资源简介

六年级定义新运算（小学数学竞赛专项训练）
认识典型模型 提升解模能力 发展建模思维
考试时间：75分钟
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 5 分钟分发答题卡
一、模型构建
1．（2024·）定义新运算a◎b= (b≠0) ，求2◎(3◎4)的值。
2．（2024·海港）大家已经学过“+、﹣、×、÷”四种运算，如果用“&”来定义一种新的运算，m&n＝5m+2n。例如3&4＝5×3+2×4＝23，那么7&8＝　 　。
3．（巴蜀）现规定“*” 是一种新的运算， A*B=3A-2B，那么7*6*5的值为　 　。
4．（南开） 如果规定 表示 的 3 倍减去 的 ， 例如 ； 根据以上的规定， 计算 　 　， 　 　。
5．（巴蜀）对自然数n规定--种运算BoyGM
①当n是小于182的数时. BoyG （n） =5n+1
②当n是大于等于182 的教时，BoyG （n） 等n除以182的余数.将k次“BoyG"运算记作BoyGk，
如BoyG1 （5） =5x5+1 =26 .
BoyG2 （5） =BoyG1 （BoyG1 （5））=BoyG1 （26） =5x26+1=131
BoyG3（5） =BoyG1 （BoyG1 （6oyG1 （5））=BoyG2（BoyG1 （5）=BoyG1 （131）
BoyG4（5） =BoyG1 （BoyG1 （6oyG1 （BoyG1 （5） ））=BoyG1 （BoyG3 （5））=BoyG1 （656） =110（因为656除以128商3余110）
计算：
（1） BoyG1 （2020）
（2） BoyG6（19）
（3） BoyC2021（19）
二、模型进阶
6．（2024·阳新）如果规定：1！＝1；2！＝1×2；3！＝1×2×3；4！＝1×2×3×4。那么＝　 　，＝　 　。（写出得数）
7．（融侨三中）阅读材料，完成下列问题：
对于由 个实数构成的数组 以及任意给定的正整数 5， 我们定义：
例如： 当 时， 。
（1） 当 时， 求 。
（2）若， 已知||A||2022=612，令， 求||B||2022，
（3） 若 ， 武比较||A 与 的大小.
8．（融侨三中）定义：如果一个数的平方等于-1。记为1，这个数i叫做虚数单位。把形如a+bi（a b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部：它的加，减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似。
例如， 计算 ；
拫据以上信息，完成下列问题：
（1） 计算：
（2）求：
9．（育才）“遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人”，我国自古以来就有重阳节登高的习俗，在数的学习中，我们定义：对于不小于100的自然数n，除最高位外，其余数位上的数字均比它左边相邻数位上的数字多m （m为正整数），则称这个自然数n为“登高数”。
例如：123是“登高数”，因为3-2=2-1=1；2468是“登高数”，因为8-6=6-4=4-2=2：346 不是“登高数”，因为6-4≠4-3；642不是“登高数”，因为2-4=4-6=-2不是正整数。
（1）判断369和4321是否是“登高数”？请说明理由；
（2）求出所有不超过1000的“登高数”的个数。
10．（渝北八中）若正整数P是4的倍数，那么规定正整数P为“四季数”，例如： 64是4的倍数.所以64是“四季数”。
（1）已知正整数P是任意两个连续偶数的平方差，求证： P是“四季数”
（2）已知一个两位正整数k=10x+y （0≤x11．（渝北八中）材料1：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上：个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程，如：判断96057能否被13整除过程如下： 9605 +4×7-9633， 963+4×3 =975， 97+4×5=17， 11+4×7=39， 39÷13=3.所以96057能被13整除，
材料2：一个三位正整数，若其百位数字恰好等于十位数字与个位数字的和，则我们称这个三位数为“元友数”例如： 321， 734，110等皆为“元友数”。将一个“元友数”的百位数字放在其十位数字与个位数字组成的两位数的右边得到-一个新的三位数，我们把这个新的三位数叫做这个“元友数”的“位移数”，如“元友数”734的“位移数”是347
（1）77831能否被13整除？答：（填“能”或“否”）.猜想一个“元友数”减去其个位数字的2倍所得的差能否被11整除，并说明理由。.
