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2024-2025人教版八年级上数学期中试卷
一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）。
1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日~2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．点P(3，－5)关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．(－3，－5) B．(5，3) C．(－3，5) D．(3，5)
3．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（　　）
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B
C．AD∥BC D．DF∥BE
4．一个正多边形的每一个内角均为135°，它是一个（　　）
A．正方形 B．正三角形 C．正八边形 D．正六边形
5．如果等腰三角形的两边长是10cm和5cm，那么它的周长为（　　）
A．20cm B．20cm或25cm C．25cm D．15cm
6．如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是（　　）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与线段CB的垂线平分线的交点
C．P为∠A的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
D．P为线段AB、AC的垂直平分线的交点
7．如图，△ABC的边长AB＝8cm，AC＝10cm，BC＝4cm，作BC的垂直平分线交AC于D，则△ABD的周长为（　　）
A．18cm B．14cm C．20cm D．12cm
8．如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝8，则DF等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9． 如图，平面直角坐标系xOy中，已知定点A(1，0)和B(0，1)．若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
二．填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）。
11．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，则∠C＝________度．
12．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝5，则CF的长为________．
13．如图中的两个三角形全等，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则∠1＝____．
14． 如图，已知△ABC的面积为12，D是BC的三等分点，E是AC的中点，那么△CDE
的面积是________．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为________．
16．如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点．已知B(－3，3)，D(0，1)，当AD＝CE时，点E坐标为________．
第12题图 第13题图 第14题图 第16题图
三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别是A(－1，3)、B(－5，1)、C(－2，－2)．
（1）画出△ABC关于轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（2）求出△ABC的面积．
18．（6分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，判断AB与CD之间的关系并证明．
19．（6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）连接BD，求证：DE＝CD．
20．（8分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
（1）求证：是△ABC的角平分线；
（2）若，求的长．
21．（8分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？
并证明你的结论．
22．（10分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：BE＝AD；
（2）求∠BPD的度数；
（3）求AD的长．
23．（12分）（1）如图1，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、D、E三点在同一条直线上，求证：∠BDC＝90°；
（2）如图2，等边△ABC中，点D是△ABC外一点，且∠ADB＝60°
①求证：∠BDC＝60°；
②如图3过点B作BG⊥CD于点G，求证：CD＝AD＋2CG．
图1 图2 图3
24．（14分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝3，则点C的坐标为________；
（2）如图2，若OB＝4，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF．连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长度．
答案
一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C C C A B C A
二．填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）。
11． __80° ； 12． ___2___； 13．___50°_；
14． __4．5___； 15． _65°或25__； 16． _（－3，2）或（－1，0）．
三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17． （8分）
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求， ……．3分
由图知A′(1，3)，B′(5，1)，C′(2，－2)； ……．6分
(2)△ABC的面积为＝9． ……．8分
18．（6分）
解：AB＝CD，AB∥CD， ……．2分
理由如下：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD(SAS )， ……．4分
∴AB＝CD，∠B＝∠D， ……．5分
∴AB∥CD． ……．6分
19．（6分）（1）解：如图，DE为所作； ……．2分
（2）证明：如图，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB， ……．3分
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，
∴∠CBD＝30°， ……．4分
即BD平分∠ABC， ……．5分
而DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC． ……．6分
20．（8分）
证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD， ……．1分
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE＝DF， ……．3分
∴AD是△ABC的角平分线； ……．4分
（2）如图，连接AD，
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC， ……．5分
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴＝＝＝18 ……．6分
∴＝18，
∴4DE＝18，
∴DE＝． ……．8分
21．（8分）证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，且OE＝OE， ……．1分
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL) ……．2分
∴OD＝OC， ……．3分
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴DF＝CF； ……．4分
(2)OE＝4EF，理由如下：
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°， ……．5分
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°， ……．6分
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF， ……．7分
∴OE＝4EF． ……．8分
22．（10分）（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°， ……．1分
又∵AE＝CD，
在△ABE与△CAD中， ，
∴△ABE≌△CAD(SAS)， ……．2分
∴BE＝AD； ……．3分
（2）解：由（1）得∠ABE＝∠CAD AD＝BE ……．4分
∴∠BPQ＝∠BAD＋∠ABE
＝∠BAD＋∠CAD ＝ ∠BAC ……．5分
＝60°； ……．6分
（3）解：∵BQ⊥AD，∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°， ……．7分
∴BP＝2PQ＝6， ……．8分
又∵AD＝BE，
∴AD＝BE＝BP＋PE＝6＋1＝7． ……．10分
23．（12分）
（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD， ……．1分
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)， ……．2分
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE＋∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ACD＋∠CFD＝90°，
∴∠BDC＝90°； ……．3分
（2）①如图2，在BD上截取AD＝DE，
∵AD＝DE，∠ADB＝60°
∴△ADE是等边三角形， ……．4分
∴AD＝AE，∠AED＝∠EAD ＝60°
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC ＝60°
∴∠BAE＝∠CAD ……．5分
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS) ……．6分
∴∠ADC＝∠BAE＝180°—∠AED＝120°
∴∠BDC＝120°—60°＝60° ……．7分
②如图，在CD上截取AD＝DH，连接BH． ……．8分
由①可得∠BDC＝∠ADB
AD＝DH，∠BDC＝∠ADB，BD＝BD
∴△ADB≌△HDB(SAS) ……．9分
∴AB＝BH
∵AB＝BC
∴BC＝BH ……．10分
∵BC＝BH BF⊥CD
∴CG＝GH ……．11分
∵CD＝CH＋DH
∴CD＝2CG＋AD ……．12分
24． （14分）
解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB＝∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠BCH＋∠HBC＝90°＝∠HBC＋∠ABO，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH(AAS)， ……．2分
∴CH＝OB＝3，BH＝AO＝4，
∴OH＝7，
∴点C(3，7)， ……．3分
（2）过点E作EF⊥x轴于F， ……．4分
∴∠EFD＝∠BDE＝∠BOD＝90°
∴∠BDO＋∠EDF＝90°＝∠BDO＋∠DBO，
∴∠DBO＝∠EDF，
在△BOD和△DFE中，
，
∴△BOD≌△DFE(AAS)， ……．6分
∴BO＝DF＝4，OD＝EF，
∵点A的坐标为(4，0)，
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝45°， ……．7分
∵OA＝DF＝4，
∴OD＝AF＝EF， ……．8分
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BA⊥AE； ……．9分
（3）过点C作CG⊥y轴G， ……．10分
由（1）可知：△ABO≌△BCG，
∴BO＝GC，AO＝BG＝4， ……．11分
∵BF＝BO，∠OBF＝90°，
∴BF＝GC，∠CGP＝∠FBP＝90°，
又∵∠CPG＝∠FPB，
∴△CPG≌△FPB(AAS)， ……．13分
∴BP＝GP，
∴BP＝＝2． ……．14分
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