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北师大版八年级上册期中名校真题汇编卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．点P（﹣3，5）关于x轴的对称点P′的坐标是（　　）
A．（3，5） B．（5，﹣3）
C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
2．△ABC≌△A′B′C′，其中∠A′=50°，∠B′=70°，则∠C的度数为（　　）
A．55° B．60° C．70° D．75°
3．下列说法正确的是 （　　）
A． 的平方根是±3
B．0.4的算术平方根是0.2
C．－a2一定没有平方根
D．－ 表示2的算术平方根的相反数
4．一次函数y＝2x+b（其中b＜0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．小李家去年节余50000元，今年可节余95000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为x元，支出为y元，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，点B、E、C、F在同一条直线上， ， ，要用SAS证明 ≌ ，可以添加的条件是
A． B． C． D．
7．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
8．已知点P（x， |x|），则点P一定（　　）
A．在第一象限 B．在第一或第四象限
C．在x轴上方 D．不在x轴下方
9．如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
10．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
11．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=2∠ADB，③∠ADC=90°-∠ABD，④BD平分∠ADC，其中正确结论有（　　）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n＝　 　.
14．若点 都在直线 上，则 　 　 .（填“ ”“ ”或“ ” ）
15．若点(-1，2)在函数y=kx的图象上，则k的值是　 　．
16．下列实数： ， ，0， π ，-3.14中是无理数的是　 　
17．若实数 ，则代数式 的值为　 　.
18．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连接PA，PD，已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP＋DP的最小值为　 　．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．已知，如图， 中， ， ， ，以斜边 为底边作等腰三角形 ，腰 刚好满足 ，并作腰上的高 ．
（1）求证： ；
（2）求等腰三角形的腰长 ．
20．已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 的小数部分为 ．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
21．已知点P（ ， ），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴．
（3）点P到x轴、y轴的距离相等；
22．如图，一根长 米的木棒（ ），斜靠在与地面（ ）垂直的墙（ ）上，且木棒顶端与地面的距离（ ）为9米，当木棒 端沿墙下滑至点 时， 端沿地面向右滑行至点 .
（1）求 的长；
（2）当 米时，求 的长（结果保留根号）.
23．在平面直角坐标系中，已知点 ， .
（1）若点 在 轴上，求点 的坐标；
（2）若 轴，求 的值.
24．甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示.
（1）A，B两城相距　 　千米，乙车比甲车早到　 　小时；
（2）甲车出发多长时间与乙车相遇？
（3）若两车相距不超过30千米时可以通过无线电相互通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长？
25．观察下列各式及验证过程
= ，验证： = = = ；
= ，验证： = = = ；
= ，验证： = = = ；
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 =　 　；
（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
（3）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2的自然数）表示的等式，并进行验证．
26．已知：点D是∠ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在 (2) 的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明.
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北师大版八年级上册期中名校真题汇编卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．点P（﹣3，5）关于x轴的对称点P′的坐标是（　　）
A．（3，5） B．（5，﹣3）
C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 关于x轴的对称点 的坐标是
故答案为：D.
【分析】利用在平面直角坐标系中，两点关于x轴对称规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解.
2．△ABC≌△A′B′C′，其中∠A′=50°，∠B′=70°，则∠C的度数为（　　）
A．55° B．60° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：在 中，
两个三角形全等.
故答案为：B.
【分析】由三角形内角和为180°可得由全等三角形的对应角相等即可得 ∠C的度数 。
3．下列说法正确的是 （　　）
A． 的平方根是±3
B．0.4的算术平方根是0.2
C．－a2一定没有平方根
D．－ 表示2的算术平方根的相反数
【答案】D
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】A. =3，3的平方根是± ，故答案为：错误；
B.0.4的算术平方根是 ，故答案为：错误；
C.a=0时， a2的平方根是0，故答案为：错误；
D. 表示2的算术平方根的相反数是正确的.
故答案为：D.
【分析】分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可判断正确答案.
4．一次函数y＝2x+b（其中b＜0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝2x+b（其中b＜0），
∴k＝2＞0，图象过点（0，b），
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：A
【分析】对于一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，图形经过第一、三、四象限。
5．小李家去年节余50000元，今年可节余95000元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为x元，支出为y元，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】设去年的收入为x元，支出为y元，
由题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入-支出=50000元；②今年的收入-支出=95000元，根据等量关系列出方程组即可．
6．如图，点B、E、C、F在同一条直线上， ， ，要用SAS证明 ≌ ，可以添加的条件是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
可添加条件BC=EF，
理由：∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
故答案为：C.
【分析】根据AB∥DE得出∠B=∠DEF，添加条件BC=EF，则利用SAS定理证明△ABC≌△DEF.
7．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故答案为：A．
【分析】将（a+b）2﹣c2=2ab转化为a2+b2=c2，可判断得出三角形的形状。
8．已知点P（x， |x|），则点P一定（　　）
A．在第一象限 B．在第一或第四象限
C．在x轴上方 D．不在x轴下方
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】已知点P(x，|x|)，
即： ∴当|x|>0时，
点P在x轴的上方，当|x|=0时，
点P在x轴上，只有D符合条件.
