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点 E．
（1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式．
（2）当点D的纵坐标为6时，求△AEP的面积．
（3）在第（2）小题的条件下，若直线OD上存在一点M，且点M的横坐标为m，△AEM的面积为S，直接写出S关于m的解析式，并写出定义域．
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专题01 正比例函数和反比例函数 解答压轴题
一．解答题
1．（2023秋 杨浦区期末）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，
∴m＝×4，
解得m＝2，
即A（4，2），
把A点坐标代入反比例函数得，2＝，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设P点的坐标为（n，0），
若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：
①当OA＝OP时，
由（1）知，A（4，2），
∴n＝＝2，
即P（2，0）；
②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，
∵A（4，2），
∴OH＝4，
∵OA＝AP，
∴OP＝2OH＝2×4＝8，
即P（8，0）；
③当OP＝AP时，
∵A（4，2），
∴n＝，
即n2＝（4﹣n）2+22，
解得n＝，
即P（，0），
综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键．
2．（2023秋 长宁区校级期末）已知在直角坐标平面内，函数y＝﹣的图象经过点A（﹣4，a），点A关于x轴的对称点B在直线y＝kx上．
（1）求k的值：
（2）点P在射线BO上，点Q是坐标平面内一点，PQ⊥x轴．如果△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，求点Q的坐标．
【分析】（1）把A（﹣4，a）代入y＝﹣，得到点A的坐标，从而得到点B的坐标，代入y＝kx解出k的值；
（2）设点P的坐标为（m，），连接AP，作∠PAQ＝90°，AQ＝AP，过点A作直线平行于y轴，分别过点P，Q作PM，QN垂直于该直线，垂足为M，N，证明△ANQ≌△PMA，求出点Q的坐标，通过xP＝xQ，求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣4，a）代入y＝﹣，得a＝2，
∴点A的坐标为（﹣4，2），
∵点A与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2），
把点B（﹣4，﹣2）代入y＝kx，解得k＝；
（2）设点P的坐标为（m，），连接AP，作∠PAQ＝90°，AQ＝AP，过点A作直线平行于y轴，分别过点P，Q作PM，QN垂直于该直线，垂足为M，N，
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝AP，
∵∠MAP+∠APM＝90°，∠MAP+∠QAN＝90°，
∴∠APM＝∠QAN，
∵∠QNA＝∠AMP＝90°，AQ＝AP，
∴△ANQ≌△PMA（AAS），
∴AM＝NQ，AN＝PM，
∵A（﹣4，﹣2），P，
∴AM＝NQ＝，AN＝PM＝m+4，
∴点Q的坐标为，
∵PQ⊥x轴，
∴xP＝xQ，
即，解得，
∴点Q的坐标为．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，本题的关键是根据题意画图，通过构造全等研究线段的数量关系，从而求出点Q的坐标．
3．（2022秋 长宁区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于点A，且点A的横坐标为3．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）已知点B在这个正比例函数的图象上，且在点A上方，直线BC∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点C，交y轴于点D，如果点C恰好是BD的中点，求点B的坐标．
【分析】（1）将点A的横坐标代入反比例函数求得点A的纵坐标为2，进而将点A的坐标代入正比例函数解析式即可求解；
（2）设点B的坐标为，则，将点C代入反比例函数解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵x＝3代入，得
∴，
∴A（3，2），
将A（3，2）代入y＝kx，得2＝3k，解得，
∴正比例函数解析式为．
（2）依题意，设点B的坐标为，则，
∵C在反比例函数图象上，
∴，
解得：．
∵点B在点A的上方，
∴．
【点评】本题考查了反比例函数图象与正比例函数图象，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