（2）已知一个元有数减去它的“位移数”所得的差能被13整除，试求出符合此条件的所有“元友数”。
三、模型挑战
12．（树人八中）任何一个正整数n都可以进行这样的分解： n=sXt （s、t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定F （n）=，例如，18可以分解成1x18. 2x9、 3x6这三种，这时就有F（18）=3/6=1/ 2.请按照上述规定写出下列F （n）的值：
（1）F（2）=　 　；
（2）F（24）=　 　；
（3）F（27）=　 　。
（4）若n是一个完全平方数，则F （n） =　 　。
13．（八中）在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数你）依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出5个数与的和，把告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc。现在设，请你当魔术师，求出数。
14．（一中） 设 ， 满足 ， 则 　 　。
15．（一中） 现有甲、乙、两三台对自然数运算的计算机， 它们各自的功能如下：
输入 甲→输出 ；
输入 乙→当 时， 输出 ； 当 时， 输出 450 ；
输入 丙→当 是偶数， 则输出 ；当 是奇数， 则输出 。
如果把甲、乙、丙顺次连接为一台计算机，即甲→乙→丙，那么这台计算机能输出的最大的数是多少？（都是整数）
16．（八中）对于一列互不相同的整数：1，2，3，4，5，6、7，8，9．我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出取走的这两个数的和或者差，把求得的和或者差连同余下的整数形成新的一列数。重复这样的操作，直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫做“终止数”。
（1）判断：6　 　这一列数的“终止数”：23　 　这一列数的“终止数”。（括号里填“是”或“不是”）
（2）对这一列数进行多次重复操作，会得到不同的“终止数”，其中最大的“终止数”是　 　。这一列数一共能产生　 　个不同的“终止数”。
（3）相同规则下，有这么一列互不相同的整数：2，11，3，7，a，b，c，13（a>b>c>0），如果这一列数的“终止数”中最大的一个为54，试求出abc 的最大。
答案解析部分
1．【答案】解：因为3◎4==1，所以2◎(3◎4)=2◎1==3
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据新定义的公式a◎b=代入数值计算，先计算出3◎4的值，再利用公式计算2◎(3◎4)即可。
2．【答案】51
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解： 7&8
=7×5＋8×2
=35＋16
=51。
故答案为：51。
【分析】依据定义的新运算，得出7&8=7×5＋8×2，计算的结果是51。
3．【答案】17
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：， ，所以： 。
故答案为：17。
【分析】本题需要根据定义列式。两位数的运算定义“A*B=3A-2B”，所以在计算三位数“7*6*5”的运算中，先进行前两位“7*6”的运算，得数9，然后再进行后面，9*5”的运算，最后得出答案。
4．【答案】4；22.5
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：2*4
=2×3-4×
=6-2
=4；
(3*1)*6
=(3×3-1×)*6
=8.5*6
=8.5×3-6×
=25.5-3
=22.5；
故答案为：4；22.5。
【分析】根据规定，第一问将a=2，b=4代入可得2*4=2×3-4×；第二问先将a=3，b=1代入可得3*1=3×3-1×，计算出结果，再将a=3*1，b=6代入到规定中计算即可。
5．【答案】（1）解：因2020 > 182 满足第二条，有2020÷182=11余18 ，所以BoyG1（2020）=18
答：BoyG1（2020）=18
（2）解：BoyG1（19）=19×5+1=96
BoyG2（19）=BoyG1（BoyG1（19））=BoyG1（96）=96×5+1=481
BoyG3（19）=BoyG1（BoyG1（6oyG1（19））=BoyG1（BoyG2（19））=BoyG1（481）=117（因为481除以182商2余117）
BoyG4（19）=BoyG1（BoyG1（6oyG1（BoyG1（19）））=BoyG1（BoyG3（19））=BoyG1（117）=117×5+1=586
BoyG5（19）=BoyG1（BoyG1（6oyG1（BoyG1（BoyG1（19））））=BoyG1（BoyG4（19））=BoyG1（586）=40（因为586除以182商3余40）
BoyG6（19）=BoyG1（BoyG1（6oyG1（BoyG1（BoyG1（BoyG1（19））））））=BoyG1（BoyG5（19））=BoyG1（40）=40×5+1=201
答：BoyG6（19）=201
（3）解：BoyG7（19）=BoyG1（BoyG6（19））=BoyG1（201）=19
观察得：6个为一循环，那么2021÷6商336余5
所以BoyG2021（19）=BoyG5（19）=40
答：BoyG2021（19）=40
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）先将n与182进行比较，确定为数以第一种运算还是第二种运算，再将数值代入相关运算计算即可。
（2）根据题目运算法则代入计算即可。
（3）经过计算发现BoyG7（19）=19，可得规律为：6个为一循环，那么计算2021÷6的余数然后找规律中的对应项即可。
6．【答案】；2024
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解： ==；
==2024。
故答案为：；2024。
【分析】依据的新定义分别写出分子、分母相乘的形式，然后再约分。
