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威远中学校2025届高三上期半期考试
数学试题
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R,集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
2．年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（ ）

A．盛李豪的平均射击环数超过
B．黄雨婷射击环数的第百分位数为
C．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
3．天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．
6．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记
．若在区间上是增函数，则实数的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正项等差数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，
，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．函数的图象关于点对称
C．点（其中）是函数的对称中心 D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。
9．已知复数是的共轭复数，则（ ）
A． B．的虚部是
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数是方程的一个根
10．函数相邻两个最高点之间的距离为为的对称中心，
将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则（ ）
A．在上存在极值点
B．方程所有根的和为
C．若为偶函数，则正数的最小值为
D．若在上无零点，则正数的取值范围为
11．已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，
则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．
C． D．
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为 .
13．已知曲线与的公切线为，则实数 .
14．若对恒成立，则实数a的取值范围为__________.
四、解答题
15、（13分） ABC的内角的对边分别为、已知.
(1)求角； (2)若，点满足，且，求 ABC的面积；
16、（15分）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求C的标准方程；
(2)过C的左焦点且斜率为的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，
当的面积为时，求k的值．
17、（15分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局就不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜.根据以往两人的比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为，乙胜的概率为
(1)设第一局比赛后甲的红旗个数为，求的分布列和数学期望；
(2)求比赛共进行五局且甲获胜的概率；
(3)若比赛一共进行五局且第一局是乙胜，求此条件下甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）
18、（17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)已知函数有三个零点且.
（i）求的取值范围；
（ii）若，证明：.
19、（17分）定义：从数列中随机抽取m项按照项数从小到大的顺序依次记为，将它们组成一个项数为m的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“m项递增衍生列”；
(1)已知数列满足，数列是的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的﹔
(2)已知数列是项数为m的等比数列，其中，若数列为1，16，81，求证：数列不是数列的“3项递增衍生列”；
(3)已知首项为1的等差数列的项数为14，且，数列是数列的“m项递增衍生列”，其中．若在数列中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m的最大值．
威远中学校2025届高三上期半期考试
数学试题参考答案
一：选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C D D D C C AC AC BCD
二、填空题 12．；13．；14．
三、解答题
15、（1）由正弦定理可知，
，即，……2分
则，……4分
，
，且，……6分
所以，，所以；……7分
（2）由，
，……9分
，……11分
∴b=1 ……13分
（1）设椭圆的半焦距为c，由题意得，，……4分
解得，……6分
∴C的标准方程为；……7分
（2）由（1）得，椭圆C的左焦点为，∴设直线l的方程为， ……8分
令，，联立，……9分
整理得，……11分
∴，， ∴，……13分
∴，解得.……15分
【详解】（1）的可能取值为，
其中，，，……3分
所以分布列为
2 3 4
0.4 0.1 0.5
数学期望为……5分
比赛共进行五局且甲获胜，则前4场甲赢2场，平局2场，最后一场甲赢，
……7分
前3场甲赢2场，输1场，第4场和第5场最后一场甲均赢，
……9分
故概率为0.0075+0.075=0.0825，……10分
（3）设比赛一共进行五局且甲最终获胜为事件，
比赛一共进行五局且第一局是乙胜为事件，故，……12分
事件包含三种情况，一共进行五局，甲后4局获胜，
第2场，第3场和第4场中乙胜1场，平局2场，第5场乙胜，
第2场或第3场甲胜，剩余3场乙胜，
，……14分
故比赛一共进行五局且第一局是乙胜，此条件下甲最终获胜的概率为
……15分
（1）若选①，证明如下：
……2分
Sin2θcosθ+cos2θsinθ=2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ……5分
=2sinθ(1-sin2θ)+(1-2sin2θ)sinθ=3sinθ-4sin3θ……6分
若选②，证明如下：
.
（2）（i）解：，……7分
当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；……8分
当时，令，得； 令，得，
令，得或， ……10分
所以在上单调递减，在上单调递增.
若有三个零点，则，即，解得，……12分
（ii）证明：设，则.……13分
又，所以.此时，……14分
方程的三个根均在内，方程变形为，……15分
令，则由三倍角公式.
因为，所以.
因为，所以，
所以
.……17分
19、（1）由题意得，数列为1，8，3，4，5，2，若是数列的“3项递增衍生列”，且，
则为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒……5分
（2）设等比数列的公比为q．假设数列是数列的“3项递增衍生列”，
则存在，使，……6分
所以，则，……8分
所以．
因为，所以为有理数，但为无理数，
所以（*）式不可能成立．
综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”．……11分
（3）设等差数列的公差为d．
由，又，所以，
故数列为1，2，3，4，5，，14﹒ ……14分
令，因为数列中各项均为正整数，故﹔
（若，则，成等差数列）
同理，且，所以，
同理，且，所以，
这与已知条件矛盾，所以，
此时可以构造数列为1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列．
综上所述，m的最大值为8．……17分
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