4．（2022秋 长宁区校级期末）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为（a，3）（其中a＞4），射线OA与反比例函数的图象交于点P，点B在函数的图象上，且AB∥x轴．
（1）当点P横坐标为8时，求直线AO的表达式；
（2）联结BO，当OA平分OB与x轴正半轴的夹角时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB＝OB，可得A点坐标，进而求得直线OA的解析式，与反比例函数的解析式联立，通过解方程组即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵点P横坐标为8，
∴点P横坐标为：y＝＝，
∴P（8，），
设直线AO的解析式为y＝kx，
代入P（8，），得＝8k，
解得k＝，
∴直线AO的解析式为y＝x；
（2）∵点A的坐标为（a，3）（其中a＞4），AB∥x轴，
∴B点纵坐标为3．
当y＝3时，x＝4，
∴B（4，3），
∴OB＝＝5，
∵OA平分OB与x轴正半轴的夹角，
∴∠AOB＝∠AOX，
∵AB∥x轴，
∴∠AOX＝∠OAB，
∴∠AOB＝∠OAB，
∴AB＝OB＝5，
∴A（9，3），
∴直线AO的解析式为y＝，
由，解得或，
∴P（6，2）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用平行x轴直线上的点的纵坐标相等得出B点的纵坐标，再利用函数值与自变量的关系得出B点坐标，利用两线段相等得出A点坐标，利用解方程组得出P点坐标．
5．（2023秋 闵行区期末）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于点A．已知OA＝4，直线OA与y轴的夹角为30°．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，利用待定系数法可求解；
（2）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于E，
∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，
∴点A（2，2）；
∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴m＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）如图，
当点P1在y轴上时，且∠AP1O＝90°，
又∵∠AOP1＝30°，
∴AP1＝2，OP1＝AP1＝2，
∴点P1（0，2）；
当点P2在x轴上，且∠AP2O＝90°，
又∵∠OAP2＝30°，
∴OP2＝2，
∴点P2（2，0）；
当点P3在y轴上，且∠P3AO＝90°，
又∵∠AOP3＝30°，
∴OP3＝2AP3，AO＝AP3＝4，
∴OP3＝，
∴点P3（0，）；
当点P4在x轴上，且∠P4AO＝90°，
∵∠AOP4＝60°，
∴∠AP4O＝30°，
∴OP4＝2OA＝8，
∴点P4（8，0）；
综上所述：点P的坐标为（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．（2023秋 松江区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a）．
（1）求k的值；
（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．
①求AB的长；
②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为时，求点C的坐标．
【分析】（1）把A（﹣1，a）代入y＝﹣2x求得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入得到k＝﹣2；
（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，设B（0，m），根据勾股定理得到结论；
（3）设C（a，﹣2a），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a），
∴a＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴A（﹣1，2），
∴2＝，
∴k＝﹣2；
（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，
∴AH＝1，OH＝2，
设B（0，m），
∴BH＝m﹣2，
∵AO2＝12+22＝5，
∴AB2＝OB2﹣AO2＝AH2+BH2，
∴m2﹣5＝1+（m﹣2）2，
解得m＝2.5，
∴OB＝，
∴AB＝＝；
（3）∵点C在直线OA上，
∴设C（a，﹣2a），
∵∠BAO＝90°，
∴S△ABC＝＝××＝，
解得a＝﹣或a＝﹣，
∴点C的坐标为（﹣，）或（﹣，）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，勾股定理，正确地画出图形是解题的关键．
7．（2021秋 虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．