7．【答案】（1）解：
（2）解：，
所以
则
=1
（3）解：由题意知，
则=
零，，
则，
则，
则
因此
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】(1)根据/A/1的定义列式，根据等差数列求和公式即可求解；
(2)根据// A//2022和// B//2022的定义，列出算式，然后根据两个算式的关系求解即可；
(3)根据// A//2+// B//2与 // C //2的定义，列出算式，用作差法比较两者的大小（在遇到根号时，取平方去根号）。
8．【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义，知，又由于复数的加，减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，所以根据运算律求得，进一步求得 的结果。
（2）由于，则、、、……，即 中的各项为i、-1、-i、1、i、……、i、-1、-i、1、i，则前四项之和，后四项之和，再后四项之和，以此类推，即可求出原式的结果。
9．【答案】（1）解：369是“登高数”，因为9-6=6-3=3；
4321不是“登高数”，因为1-2=2-3=3-4=-1不是正整数。
（2）解：设不超过1000的“登高数” （A≠0），所以C-B = B- A=m ，
当①m=1时，A可以取1-7，所以有7个；
②当m=2时，A可以取1-5，所以有5个；
③当m=3时，A可以取1-3，所以有3个；
④当m=4时，A可以取1，所以有1个；
所有不超过1000的“登高数”的个数有1+3+5+7=16个。
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】(1)根据“登高数”的定义代入数值计算判断。
(2)不超过1000的登高数为三位数，因此，可以设不超过1000的登高数为（A≠0），所以C-B = B- A=m ，因为m为正整数，且A、B、C最大为9，所以m有1、2、3、4共4种可能，再分情况探究A的可能性即可得到不超过1000的“登高数”的个数。
10．【答案】（1）解：设两个连续的偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数），
则P=(2n+2)2-(2n)2，
化简得：P=8n+4=4(2n+1)。
因为n≥0，且为整数，
所以2n+1必为正整数，
因此4(2n+1)一定是4的倍数，即P一定是“四季数”。
（2）解：设两位数k=10x+y，交换个位和十位数字得到m=10y+x。
根据题目描述，有m-k=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=4n，其中n为整数。
化简得：y-x=4n/9。
因为1≤x所以1≤y-x≤8。
当n=9时，y-x=4，解得(x，y)的可能值为(1，5)，(2，6)，(3，7)，(4，8)，(5，9)。
当n=18时，y-x=8，解得(x，y)的可能值为(1，9)。
综上，所有符合条件的两位正整数k有15，26，37，48，59，19。
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）要证明P是“四季数”，即证明P是4的倍数。通过设定两个连续的偶数，计算它们的平方差，然后化简这个差，证明它一定是4的倍数。
（2）根据题目描述，设定一个两位数k，并根据题目描述，将其个位和十位数字交换，得到新数m。根据题目描述，m和k的差是“四季数”，即这个差是4的倍数。即可建立一个方程来表示这个关系。根据这个方程和题目中的其他条件，求解出所有符合条件的两位数k。
11．【答案】（1）解：能。理由如下：
设这个“元友数"的十位数字为 a，个位数字为b，则它的百位数字为(a+b)
所以这个“元友数"可以表示为100(a+b)+10a+b，
则100 ( a+b+10a+b-2b=100a+100b+10atb-2b =110a+99b =11(10a+9b)
所以一个“元友数"减去其个位数字的2倍所得的差能被11整除。
（2）解：设这个“元友数”的十位数字为a，个位数字为b，则它的百位数字为（a+b）
所以这个“元友数”可以表示为100（a+b）+10a+b， 它的位移数为100a+10b+a+b
因为一个“元友数”减去它的“位移数”，所得的差能被13整除
所以，100（a+b）+10a+b是13的倍数，即9（a+10b）是13的倍数
[100（a+b）+10a+b]-（100a+10b+a+b）
所以，a+10b是13的倍数
因为，
所以，符合条件的“元友数”为431、725和862
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）理解材料1的判断方法即可进行判断问题1，再按材料2对“元友数”的定义正确表示即可进行说明；
（2）理解材料2对“元友数”和“位移数”的定义正确表示它们的差，得到结果为9（a+10b），判断出（a+10b）是13的倍数，再列举得到答案．
12．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）1
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）将2分解为两个正整数的积，得到2=1×2。
在所有分解中，1和2的差的绝对值最小，因此F(2)=。
（2）将24分解为两个正整数的积，得到24=1×24=2×12=3×8=4×6。
在所有分解中，4和6的差的绝对值最小，因此F(24)=
（3）将27分解为两个正整数的积，得到27=1×27=3×9。
在所有分解中，3和9的差的绝对值最小，因此F(27)=
（4）如果n是一个完全平方数，那么n可以分解为两个相等的数的积，即n=a×a。
在所有分解中，a和a的差的绝对值最小，因此F(n)=1。
作答：若n是一个完全平方数，则F(n)=1。
故答案为：；；；1
【分析】本题考查了新定义的理解和应用，对于给定的正整数n，需要将其分解为两个正整数的积，并找出差的绝对值最小的一对因数。根据题目要求，分别对n=2、n=24、n=27以及n为完全平方数的情况进行求解。
13．【答案】解：
.