故答案为：D.
【分析】根据点P的纵坐标为|x|，就可得出|x|≥0，从而可得出点P不在x轴的下方，可求解。
9．如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
，
，
，，
直线，令，得，即，
∴B（0，3），
令，得，，
即，
，，
设直线BC的解析式为，
把代入解析式，
得，
解得 ，
∴过B、C两点的直线解析式是，
故答案为：A.
【分析】过点A作AN⊥AB交BC于点N，过点N作MN⊥x轴于点M，用AAS证得△NAM≌△ABO，从而得到AM=OB，CM=OA， 由y=x+3 可得，，即可得到，结合待定系数法，把和代入，计算求解即可．
10．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3.
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a＝3，b＝﹣3.
故答案为：C.
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值.
11．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=2∠ADB，③∠ADC=90°-∠ABD，④BD平分∠ADC，其中正确结论有（　　）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠ACB，AD平分△ABC的外角∠EAC
又∵
∴
∴AD∥BC，故①正确
∵
∵BD平分∠ABC
∴
∴
∴
故②正确；
∵AD∥BC
∴
∵CD平分∠ACF
∴
又∵
∴
∴
即
∴③正确；
假设BD平分∠ADC
则：
∵
∴
∴
∴ ，且
∴
∵已知条件不具备
∴BD平分∠ADC假设不成立
∴④错误
故答案为：C.
【分析】 根据三角形外角的性质结合已知得出∠EAC=2∠ABC，根据角平分线的性质得出∠EAC=2∠EAD，从而得出∠EAD=∠ABC，根据同位角相等，二直线平行得出AD∥BC；根据二直线平行内错角相等得出∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得出∠ABC=2∠DBC，根据等量代换即可得出 ∠ACB=2∠ADB； 根据二直线平行内错角相等得出∠ADC=∠DCF，由角平分线的定义得出∠ACF=2∠DCF，进而根据平角的定义即可得出∠ADC+∠ABD=90°；利用反证法即可证出 BD平分∠ADC 不成立.
12．若 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴可得
∴
解得：
故答案为：B．
【分析】根据题意二次根式和绝对值的化简性质，列出一元一次不等式组，从而求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于x轴对称，则m+n＝　 　.
【答案】-14
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，得
m+2＝﹣4，n+5＝﹣3，
解得m＝﹣6，n＝﹣8.
m+n＝﹣14，
故答案为：﹣14.
【分析】 关于x轴对称点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求解即可.
14．若点 都在直线 上，则 　 　 .（填“ ”“ ”或“ ” ）
【答案】＞
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-x+b的图象上，
∴y1=-（-4）+b=4+b，y2=-2+b，
∴y1＞y2.
故答案为：＞.
【分析】由题意，分别把两个点的横坐标代入解析式计算求得y1、y2的值即可判断求解.
15．若点(-1，2)在函数y=kx的图象上，则k的值是　 　．
【答案】-2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】将点 (-1，2)代入函数图象分析既得k=-2.
【分析】一次函数图象上点的特点，将点代入函数解析式，函数解析式成立。
16．下列实数： ， ，0， π ，-3.14中是无理数的是　 　
【答案】 ， π
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】无理数：也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。
17．若实数 ，则代数式 的值为　 　.
【答案】3
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵ = ，
∴ =（a-2）2= =3，
故答案为：3.
【分析】先把a化简得，再把整理成平方的形式代入计算即可。
18．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连接PA，PD，已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP＋DP的最小值为　 　．
【答案】15
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，作A点关于BC对称点A'，连接A'D交BC于点P，过A'点作A'M⊥DC交于点M，
∴AP＝A'P，
∴AP+PD＝A'P+PD，
当A'，P，D三点共线时，A'P+PD=A'D，此时A'P+PD的值最小，
又∵AB＝5，DC＝4，BC＝12，
∴AM＝12，DM＝5+4＝9，
在Rt△A'DM中，A'D＝＝＝15，
∴AP+PD的最小值是15.
故答案为：15．
【分析】作A点关于BC对称点A'，连接A'D交BC于点P，过A'点作A'M⊥DC交于点M，当A'，P，D三点共线时，A'P+PD=A'D，此时A'P+PD的值最小，再利用勾股定理求得A'D的长，即可解决问题.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．已知，如图， 中， ， ， ，以斜边 为底边作等腰三角形 ，腰 刚好满足 ，并作腰上的高 ．
（1）求证： ；
（2）求等腰三角形的腰长 ．
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
在 和 中， ，
，
（2）解：由（1）得： ， ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出 ，由平行线的性质得出 ，得出 ，由 证明 ，得出 ；（2）由（1）得： ， ，设 ，则 ， ，由勾股定理得出方程，解方程即可．
20．已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 的小数部分为 ．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
【答案】（1） 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 的小数部分为 ，
， ， ，
解得： ， ，
（2） ，
即 的平方根为
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值；代数式求值
【解析】【分析】（1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出 ， ， ，求出 、 即可；（2）求出 的值，再求出平方根即可．
21．已知点P（ ， ），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴．
（3）点P到x轴、y轴的距离相等；
【答案】（1）根据题意得：
此时点P的坐标为（2，0）
（2）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴，
∴a-2=1，
解得：a=3，
故2a-8=-2，
则P（1，-2）
（3）根据题意得： 或
解得 或
当a=6时，
当 时，
此时点P的坐标为（4，4）或（ ，－ ）
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；（2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；（3）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案．
22．如图，一根长 米的木棒（ ），斜靠在与地面（ ）垂直的墙（ ）上，且木棒顶端与地面的距离（ ）为9米，当木棒 端沿墙下滑至点 时， 端沿地面向右滑行至点 .