（1）在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB＝3，求MO．
（2）若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）
【分析】（1）过M作MH⊥x轴交x轴于点H，利用勾股定理得出OM与OH的关系，再计算出OH和OM即可；
（2）过C作CF⊥x轴交x轴于点F，过D作DG⊥x轴交x轴于点G，OF＝a，分别用a的代数式表示出C点和D点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【解答】解：（1）如图，过M作MH⊥x轴交x轴于点H，
设OH＝m，
∵∠EOB＝90°，△EOB是一个等腰直角三角形，
∴EO＝BO，∠EBO＝45°，
∴直角△MHB也是等腰直角三角形，
即MH＝BH，
∵MH2+BH2＝BM2，
即2MH2＝（3）2＝18，
解得：MH＝3，
又∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠OMH＝30°，
∴OM＝2OH＝2m，
在Rt△MOH中，MH2+OH2＝OM2，
即：9+m2＝4m2，
解得：，（舍）
∴；
（2）如图，过C作CF⊥x轴交x轴于点F，过D作DG⊥x轴交x轴于点G，
设OF＝a，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∴∠OCF＝∠BDG＝30°，
∴OC＝2OF＝2a，BD＝2BG，
∵OC＝3BD，
∴，
∴，
∴，
在Rt△COF中，，
在Rt△DBG中，，
∴，，
∵点C和点D在上，
则：，
解得：，
∴反比例函数解析式为．
【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
8．（2023秋 金山区期末）如图，直线y＝mx（m＞0）的图象与双曲线交于A、B两点，且点A的坐标为（2，4），过A作AC⊥y轴，垂足为点C．
（1）求m和n的值；
（2）联结BC，直接写出点B的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）如果在双曲线上有一点D，点D在第一象限且满足，求点D的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求出答案；
（2）求出直线解析式与双曲线的解析式，然后将其联立解方程组，得点B与C的坐标，再根据三角形的面积公式及坐标的意义求解；
（3）设点D的坐标为（a，）根据S△ADC＝S△ABC，求出a的值，即可求出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝mx（m≠0）与双曲线y＝相交于A（2，4），
∴2m＝4，4＝
∴m＝2，n＝8；
（2）∵m＝2，n＝8，
∴直线的解析式为y＝2x，双曲线的解析式为y＝
解方程组，
解得
，，
则点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（﹣2，﹣4），
∵AC⊥y轴，
∴点C的坐标为（0，4），
∴S△ABC＝×2×（4+4）＝8；
（3）∵点D在双曲线上
∴设点D的坐标为（a，）（a＞0），
∵AC⊥y轴，S△ABC＝8，S△ADC＝S△ABC，C（2，4）
∴×2×|﹣4|＝2，
解得a＝或a＝4，
∴点D的坐标为（4，2）或（，6）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解函数的图象的交点与两函数解析式之间的关系．
9．（2023秋 静安区校级期末）如图，已知点O为坐标原点，点A在正比例函数第一象限的图象上，OA＝4，反比例函数的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点B在x轴上，且AB＝AO．如果点P在反比例函数的图象上（点P与点A不重合），Q在x轴上，△PQB为等边三角形，求点Q的坐标．
【分析】（1）设点A（m，m），根据勾股定理得到＝4，求得A（2，2），设反比例函数的解析式为y＝，于是得到结论；
（2）过点P作PH⊥BQ于H，根据等边三角形的性质得到BH＝HQ，根据三角函数的定义得到∠AOB＝60°，求得OB＝4，设P（a，），得到BH＝＝＝，当点P在第一象限且点Q在点B的左侧时，当点P在第一象限且点Q在点B的右侧时，OH＝OB+BH＝4+＝a，当点P在第三象限时，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝x第一象限的图象上，OA＝4，
∴设点A（m，m），
∴＝4，
解得m＝2（舍去负值），
∴A（2，2），
设反比例函数的解析式为y＝，
∴2＝，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵△PQB为等边三角形，
∴∠PBQ＝60°，
过点P作PH⊥BQ于H，
∴BH＝HQ，
∵A（2，2），
∴tan∠AOB＝，
∴∠AOB＝60°，
∵AB＝AO＝4．
∴△AOB为等边三角形，OB＝4，
设P（a，），
则BH＝＝＝，
当点P在第一象限且点Q在点B的左侧时，OH＝OB﹣BH＝4﹣＝a，