①当 时， ， 所以不成立；
②当 时， ， 所以成立；
③当 时， ， 所以不成立；
④当 时， ， 所以不成立；
⑤当 时， ， 不成立；
【知识点】位值原则
【解析】【分析】 根据题意可以列出，且，然后假设a+b+c的值，代入计算看是否成立，成立即使的值。
14．【答案】5.5
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：按照给定的定义，计算：
得到，接下来我们将这个值代入中计算：
由题目知，即
解得：
故答案为：5.5。
【分析】首先，需要理解题目中给出的运算定义，即，然后根据这一定义，先计算的值，最后用得到的结果代入中，使其等于34，通过解这个方程找到x的值，本题关键在于理解题目中给定的特殊运算定义，并根据这一定义逐步计算，最后通过解方程找到未知数x的值。解题过程中需注意代入数值和化简方程的准确性。
15．【答案】解：当输入甲机的x是31时，甲机输出3×31+2=95(是符合条件的最大奇数)，
95直接进入乙机，由于95≤100，乙机输出5×95+4=479(是符合条件的最大奇数)，
479直接进入丙机，丙要输出的最大值是(479+17)÷2=496÷2=248；
答：这台计算机能输出的最大的数是248。
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】要使连接起来的计算机输出的结果最大，输入丙机的，应该是奇数而且尽可能的大，只有在偶数比奇数大17以上，输入偶数的结果才比输入奇数的结果大，要使是奇数而且尽可能的大，关键看输入乙机中的y，如果90≤y≤100，则5y+4比450大，即要使5y+4是奇数，又要使它尽可能大，关键是看输入甲机中的工，如果自然数工能使y=3x+2既是奇数又尽可能的大，则最终输出结果最大。
16．【答案】（1）不是；是
（2）45；45
（3）解：根据题意，2+11+3+7+a+b+c+13=54. a+b+c=18. a>b>c>0， 3c①当c时，a+b=17.有a=12，b=5或a=9， b=8。abc=60或abc=72：
②当c=4时，a+b=14时，a=9，b=5或a=8，b=6 。 abc= 180或abc=192.
③当c=5时，a+b=13，有 a=7，b=6 (不合题意，舍去)，综上所述，abc 大值为192。
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：(1)此列整数有1，3，5，7，9共5个奇数，故由奇偶判断，因为都为两数和或差，所以最终结果一定为奇数，故6不是这一列数的“终止数”又1+2+3+4+5+6+7+8+9=45>23，且23为奇数，故23是这一列数的“终止数”；
(2)最大“终止数”为都是和，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
最小“终止数”为都是差1-2-3-4-5-6-7-8-9=-43.