（1）求 的长；
（2）当 米时，求 的长（结果保留根号）.
【答案】（1）解：在 中
米
（2）解：∵∴
∴ 米
∴ 米
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）在 中，根据勾股定理解之即可；（2）根据题意求得下滑后木棒顶端离地面的高度 的长度，根据木棒下滑前后长度不变，在 中运用勾股定理求出 的长度即可.
23．在平面直角坐标系中，已知点 ， .
（1）若点 在 轴上，求点 的坐标；
（2）若 轴，求 的值.
【答案】（1）解：∵ 在 轴上
∴ 即
∴
（2）解：∵ ∥ 轴
∴ 即
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系里坐标轴上点的坐标的特征解答即可.（2）当直线平行于 轴时,直线上所有的点的纵坐标相等,据此可答.
24．甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示.
（1）A，B两城相距　 　千米，乙车比甲车早到　 　小时；
（2）甲车出发多长时间与乙车相遇？
（3）若两车相距不超过30千米时可以通过无线电相互通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长？
【答案】（1）300；1
（2）解：由图象可得，
甲车的速度为300÷5＝60（千米/时），乙车的速度为300÷（4﹣1）＝100（千米/时），
设甲车出发a小时与乙车相遇，
60a＝100（a﹣1），
解得a＝2.5，
即甲车出发2.5小时与乙车相遇；
（3）解：设甲车出发b小时时，两车相距30千米，
由题意可得，|60b﹣100（b﹣1）|＝30，
解得b＝ 或b＝ ，
（小时），
即两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有 小时.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，
A，B两城相距300千米，
乙车比甲车早到5﹣4＝1（小时），
故答案为：300，1；
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得甲乙的速度，然后根据追击问题中的等量关系建立方程，求解即可得到甲车出发多长时间与乙车相遇；
（3）根据相遇前与相遇后两种情况即“两车行驶的路程差的绝对值”等于30建立方程，从而可以计算出两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长.
25．观察下列各式及验证过程
= ，验证： = = = ；
= ，验证： = = = ；
= ，验证： = = = ；
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 =　 　；
（2）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
（3）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥2的自然数）表示的等式，并进行验证．
【答案】（1）
（2）解：猜想 = ，验证： = = =
（3）解： = ；
验证： = = =
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）猜想 = ，验证： = = = ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据题意，可找到验证的思路，将根号下相减的分数，变成相乘的形式，再进行化简。
（2）根据题意中的验证思路，可将原式进行变形化简，进行验证。
（3）根据上述的验证思路，利用n表示的等式，进行化简，可得到验证。
26．已知：点D是∠ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在 (2) 的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明.
【答案】（1）解：如图1，延长AD交BC于E，
在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28 +72 =100 ，
在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100 +11 =111
（2）解：∠A－∠C=2∠P，理由如下：
如图2，
∠5=∠A+∠1，∠5=∠P+∠3
∴∠A+∠1=∠P+∠3
∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠A+∠2=∠P+∠4
由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C
∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C
∴∠A－∠C=2∠P
（3）解：∠A+∠C=2∠P，理由如下：
如图3，
同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3，∠C+∠4=∠P+∠2
∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3
∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠A+∠C=2∠P
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】（1） 如图1，延长AD交BC于E， 利用三角形外角定理，由 ∠AEC=∠A+∠B 算出 ∠AEC的度数，由 ∠ADC=∠AEC+∠C即可 算出 ∠ADC的度数；
（2） ∠A－∠C=2∠P，理由如下： 如图2， 根据三角形的外角定理，由 ∠5=∠A+∠1，∠5=∠P+∠3 得出 ∠A+∠1=∠P+∠3 ，根据角平分线的定义得出 ∠1=∠2，∠3=∠4 故 ∠A+∠2=∠P+∠4 ，利用三角形的外角定理得出 ∠4=∠2+∠P+∠C ，根据等量代换得出 ∠A－∠C=2∠P ；
（3） ∠A+∠C=2∠P，理由如下： 如图3， 同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3，①∠C+∠4=∠P+∠2 ②，根据等式的性质将①②相加得出 ∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3 ，再根据角平分线的定义得出 ∠1+∠4=∠2+∠3 从而得出结论： ∠A+∠C=2∠P 。
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