解得a＝2，
∴BH＝2，
∴P（2，2），
∵点P与点A不重合，
∴这种情况不符合题意；
当点P在第一象限且点Q在点B的右侧时，OH＝OB+BH＝4+＝a，
解得a＝2+2（负值舍去），
∴P（2+2，2﹣2），
∴BH＝2﹣2，
∴BQ＝2BH＝4﹣4，
∴OQ＝OB+BQ＝4；
∴Q（4，0），
当点P在第三象限时，OH＝BH﹣OB＝4+＝﹣a，
解得a＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
∴BH＝6，
∴BQ＝12，
∴OQ＝8，
∴Q（﹣8，0），
综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（﹣8，0）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，分类讨论是解题的关键．
10．（2023秋 长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线（k＞0）上有一动点C（m，n）（0＜m＜4）．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）若CD＝3AB，求点C坐标；
（3）联结OC、AC，当△COD与△AOB的重合部分的面积值为1时，求△ACO的面积．
【分析】（1）设A点的坐标为（4，λ），根据列方程组即可得到结论；
（2）由（1）知，k＝8，∴得到＝，设点A（a，b），求得a＝＝，根据A在直线y＝x上，得到 ＝n，求得n＝6（舍去负值），于是得到结论；
（3）设△COD与△AOB的重合部分的面积值为S，设E点的坐标为E（m，m），根据三角形的面积公式得到E（2，1），求得OD＝2，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）设A点的坐标为（4，λ），
由题意得，
解得k＝8，λ＝2，
∴k的值为8；
（2）由（1）知，k＝8，
∴y＝，
设点A（a，b），
∵CD＝3AB，
∴b＝n，
∴a＝＝，
∵A在直线y＝x上，
∴ ＝n，
解得n＝6（舍去负值），
∴m＝＝，
∴C（，6）；
（3）如图，设△COD与△AOB的重合部分的面积值为S，
∵E在直线y＝x上，
∴设E点的坐标为E（m，m），
∴OD＝m，
∴S＝OD DE＝m m＝m2，
∴m2＝1，
解得m＝2或﹣2（舍去），
∴E（2，1），
∵点C在函数y＝的图象上，
∴CD＝＝4
∴OD＝2，
∵S△AOB＝S△COD＝4，
∴S△CEO＝梯形ABDC的面积＝4﹣S△ODE＝3，
由（1）知OB＝4，AB＝2，
∴BD＝4﹣2＝2，
∴梯形ABDC的面积＝BD （DE+AB）＝＝3，
∴S△AOC＝S梯形ABDC+S△COD﹣S△AOB＝梯形ABDC的面积＝6．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数k的几何意义，正确地求得k的值是解题的关键．
11．（2024 二七区校级四模）如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数）的图象交于点A（a，4）和B（8，1）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）若点E是x轴上一动点，且∠OAE＝∠AOC，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，先将B（8，1）代入，求得反比例函数解析式，再将点A坐标代入反比例函数解析式，求得点A坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）求得点D的坐标，根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD即可求解．
（3）分两种情况讨论，①过点A作AE1⊥x轴，则AE1∥OC，即可得到E1（2，0），②作∠OAE2＝∠AOC，AE2交y轴于点F，过点A作AG⊥y轴，设OF＝a，则AF＝a，由勾股定理求得点F坐标，再求出直线AF的解析式，即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
将B（8，1）代入，可得m＝8，
∴，
将A（a，4）代入，
可得a＝2，
∴A（2，4），
将A（2，4）和B（8，1）代入y＝kx+b，
可得，解得：，
∴；
（2）当y＝0时，，
解得：x＝10，
∴D（10，0），
S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD
＝
＝15
（3）解：如图，过点A作AE1⊥x轴，
则AE1∥OC，
∴∠OAE1＝∠AOC，
∵A（2，4）
∴E1（2，0），
如图，作∠OAE2＝∠AOC，AE2交y轴于点F，过点A作AG⊥y轴，
∴OG＝4，AG＝2，
∵∠OAE2＝∠AOC，
∴AF＝OF，
设OF＝a，则AF＝a，
∴FG＝4﹣a，
由勾股定理可得：AG2+FG2＝AF2，
∴22+（4﹣a）2＝a2，
解得，
∴，，
设直线AF的解析式为y＝mx+n，代入，A（2，4），