又由奇偶性判断结果一定为奇数，
故-43到45之间共有[45-(-43)]÷2+1=45个奇数
故有45个终止数；
故答案为：（1）不是；是；（2）45，45；
【分析】(1)此列整数有1，3，5，7，9共5个奇数，故由奇偶判断，最终结果一定为奇数，故6不是这一列数的“终止数”，又1+2+3+4+5+6+7+8+9=45>23，且23为奇数，故23是这一列数的“终止数”；
(2)根据最大“终止数”为都是和，最小“终止数”为都是差，可得到答案；
（3）根据最大终止数定义可以得出a+b+c的值，根据条件进行一一验证最终得到正确结果。
1 / 1六年级定义新运算（小学数学竞赛专项训练）
认识典型模型 提升解模能力 发展建模思维
考试时间：75分钟
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 5 分钟分发答题卡
一、模型构建
1．（2024·）定义新运算a◎b= (b≠0) ，求2◎(3◎4)的值。
【答案】解：因为3◎4==1，所以2◎(3◎4)=2◎1==3
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据新定义的公式a◎b=代入数值计算，先计算出3◎4的值，再利用公式计算2◎(3◎4)即可。
2．（2024·海港）大家已经学过“+、﹣、×、÷”四种运算，如果用“&”来定义一种新的运算，m&n＝5m+2n。例如3&4＝5×3+2×4＝23，那么7&8＝　 　。
【答案】51
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解： 7&8
=7×5＋8×2
=35＋16
=51。
故答案为：51。
【分析】依据定义的新运算，得出7&8=7×5＋8×2，计算的结果是51。
3．（巴蜀）现规定“*” 是一种新的运算， A*B=3A-2B，那么7*6*5的值为　 　。
【答案】17
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：， ，所以： 。
故答案为：17。
【分析】本题需要根据定义列式。两位数的运算定义“A*B=3A-2B”，所以在计算三位数“7*6*5”的运算中，先进行前两位“7*6”的运算，得数9，然后再进行后面，9*5”的运算，最后得出答案。
4．（南开） 如果规定 表示 的 3 倍减去 的 ， 例如 ； 根据以上的规定， 计算 　 　， 　 　。
【答案】4；22.5
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：2*4
=2×3-4×
=6-2
=4；
(3*1)*6
=(3×3-1×)*6
=8.5*6
=8.5×3-6×
=25.5-3
=22.5；
故答案为：4；22.5。
【分析】根据规定，第一问将a=2，b=4代入可得2*4=2×3-4×；第二问先将a=3，b=1代入可得3*1=3×3-1×，计算出结果，再将a=3*1，b=6代入到规定中计算即可。
5．（巴蜀）对自然数n规定--种运算BoyGM
①当n是小于182的数时. BoyG （n） =5n+1
②当n是大于等于182 的教时，BoyG （n） 等n除以182的余数.将k次“BoyG"运算记作BoyGk，
如BoyG1 （5） =5x5+1 =26 .
BoyG2 （5） =BoyG1 （BoyG1 （5））=BoyG1 （26） =5x26+1=131
BoyG3（5） =BoyG1 （BoyG1 （6oyG1 （5））=BoyG2（BoyG1 （5）=BoyG1 （131）
BoyG4（5） =BoyG1 （BoyG1 （6oyG1 （BoyG1 （5） ））=BoyG1 （BoyG3 （5））=BoyG1 （656） =110（因为656除以128商3余110）
计算：
（1） BoyG1 （2020）
（2） BoyG6（19）
（3） BoyC2021（19）
【答案】（1）解：因2020 > 182 满足第二条，有2020÷182=11余18 ，所以BoyG1（2020）=18
答：BoyG1（2020）=18
（2）解：BoyG1（19）=19×5+1=96
BoyG2（19）=BoyG1（BoyG1（19））=BoyG1（96）=96×5+1=481
BoyG3（19）=BoyG1（BoyG1（6oyG1（19））=BoyG1（BoyG2（19））=BoyG1（481）=117（因为481除以182商2余117）
BoyG4（19）=BoyG1（BoyG1（6oyG1（BoyG1（19）））=BoyG1（BoyG3（19））=BoyG1（117）=117×5+1=586
BoyG5（19）=BoyG1（BoyG1（6oyG1（BoyG1（BoyG1（19））））=BoyG1（BoyG4（19））=BoyG1（586）=40（因为586除以182商3余40）
BoyG6（19）=BoyG1（BoyG1（6oyG1（BoyG1（BoyG1（BoyG1（19））））））=BoyG1（BoyG5（19））=BoyG1（40）=40×5+1=201
答：BoyG6（19）=201
（3）解：BoyG7（19）=BoyG1（BoyG6（19））=BoyG1（201）=19
观察得：6个为一循环，那么2021÷6商336余5
所以BoyG2021（19）=BoyG5（19）=40
答：BoyG2021（19）=40
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）先将n与182进行比较，确定为数以第一种运算还是第二种运算，再将数值代入相关运算计算即可。
（2）根据题目运算法则代入计算即可。
（3）经过计算发现BoyG7（19）=19，可得规律为：6个为一循环，那么计算2021÷6的余数然后找规律中的对应项即可。
二、模型进阶
6．（2024·阳新）如果规定：1！＝1；2！＝1×2；3！＝1×2×3；4！＝1×2×3×4。那么＝　 　，＝　 　。（写出得数）
【答案】；2024
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解： ==；
==2024。
故答案为：；2024。
【分析】依据的新定义分别写出分子、分母相乘的形式，然后再约分。
7．（融侨三中）阅读材料，完成下列问题：
对于由 个实数构成的数组 以及任意给定的正整数 5， 我们定义：
例如： 当 时， 。
（1） 当 时， 求 。
（2）若， 已知||A||2022=612，令， 求||B||2022，
（3） 若 ， 武比较||A 与 的大小.
