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突破20 旋转中的最值(一) 两点之间线段最短
类型一 三边关系
1.(2023武珞路中学期中)如图,在 ABCD中,AB=12,AD=10,∠A=60°,E是边AD上的一点，且AE=6，F 是边AB 上的一动点.将线段 EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段 EN，连接BN,CN,则BN+CN 的最小值是( )
C.14
2.(2024宜宾中考)如图,在△ABC 中, ,以 BC 为边作 点D 与点A 在BC 的两侧,则AD 的最大值为( )
A.2+3 B.6+2 C.5 D.8
类型二 斜边中线
3.(2022七一中学)如图,在 Rt△ABC 中, ，将线段 AC 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AP,连接 PB,则 PB 的最大值为 .
类型三 “将军饮马”
4.(2022硚口)如图,在矩形ABCD 中,. E 是边AB 上一点, F 是直线 BC上一动点，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 得到线段EG,连接CG,DG,则( 的最小值是 .
突破21 旋转中的最值(二) 垂线段最短
类型一 斜大于直
1.(2023新洲期中)如图,在 中， , D 为边AB 上一点,将 CD 绕点C 顺时针旋转45°得到 CE,连接AE,则AE 的最小值为 .
类型二 定角定线
2.(2023武汉期中)如图,在矩形ABCD 中, E 为BC上一点,且. ,F 为AB边上的一动点，连接EF，将EF 绕点 E 顺时针旋转 到EG 的位置,连接CG,则 CG 的最小值为 .
3.(2024外校)如图,正方形ABCD 的边长为4,E 是边BC 上一点,且. , F 为边AB 上一动点，点E 绕点 F 逆时针旋转 至点 G，则线段 AG 的最小值为 .
类型三 解析定线
4.(2024原创题)如图,点B(0,6),A 为x 轴上一动点,将线段AB 绕点A 顺时针旋转 得到线段 AC,连OC,则OC 的最小值为 .
突破22 旋转中的最值(三) 函数建模
类型一 求面积
1.(2024无锡)如图,在 中， ,D 为边AB 上一动点,连接 CD,将CD 绕点 D 逆时针旋转 得到DE,连接BE,则 面积的最大值为 .
类型二 求长度
2.(2023东湖高新期中)如图，线段， C 是线段AB 上的一动点，将线段 AC 绕点A 逆时针旋转 得到线段AD，连接CD，在AB 上方作 使 F 为DE 的中点,连接BF.当BF 最小时,则AC 的长为 .
类型三 求线段和
3.(2024江汉)如图,在 中， 将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 得到线段 BD.当AD 的最小值为 时，n的值为 .
突破23 旋转中的最值(四) 动点与函数图象
1.(2024江夏、黄陂、蔡甸期末)如图1,在 中， D 为 平分线上一点，连接AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 得到AE,连接CE,DE.设 y与x的函数关系如图2所示，当x=2时，函数y有最小值.当. 时，则m 的值为 .
2.(2022武汉一初)如图1,在等边 中， 于点 D,动点 E 从顶点 A 出发沿AD 以每秒1个单位长度的速度向点 D 运动，将CE 绕点C 逆时针旋转 得到CF,M 是AC 上一点， 设 ，y随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 .
3.(2024武钢实验)如图1,将矩形 ABCD 绕点D 逆时针旋转 得到矩形 EFGD,点 P 从点 C出发沿C→D→E 向点E 运动，同时，点 M 以相同速度从点E 出发沿E→F→G 向点G 运动，连接MP,MB,PB.设. 的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，其中图象最低点 N 的纵坐标为 则a+b 的值为 .
突破24 旋转中的最值(五) 运动路径
类型一 求路径长
1.(2024原创题)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,P 是AB 边上一点,将CP 绕点 P 逆时针旋转90°得到 PD,连接CD.当点 P 从点 A 运动到点 B 时,点 D 的运动路径长为 .
2.(2023武汉三初)如图,在矩形 ABCD 中, ，点F 在对角线AC 上从点A 运动到点C,连接DF,作 Rt△DEF,使∠DEF=90°,∠DFE=30°,且点 E 和点 A 位于DF两侧，则点 E 运动的路径长是 .
3.(2023元调模拟)如图,在等边△ABC 中,AB=12,AD⊥BC 于点D,P,Q分别是AB,BC 上的动点,且 PQ=AD,点 M 在PQ 的右上方,且 PM=QM,∠PMQ=120°.当 P 从点A 运动到点 B 时，点M 的运动路径长为 .