可解得，
当y＝0时，，
∴，
综上，点E的坐标为（2，0）或．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，以及勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键．
12．（2023秋 杨浦区期中）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k≠0）交第一象限于点A（m，4）．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）将点O绕点A逆时针旋转90°至点B，求直线OB的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若点C是射线OB上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交双曲线y＝（k≠0）的图象于点D，交x轴于点E，且S△DCO：S△DEO＝2：3，求点C的坐标．
【分析】（1）联立直线与双曲线的解析式，可得出点A的横坐标，再将点A的坐标代入直线表达式即可求得a的值；
（2）根据题意，找出点B的位置，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥AF于点M，可证△AOF≌△BAM，由此可得点B的坐标，由待定系数法求可求出直线OB的解析式；
（3）根据题意作出图形，由面积比可得DC：DE＝1：2，设点C的横坐标为m，由此表达点D，E的坐标，进而可得DC和DE的长度，得出关于m的方程，解之即可．
【解答】解：（1）点A（m，4）在直线y＝2x，
∴4＝2m，
∴m＝2，
∵点A在第一象限，且点A的纵坐标为4，
∴A（2，4），
将点A（2，4）代入直线y＝（k≠0），
∴k＝2×4＝8，
y＝；
（2）根据题意，找出点B的位置，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BM⊥AF于点M，如图：
∴∠AFO＝∠AMB＝90°，
∴∠AOF+∠OAF＝∠OAF+∠BAM＝90°，
∴∠AOF＝∠BAM，
由旋转可知，OA＝AB，
∴△AOF≌△BAM（AAS），
∴AM＝OF＝2，BM＝AF＝4，
∴B（6，2），
∴直线OB的解析式为：y＝x；
（3）如图，S△DCO＝DC OE，S△DEO＝DE OE，
∵S△DCO：S△DEO＝1：2，
∴（DC OE）：（DE OE）＝2：3，即DC：DE＝2：3；
即DC＝DE，
设点C的横坐标为m，由（1）可知抛物线的解析式为：y＝，
∴C（m，m），D（m，），E（m，0），
∴DC＝|m﹣|，DE＝，
∴|m﹣|＝×，解得m＝2或m＝2（负值舍去）；
∴点C的坐标为（2，）或（2，）．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键．
13．（2021秋 杨浦区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．
（1）若BC＝4，求点E的坐标；
（2）连接AE，OE．
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC＝4，求得A（2，4），得到k＝2×4＝8，于是求得点E的坐标为；
（2）①设A（a，2a）（a＞0），则点，根据梯形的面积公式即可得到答案；
②根据余角的性质得到∠OAB＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到OB＝DE，由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点，求得OB＝a，，推出k＝0，于是得到答案．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∵OC＝OB+BC＝6，
∴xE＝6，
将xE＝6代入中，得：，
∴点E的坐标为；
（2）①设A（a，2a）（a＞0），则点，
∵S△ABO＝S△CEO＝×8＝4，
∴S△AHO＝S梯形BCEH，
∵S梯形ABCE＝S△AEH+S梯形BCEH，
S△AEH+S△AHO＝S△AOE＝24，
∴
解得a2＝9，
∴k＝2a2＝18；
②答：不存在，
理由：∵AE⊥OA，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠OAB＝∠DAE，
∵∠ABO＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△OAB≌△EAD（ASA），
∴OB＝DE，
由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点，
∴OB＝a，，
∴，
∴a＝0，
∴k＝0，
∵k＞0，