【答案】（1）解：
（2）解：，
所以
则
=1
（3）解：由题意知，
则=
零，，
则，
则，
则
因此
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】(1)根据/A/1的定义列式，根据等差数列求和公式即可求解；
(2)根据// A//2022和// B//2022的定义，列出算式，然后根据两个算式的关系求解即可；
(3)根据// A//2+// B//2与 // C //2的定义，列出算式，用作差法比较两者的大小（在遇到根号时，取平方去根号）。
8．（融侨三中）定义：如果一个数的平方等于-1。记为1，这个数i叫做虚数单位。把形如a+bi（a b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部：它的加，减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似。
例如， 计算 ；
拫据以上信息，完成下列问题：
（1） 计算：
（2）求：
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义，知，又由于复数的加，减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，所以根据运算律求得，进一步求得 的结果。
（2）由于，则、、、……，即 中的各项为i、-1、-i、1、i、……、i、-1、-i、1、i，则前四项之和，后四项之和，再后四项之和，以此类推，即可求出原式的结果。
9．（育才）“遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人”，我国自古以来就有重阳节登高的习俗，在数的学习中，我们定义：对于不小于100的自然数n，除最高位外，其余数位上的数字均比它左边相邻数位上的数字多m （m为正整数），则称这个自然数n为“登高数”。
例如：123是“登高数”，因为3-2=2-1=1；2468是“登高数”，因为8-6=6-4=4-2=2：346 不是“登高数”，因为6-4≠4-3；642不是“登高数”，因为2-4=4-6=-2不是正整数。
（1）判断369和4321是否是“登高数”？请说明理由；
（2）求出所有不超过1000的“登高数”的个数。
【答案】（1）解：369是“登高数”，因为9-6=6-3=3；
4321不是“登高数”，因为1-2=2-3=3-4=-1不是正整数。
（2）解：设不超过1000的“登高数” （A≠0），所以C-B = B- A=m ，
当①m=1时，A可以取1-7，所以有7个；
②当m=2时，A可以取1-5，所以有5个；
③当m=3时，A可以取1-3，所以有3个；
④当m=4时，A可以取1，所以有1个；
所有不超过1000的“登高数”的个数有1+3+5+7=16个。
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】(1)根据“登高数”的定义代入数值计算判断。
(2)不超过1000的登高数为三位数，因此，可以设不超过1000的登高数为（A≠0），所以C-B = B- A=m ，因为m为正整数，且A、B、C最大为9，所以m有1、2、3、4共4种可能，再分情况探究A的可能性即可得到不超过1000的“登高数”的个数。
10．（渝北八中）若正整数P是4的倍数，那么规定正整数P为“四季数”，例如： 64是4的倍数.所以64是“四季数”。
（1）已知正整数P是任意两个连续偶数的平方差，求证： P是“四季数”
（2）已知一个两位正整数k=10x+y （0≤x【答案】（1）解：设两个连续的偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数），
则P=(2n+2)2-(2n)2，
化简得：P=8n+4=4(2n+1)。
因为n≥0，且为整数，
所以2n+1必为正整数，
因此4(2n+1)一定是4的倍数，即P一定是“四季数”。
（2）解：设两位数k=10x+y，交换个位和十位数字得到m=10y+x。
根据题目描述，有m-k=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=4n，其中n为整数。
化简得：y-x=4n/9。
因为1≤x所以1≤y-x≤8。
当n=9时，y-x=4，解得(x，y)的可能值为(1，5)，(2，6)，(3，7)，(4，8)，(5，9)。
当n=18时，y-x=8，解得(x，y)的可能值为(1，9)。
综上，所有符合条件的两位正整数k有15，26，37，48，59，19。
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）要证明P是“四季数”，即证明P是4的倍数。通过设定两个连续的偶数，计算它们的平方差，然后化简这个差，证明它一定是4的倍数。