类型二 求扫过的面积
4.(2024新洲期末)如图,D是等边△ABC 边BC 上一点,连接AD,在 AD 的右侧作△ADE,使∠ADE=60°,∠AED=90°,连接CE.若AB=1,当点 D 从点B 运动到点C时,则CE 扫过的面积为 .
突破20 旋转中的最值(一)两点之间线段最短
1. D 解:取AB 的中点G,连接GE,GN,CE,过点 E 作EH⊥CD 交 CD 的延长线于点 H. 证△GEN≌△AEF(SAS),△BGN≌△EGN(SAS),
∴BN=EN,∴BN+CN=EN+CN.
∵EH⊥CD,∴∠H=90°,
∵∠EDH=∠A=60°,∴∠DEH=30°,
∴CH=CD+DH=12+2=14,
∵EN+CN≥CE,∴BN+CN≥4
∴BN+CN 的最小值是4 故选 D.
2. D 解:将 BA 绕点 B 顺时针旋转90°得到 BE,连接AE,DE,∴BE=AB,∠ABE=90°,
∵∠DBC=90°=∠EBA,∴∠DBE=∠CBA,
∵BD=BC,AB=BE,
∴△DBE≌△CBA,∴DE=AC=2.
∵AD≤AE+DE,
∴当A,D,E 三点共线时,AD 有最大值,
∴AD 的最大值为6+2=8.故选 D.
解:将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△AQP,取 AQ 中点 H,连接 PH,BH.易得 =1,在 Rt△ABH 中, 解得 则 即 PB 的最大值为
4.13 解:将△EBF 绕点E 逆时针旋转90°得到△EHG,∴EH=BE=3,延长GH 交BC 于点N,则点 G 在过点 H 且垂直BC 的直线上运动，作点 C 关于直线GH 的对称点C',连接C'D,则CG+DG 的最小值为C'D 的长,
∴CG+DG 的最小值为13.
突破21 旋转中的最值(二) 垂线段最短
解:在 BC 上截取CF=CA,连接DF.
∵将 CD 绕点 C 顺时针旋转45°得到 CE,
∴CD=CE,∠DCE=45°,
∵AB=AC=3,∠BAC=90°,
∴∠BCA=45°,BC=3
∴∠DCE=∠BCA,
∴∠DCF=∠ACE,
∴△ACE≌△FCD(SAS),∴AE=FD,
∵D 为边AB 上一点,
∴FD⊥BA 时,FD 最小,
∵CF=CA=3,∴BF=3 -3,
∴此时，
∴AE 的最小值为
解:将线段 BE 绕点 E顺时针旋转30°得到线段 ET，连接 TG.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=CD=3,
∠B=∠BCD=90°,
∵∠BET=∠FEG=30°,
∴∠BEF=∠TEG,
∵EB=ET,EF=EG,
∴△EBF≌△ETG(SAS),
∴∠B=∠ETG=90°,
∴点 G 在射线 TG 上运动,
∴当CG⊥TG时,CG 的值最小,
∵BC=5,BE=1,CD=3,
∴CE=4,过点C 作CM⊥TE,交 TE 延长线于点M,
∴四边形 GTMC 是矩形,则MT 就是CG 的最小值,
∵∠CEM=30°,CE=4,∴EM=2
∴TM=TE+EM=1+2
∴CG 的最小值为2
解：在BE 上方作等边△BEM,连接 GM 并延长,交AB 于点N,
交 CB 的延长线于点 H，连接EG.可证△EMG≌△EBF,
∴∠EMG=∠EBF=90°,
∴点 G 在定直线GM 上运动.当AG⊥MH 时,AG 最小,此时∠H=30°,
∴AG 的最小值为
4.3 解:过点 C作CD⊥x轴于点 D.
由旋转得AB=AC,∠BAC=90°,
∴△AOB≌△CDA,
∴CD=OA,AD=OB=6.设点 A 的坐标为(t,0),则C(t+6,t),设x=t+6,则t=x-6,
∴点 C 在直线y=x-6上运动.
过点O作直线y=x-6的垂线，垂足为M，
则 OC 的最小值为OM 的长.
设直线y=x-6与y轴交于点N，
即 OC 的最小值为3
突破 22 旋转中的最值(三) 函数建模
1. 解:过点E作EN⊥AB,交 BA 的延长线于点N,∴∠EDN+∠DEN=90°.