∴不符合题意，不存在．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（2023秋 浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，直线y＝x经过点A（m，2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A和点B（8，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直线y＝x上有一点C，使得S△ABC＝，直接写出点C的坐标．
【分析】（1）先依据题意，把点A（m，2）代入y＝x求出m，再把点A的坐标代入y＝求出k即可；
（2）依据题意，连接AB、OB，分别过A，B作AG⊥OH于G，作BH⊥OH于H，先求出点B的坐标，再结合A，可得S△AOB＝S△AOG+S梯形AGHB﹣S△BOH，进而可以计算得解；
（3）依据题意，点C可能在A的上方或下方两种情形，进而分析计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵直线y＝x经过点A（m，2），
∴＝2．
∴m＝4．
∴A（4，2）．
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴＝2．
∴k＝8．
∴反比例函数解析式为y＝．
（2）如图，连接AB、OB，分别过A，B作AG⊥OH于G，作BH⊥OH于H．
∵B（8，n）在反比例函数y＝上，
∴n＝1．
∴B（8，1）．
∵A（4，2），
∴S△AOB＝S△AOG+S梯形AGHB﹣S△BOH
＝OG AG+（AG+BH） GH﹣OH BH
＝×4×2+（2+1）×4﹣×8×1
＝4+6﹣4
＝6．
∴S△AOB＝6．
（3）由题意，作图如下．
①C在A上方．作CE⊥OH于E．
∵S△ABC＝，
∴AC h＝×OA h．
∴AC＝OA．
∴＝．
∵CE⊥OH，AG⊥OH，
∴AG∥CE．
∴．
∴CE＝AG＝＝3，OE＝OG＝＝6．
∴C（6，3）．
②当C在A下方时，作CD⊥OH．
∵S△ABC＝，
∴AC h＝×OA h．
∴AC＝OA．
∵CD⊥OH，AG⊥OH，
∴AG∥CD．
∴．
∴OD＝OG＝＝2，CD＝AG＝＝1．
∴C（2，1）．
综上，C（6，3）或（2，1）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
15．（2023秋 青浦区校级期中）在平面直角坐标系平面中，直线经过点A（m，2），反比例函数（k≠0）的图象经过点A和点B（8，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴上找一点C，当AC＝BC时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACB的面积．
【分析】（1）由点A的坐标求出k＝8，则可得出答案；
（2）设点C（x，0），由两点间的距离公式可得出答案；
（3）过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，根据△ACB的面积＝S梯形AGHB﹣S△AGC﹣S△BHC可得出答案．
【解答】解：（1）∵直线经过点A（m，2），
∴×m＝2，
∴m＝4，
∴A（4，2），
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝．
（2）∵反比例函数的图象经过点B（8，n），
∴n＝，
∴B（8，1），
设点C（x，0），
∴AC＝＝，BC＝＝，
当AC＝BC时，得：（x﹣4）2+4＝（x﹣8）2+1，
解得：x＝，
∴C（，0）；
（3）如图，过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A（4，2），B（8，1），C（，0），
∴△ACB的面积＝S梯形AGHB﹣S△AGC﹣S△BHC
＝﹣
＝．
【点评】本题考查了待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．（2023秋 长宁区校级期中）在直角平面坐标系中，直线y＝2x与双曲线相交于点A（1，n），将原点O绕点A逆时针旋转90°得到对应点B．
（1）求n、k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）联结OB，直线OB与双曲线相交于点C，求S△AOC的值．
【分析】（1）将点A（1，n）代入y＝2x，得n＝2，再将点A（1，2）代入，得k＝2，由此可得出答案；
（2）过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BD⊥x轴于D，DB的延长线于EA的延长线交于F，过点C作CP⊥x轴于P，CP的延长线交EF于H，则AE＝1，OE＝FD＝2，OD＝EF，证明△OAE和△ABF全等得AE＝BF＝1，OE＝AF＝2，由此可得点B的坐标；
（3）先求出直线OB表达式为，解方程组得点C，则SACH＝AH CH＝，由反比例函数比例系数的几何意义得S△OAE＝S△OCP＝1，再由S△AOC＝S矩形OEHP﹣S△OAE﹣S△OCP﹣S△ACH可得出答案．
【解答】解：将点A（1，n）代入y＝2x，得：n＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
将点A（1，2）代入，得：k＝1×2＝2；
∴双曲线的表达式为：，
故n＝2，k＝2；