（2）根据题目描述，设定一个两位数k，并根据题目描述，将其个位和十位数字交换，得到新数m。根据题目描述，m和k的差是“四季数”，即这个差是4的倍数。即可建立一个方程来表示这个关系。根据这个方程和题目中的其他条件，求解出所有符合条件的两位数k。
11．（渝北八中）材料1：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上：个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程，如：判断96057能否被13整除过程如下： 9605 +4×7-9633， 963+4×3 =975， 97+4×5=17， 11+4×7=39， 39÷13=3.所以96057能被13整除，
材料2：一个三位正整数，若其百位数字恰好等于十位数字与个位数字的和，则我们称这个三位数为“元友数”例如： 321， 734，110等皆为“元友数”。将一个“元友数”的百位数字放在其十位数字与个位数字组成的两位数的右边得到-一个新的三位数，我们把这个新的三位数叫做这个“元友数”的“位移数”，如“元友数”734的“位移数”是347
（1）77831能否被13整除？答：（填“能”或“否”）.猜想一个“元友数”减去其个位数字的2倍所得的差能否被11整除，并说明理由。.
（2）已知一个元有数减去它的“位移数”所得的差能被13整除，试求出符合此条件的所有“元友数”。
【答案】（1）解：能。理由如下：
设这个“元友数"的十位数字为 a，个位数字为b，则它的百位数字为(a+b)
所以这个“元友数"可以表示为100(a+b)+10a+b，
则100 ( a+b+10a+b-2b=100a+100b+10atb-2b =110a+99b =11(10a+9b)
所以一个“元友数"减去其个位数字的2倍所得的差能被11整除。
（2）解：设这个“元友数”的十位数字为a，个位数字为b，则它的百位数字为（a+b）
所以这个“元友数”可以表示为100（a+b）+10a+b， 它的位移数为100a+10b+a+b
因为一个“元友数”减去它的“位移数”，所得的差能被13整除
所以，100（a+b）+10a+b是13的倍数，即9（a+10b）是13的倍数
[100（a+b）+10a+b]-（100a+10b+a+b）
所以，a+10b是13的倍数
因为，
所以，符合条件的“元友数”为431、725和862
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）理解材料1的判断方法即可进行判断问题1，再按材料2对“元友数”的定义正确表示即可进行说明；
（2）理解材料2对“元友数”和“位移数”的定义正确表示它们的差，得到结果为9（a+10b），判断出（a+10b）是13的倍数，再列举得到答案．
三、模型挑战
12．（树人八中）任何一个正整数n都可以进行这样的分解： n=sXt （s、t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定F （n）=，例如，18可以分解成1x18. 2x9、 3x6这三种，这时就有F（18）=3/6=1/ 2.请按照上述规定写出下列F （n）的值：
（1）F（2）=　 　；
（2）F（24）=　 　；
（3）F（27）=　 　。
（4）若n是一个完全平方数，则F （n） =　 　。
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）1
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）将2分解为两个正整数的积，得到2=1×2。
在所有分解中，1和2的差的绝对值最小，因此F(2)=。
（2）将24分解为两个正整数的积，得到24=1×24=2×12=3×8=4×6。
在所有分解中，4和6的差的绝对值最小，因此F(24)=
（3）将27分解为两个正整数的积，得到27=1×27=3×9。
在所有分解中，3和9的差的绝对值最小，因此F(27)=
（4）如果n是一个完全平方数，那么n可以分解为两个相等的数的积，即n=a×a。
在所有分解中，a和a的差的绝对值最小，因此F(n)=1。
作答：若n是一个完全平方数，则F(n)=1。
故答案为：；；；1
【分析】本题考查了新定义的理解和应用，对于给定的正整数n，需要将其分解为两个正整数的积，并找出差的绝对值最小的一对因数。根据题目要求，分别对n=2、n=24、n=27以及n为完全平方数的情况进行求解。
13．（八中）在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数你）依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出5个数与的和，把告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc。现在设，请你当魔术师，求出数。
【答案】解：
.