由旋转得∠EDC=∠N=90°,DE=DC,
∴∠EDN+∠CDA=90°,
∴∠DEN=∠CDA,∴△EDN≌△DCA,
∴EN=DA.设BD=x,则EN=DA=6-x,
,∴当BD=3时,S△BDE有最大值为
2.3 解:连接CF.
∵∠DCE=90°,F为DE的中点,∴CF=DF=EF.
∵∠E=30°,∴∠FCD=60°.
∵将线段 AC 绕点A 逆时针旋转 120°得到线段AD,
∴AD=AC,∠A=120°,∴∠DCA=30°,
∴∠FCA=∠FCD+∠DCA=60°+30°=90°,
∴CF⊥AB.设AC=x,
则 BC=12-x,AC=AD=x,CD=CF= x,由勾股定理，得 当x=3时,BF 有最小值为6 ∴当 BF 最小时,AC 的长为 3.
3.4 解:将 BA 绕点 B 顺时针旋转 120°得到 BE,连接AE,DE,则AB=BE,∠ABE=120°,
∴∠BAE=∠BEA=30°.
∵BC=BD,∠CBD=120°,∴∠CBA=∠EBD,
∴△ABC≌△EBD,
∴DE=AC,∠BED=∠BAC=120°,∴∠AED=90°,
.令AC=x=DE,则AB=n-x,过点 B 作BF⊥AE 于点F,
∴AD 最小值为 舍负值).
突破23 旋转中的最值(四)动点与函数图象
1.8.5 解:过点A 作AF∥BC,交CD 的延长线于点F,∴∠FAC=∠ACB=90°.
由旋转得∠DAE=90°,AD=AE,∴∠CAE=∠DAF.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠AFD=∠AFD=45°,∴AF=AC,
∴△DAF≌△EAC,∴∠ACE=∠F=45°,CE=DF,
∴∠DCE=90°.当AD⊥CD时,y最小,
此时CD=2=AD,则.
∵CD=x,则CE=CF-CD=4-x,
则
当x=2.5时,
2.3 解:设MF交 BC于点 N,作 CQ⊥BF 于点Q.
易证△ACE≌△BCF,
∴点 F 的运动轨迹为BQ，
且∠FBC=∠CAE=30°,CE=FC,
∴当MF⊥BF 时,MF 取得最小值
4,∴此时MF∥AB,△MCN 为等边三角形,
∴MN=MC=CN=1,FN=MF-MN=4-1=3,
最低点的横坐标为3
3.7 解:由图象可知CD=EF=4,设DE=m,
或
∴a=1,b=6,∴a+b=7.
突破 24 旋转中的最值(五) 运动路径
1.6 解:连接 BD,过点 P 作PE⊥AB,交 BC 的延长线于点E.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠BAC=45°,
∵PE⊥AB,∴∠E=∠ABC=45°,
∴PE=PB,由旋转得 PC=PD,∠CPD=90°,
∴∠CPE=∠BPD,∴△CPE≌△BPD,
∴BD=CE,∠PBD=∠E=45°,
∴点 D 在与AB 成 45°的射线上运动,其运动路径长为 AB,
∴运动路径长为 2AC=6.
2.2 解：根据瓜豆原理，点 E 的轨迹为线段E E',解 Rt△ABC,Rt△ADE ,Rt△DCE',得 易证AE ∥DE',从而四边形 ADE'E 是平行四边形，所以点 E 的运动路径
解:作ME⊥AB 于点E,MF⊥BC 于点F,连接BM.证明 BM 平分∠ABC,得点 M 在射线BM上运动，求出 BM 的最大值和最小值，当 PQ∥AC时,BM 最大为12,当点 P 与点 B 重合,点 Q 在 BC 上时,BM 最小为6.设 BM 交 AC 于点 G,点 M 的运动路径是G→M→M ,
∴点 M 的运动路径的长
4. 解:延长DE 至点F,使EF=DE,连接AF,CF,取CD 的中点N,BC的中点M,连接 EN,AM,ME.
∵AE⊥DE,
∴AD=AF,∠DAF=∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAF,
∵AB=AC,∴△ABD≌△ACF,
∴∠ACF=∠ABC=60°,∴∠BCF=120°,
∵DN=CN,DE=EF,
∴∠EMN=∠NEM=30°,
∴点 E 在与BC 成30°的射线 ME 上运动(起点为点 M),
∴点E的运动路径长为
∴CE扫过的面积为

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