（2）过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BD⊥x轴于D，DB的延长线于EA的延长线交于F，过点C作CP⊥x轴于P，CP的延长线交EF于H，如图所示：
∵∠EOD＝90°，A（1，2），
∴四边形OEEFD，四边形OEHP，四边形PHFD均为矩形，
∴∠OEA＝∠F＝90°，AE＝1，OE＝FD＝2，OD＝EF，
∴∠AOE+∠OAE＝90°，
由旋转性质得：AO＝AB，∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠BAF＝90°，
∴∠OEA＝∠BAF，
在△OAE和△ABF中，
，
∴△OAE≌△ABF（AAS），
∴AE＝BF＝1，OE＝AF＝2，
∴OD＝EF＝AE+AF＝3，BD＝FD﹣BF＝1，
∴点B的坐标为（3，1）；
（3）设直线OB的表达式为：y＝ax，
将点B（3，1）代入y＝ax，得：1＝3a，
解得：，
∴直线OB的表达式为：，
解方程组：，得：，，
∴点C的坐标为：，
∴OP＝，CP＝，
∴AH＝OP﹣AE＝，CH＝OE﹣CP＝，
∴S△ACH＝AH CH＝，
∵点A，C在双曲线上，
∴S△OAE＝S△OCP＝＝1，
又∵S矩形OEHP＝OP OE＝，
∴S△AOC＝S矩形OEHP﹣S△OAE﹣S△OCP﹣S△ACH＝．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．
17．（2023秋 杨浦区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，4）在反比例函数y＝上的图象上，将点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，点B恰好落在反比例函数y＝的图象上．
（1）求点A、B的坐标．
（2）联结BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求S△ABC．
【分析】（1）利用反比例函数解析式求得A的坐标，进而得到B（2，4﹣a），代入反比例函数的解析式即可求得a＝2，从而得出B（2，2）．
（2）作AD∥y轴，交BC于D，求得直线BC为y＝x，根据反比例函数的中心对称性求得C的坐标，进而求得D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD求得即可．
【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝4，
∴m＝1，
∴A（1，4），
点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B，则B（2，4﹣a），
∵点B恰好落在反比例函数y＝的图象上，
∴2（4﹣a）＝4，
解得a＝2，
∴B（2，2）；
（2）作AD∥y轴，交BC于D，
∵B（2，2），
∴C（﹣2，﹣2），
∴直线BC为y＝x，
把x＝1代入得，y＝1，
∴D（1，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝×（xB﹣xC）＝＝6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
18．（2023秋 浦东新区校级期末）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0），反比例函数y＝（k2≠0），在同一坐标平面内有公共点A（﹣8，a），且反比例函数的图象经过点P（6，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求正比例函数的解析式；
（3）如果y轴上有一点B（0，﹣3），x轴上有一点C，若△ABC是等腰三角形，求点C的坐标．
【分析】（1）先求反比例函数的解析式，再将点A代入反比例函数的解析式求a的值即可；
（2）确定A点坐标后，将A点坐标代入正比例函数的解析式，求函数解析式即可；
（3）设C（x，0），分别求出AB＝10，AC＝，BC＝，再根据等腰三角形的边的关系建立方程求出x的值即可求C点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点P（6，﹣4），
∴k2＝﹣24，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点A（﹣8，a）代入y＝，
∴a＝3；
（2）∵a＝3，
∴A（﹣8，3），
将A（﹣8，3）代入y＝k1x，
∴﹣8k1＝3，
解得k1＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x；
（3）设C（x，0），
∴AB＝10，AC＝，BC＝，
当AB＝AC时，＝10，解得x＝﹣8或x＝﹣﹣8，
∴C（﹣﹣8，0）或（﹣8，0）；
当AB＝BC时，10＝，解得x＝或x＝﹣，
∴C（﹣，0）或（，0）；
当AC＝BC时，＝，解得x＝﹣4，
∴C（﹣4，0）；
综上所述：C点坐标为（﹣﹣8，0）或（﹣8，0）或（﹣，0）或（，0）或（﹣4，0）．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