①当 时， ， 所以不成立；
②当 时， ， 所以成立；
③当 时， ， 所以不成立；
④当 时， ， 所以不成立；
⑤当 时， ， 不成立；
【知识点】位值原则
【解析】【分析】 根据题意可以列出，且，然后假设a+b+c的值，代入计算看是否成立，成立即使的值。
14．（一中） 设 ， 满足 ， 则 　 　。
【答案】5.5
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：按照给定的定义，计算：
得到，接下来我们将这个值代入中计算：
由题目知，即
解得：
故答案为：5.5。
【分析】首先，需要理解题目中给出的运算定义，即，然后根据这一定义，先计算的值，最后用得到的结果代入中，使其等于34，通过解这个方程找到x的值，本题关键在于理解题目中给定的特殊运算定义，并根据这一定义逐步计算，最后通过解方程找到未知数x的值。解题过程中需注意代入数值和化简方程的准确性。
15．（一中） 现有甲、乙、两三台对自然数运算的计算机， 它们各自的功能如下：
输入 甲→输出 ；
输入 乙→当 时， 输出 ； 当 时， 输出 450 ；
输入 丙→当 是偶数， 则输出 ；当 是奇数， 则输出 。
如果把甲、乙、丙顺次连接为一台计算机，即甲→乙→丙，那么这台计算机能输出的最大的数是多少？（都是整数）
【答案】解：当输入甲机的x是31时，甲机输出3×31+2=95(是符合条件的最大奇数)，
95直接进入乙机，由于95≤100，乙机输出5×95+4=479(是符合条件的最大奇数)，
479直接进入丙机，丙要输出的最大值是(479+17)÷2=496÷2=248；
答：这台计算机能输出的最大的数是248。
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】要使连接起来的计算机输出的结果最大，输入丙机的，应该是奇数而且尽可能的大，只有在偶数比奇数大17以上，输入偶数的结果才比输入奇数的结果大，要使是奇数而且尽可能的大，关键看输入乙机中的y，如果90≤y≤100，则5y+4比450大，即要使5y+4是奇数，又要使它尽可能大，关键是看输入甲机中的工，如果自然数工能使y=3x+2既是奇数又尽可能的大，则最终输出结果最大。
16．（八中）对于一列互不相同的整数：1，2，3，4，5，6、7，8，9．我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出取走的这两个数的和或者差，把求得的和或者差连同余下的整数形成新的一列数。重复这样的操作，直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫做“终止数”。
（1）判断：6　 　这一列数的“终止数”：23　 　这一列数的“终止数”。（括号里填“是”或“不是”）
（2）对这一列数进行多次重复操作，会得到不同的“终止数”，其中最大的“终止数”是　 　。这一列数一共能产生　 　个不同的“终止数”。
（3）相同规则下，有这么一列互不相同的整数：2，11，3，7，a，b，c，13（a>b>c>0），如果这一列数的“终止数”中最大的一个为54，试求出abc 的最大。
【答案】（1）不是；是
（2）45；45
（3）解：根据题意，2+11+3+7+a+b+c+13=54. a+b+c=18. a>b>c>0， 3c①当c时，a+b=17.有a=12，b=5或a=9， b=8。abc=60或abc=72：
②当c=4时，a+b=14时，a=9，b=5或a=8，b=6 。 abc= 180或abc=192.
③当c=5时，a+b=13，有 a=7，b=6 (不合题意，舍去)，综上所述，abc 大值为192。
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：(1)此列整数有1，3，5，7，9共5个奇数，故由奇偶判断，因为都为两数和或差，所以最终结果一定为奇数，故6不是这一列数的“终止数”又1+2+3+4+5+6+7+8+9=45>23，且23为奇数，故23是这一列数的“终止数”；
(2)最大“终止数”为都是和，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
最小“终止数”为都是差1-2-3-4-5-6-7-8-9=-43.
又由奇偶性判断结果一定为奇数，
故-43到45之间共有[45-(-43)]÷2+1=45个奇数
故有45个终止数；
故答案为：（1）不是；是；（2）45，45；
【分析】(1)此列整数有1，3，5，7，9共5个奇数，故由奇偶判断，最终结果一定为奇数，故6不是这一列数的“终止数”，又1+2+3+4+5+6+7+8+9=45>23，且23为奇数，故23是这一列数的“终止数”；
(2)根据最大“终止数”为都是和，最小“终止数”为都是差，可得到答案；
（3）根据最大终止数定义可以得出a+b+c的值，根据条件进行一一验证最终得到正确结果。
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