19．（2023秋 长宁区校级期中）如图，在Rt△ABO中，直角顶点B在x轴正半轴上，反比例函数y＝（n＞0）的图象分别与边AO、边AB交于点C、D．
（1）如果点C的坐标为（2，3），且AD＝8，求n的值及点B的坐标；
（2）联结CB，如果AD＝DB，求S△OAB：S△OCB的值．
【分析】（1）作CE⊥x轴于E，利用待定系数法即可求得n的值，设D（a，），则OB＝a，AB＝8+，由CE∥AB，得到，即，解得a＝6，从而求得B（6，9）；
（2）连接OD，作CE⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义，由AD＝BD可知S△AOB＝2S△BOD＝2×＝n，证得△COE∽△AOB，根据三角形相似的性质得出，即可求得＝，得到．
【解答】解：（1）作CE⊥x轴于E，
∵点C（2，3）、D在反比例函数y＝（n＞0）的图象上，
∴OE＝2，CE＝3，n＝2×3＝6，
∴反比例函数为y＝，
设D（a，），则OB＝a，BD＝，
∴AD＝8，
∴AB＝8+，
∵CE∥AB，
∴，即，
解得a＝6或a＝﹣（舍去），
∴OB＝6，
∴B（6，0）；
（2）连接OD，作CE⊥x轴于E，
∵AD＝DB，
∴S△AOB＝2S△BOD＝2×＝n，
∵CE∥AB，
∴△COE∽△AOB，
∴，
∵S△COE＝S△BOD＝，
∴，
∴＝，
∴，
∴S△OAB：S△OCB的值为．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，三角形的面积，熟知相似三角形的性质是解题的关键．
20．（2022秋 青浦区校级期中）如图，A为反比例函数y＝（k＜0）的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．
（1）联结AO，当S△APO＝2时，求反比例函数的解析式；
（2）联结AO，若A（﹣1，2），y轴上是否存在点M，使得S△APM＝S△APO，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由，
（3）点B在直线AP上，且PB＝3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求解；
（2）求得S△APM＝S△APO＝1，即可求得PM＝2从而求得点M（0，4）；
（3）当B点在P点右侧，如图，设A（t，），则可表示出B（﹣3t，），C（﹣3t，﹣），利用三角形面积公式得到×（﹣t）×（+）＝4；当B点在P点左侧，设A（t，），则可表示出B（3t，），C（3t，），利用三角形面积公式得到×（﹣t）×（﹣）＝4，然后分别解关于k的方程即可．
【解答】解：（1）∵S△APO＝2，AP⊥y轴，
∴S△APO＝|k|＝2，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣1，2），
∴AP＝1，OP＝2，
∴S△APO＝＝1，
∴S△APM＝S△APO＝1，
∴PM AP＝1，
∴PM＝2，
∴M（0，4）；
（3）当B点在P点右侧，如图，
设A（t，），
∵PB＝3PA，
∴B（﹣3t，），
∵BC∥y轴，
∴C（﹣3t，﹣），
∵△PAC的面积为4，
∴×（﹣t）×（+）＝4，解得k＝﹣6；
当B点在P点左侧，
设A（t，），
∵PB＝3PA，
∴B（3t，），
∵BC∥y轴，
∴C（3t，），
∵△PAC的面积为4，
∴×（﹣t）×（﹣）＝4，解得k＝﹣12；
综上所述，k的值为﹣6或﹣12．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
21．（2023秋 青浦区校级期中）如图，已知正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足为Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点 E．
（1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式．
（2）当点D的纵坐标为6时，求△AEP的面积．
（3）在第（2）小题的条件下，若直线OD上存在一点M，且点M的横坐标为m，△AEM的面积为S，直接写出S关于m的解析式，并写出定义域．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据D点坐标求出A，E点的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）直接利用三角形的面积公式，列出函数关系式即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，反比例函数解析式为；
（2）当时，x＝1，
∴A（1，6），
把x＝1代入，得，
∴，
∴，
∴；
（3）由题意得，，
∴S关于m的解析式为．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
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