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第五章 一元一次方程
5.3 一元一次方程和它的解
学习目标：
1.学生能理解一元一次方程的概念，准确识别方程中的未知数和常数项；
2.掌握一元一次方程的求解方法，能够熟练求解简单的一元一次方程；
3.通过实际问题的解决，体会一元一次方程在数学和生活中的应用价值。
核心素养目标：
1. 重在引导其逻辑推理，通过方程求解锻炼思维严谨性。
2. 增强数学建模能力，能将实际问题转化为方程。
3. 培养问题解决能力，运用方程知识准确得出答案，提升数学应用能力。
学习重点：理解一元一次方程的概念，掌握其解法及应用，能准确判断方程的解。
学习难点：熟练运用等式性质对方程变形求解，理解方程解的唯一性，处理含参一元一次方程。
一、知识链接
1.方程80%x＝120，y＋18＋6＝2(y＋6)，700＋＝850，都只含有______个未知数，未知数的次数都是______次，且两边都是______，这样的方程叫作一元一次方程。
2.能使一元一次方程两边相等的______的值叫作一元一次方程的解，也叫作______。求方程的解的过程称为______。（☆ 含有一个未知数的方程的______也可以称为方程的______。）
3.____________是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成“x＝a（a为已知数）”的形式，就求出了一元一次方程的解。
4.列方程就是把实际问题中的相等关系用______的形式表示出来。
5.设未知数可以直接设,也可以间接设,根据具体情况分析,本着______、______的原则设出恰当的未知数。 二、自学自测
1. 有长为20米的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，使得长比宽长2米。设园子的宽为t米，请列出一个含有未知t的方程，并判断所列方程是不是一元一次方程。
2.. 利用等式的性质求下列一元一次方程的解。
（1）11－x＝10x；
（2）4x－3＝2x－9。
一、创设情境、导入新课
2020年11月10日，我国载人潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到10909米，刷新了我国载人深潜纪录，是世界上首次同时将3人带到地球最深处。潜水器在水下时，怎样根据承受的水压计算它所在的深度？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
分析下列问题所给条件的数量关系，并根据其中的等量关系列出方程。
（1）一件衣服按八折销售的售价为120元，这件衣服的原价是多少元？
设这件衣服的原价为x元，可列出方程：______________ 。
（2）王老师和小明相差 18岁，6年后王老师的年龄正好是小明的 2倍，
问：小明今年多大？
设小明今年y岁，可列出方程：_____________________ 。
（3）在水下，水深每增加10米，物体承受的水压大约增加1个大气压。
当“奋斗者”号载人潜水器下潜至7000米时，它承受的水压约为700个大气压。问：当它承受水压增加到850个大气压时，它又继续下潜了多少米？
设它又继续下潜了x米，可列出方程：_____________________ 。
观察你所列的方程，这些方程有哪些共同的特点？
【强调】：
方程80%x＝120，y＋18＋6＝2(y＋6)，700＋＝850，都只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。
能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根☆。求方程的解的过程称为解方程。
☆ 含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根。
做一做
1.下列方程中，哪些是一元一次方程？
(1)2x－3＝5； (2)－4＝3m；
(3)x＋y＋z＝7； (4)3a－5＝－6＋a；
(5)－5＝1。
2.判断下列x的值是不是方程2x－3＝5的解。
(1)x＝2； (2)x＝4； (3)x＝－1。
【强调】：
等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成“x＝a（a为已知数）”的形式，就求出了一元一次方程的解。
列方程就是把实际问题中的相等关系用方程的形式表示出来。列方程的一般步骤如下:
(1)审题,分析实际问题中的相等关系,找出已知量和未知量。
(2)恰当地设出未知数x,并把涉及相等关系的量用x。
(3)利用相等关系列出方程。
注意：
列简单的一元一次方程的说明：
(1)设未知数时,有单位的要带单位。
(2)设未知数可以直接设,也可以间接设,根据具体情况分析,本着易列、易解的原则设出恰当的未知数。
注意：
1.一元一次方程必须满足的三个条件：
(1)整理化简后只含“一元”;
(2)整理化简后最高次为“一次”
(3)整理前两边均为整式。
2.若已知等式ax+b=0为关于x的一元一次方程,则默认a≠0。
3.要检验一个数是不是某个方程的解,只需把这个数分别代入方程的左右两边,看左右两边的值是否相等,若相等,则这个数是该方程的解，否则不是。
探究二：例题讲解
教材第135页
例 利用等式的性质，解下列一元一次方程：
(1)5x＝50＋4x
(2)8－2x＝9－4x
注意：对一元一次方程，解的检验过程可以省略不写。
【例1】若关于x的方程(m-1)=6是一元一次方程,则m的值为（ ）
A.±1 B.-1 C.1 D.2
【例2】若x=2是关于x的一元一次方程ax+2=14的解,则a=_______。
【例3】用150张白铁皮做罐头盒,每张白铁皮可制盒身15个或盒底45个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒,设用x张白铁皮制盒身,则可列方程为（ ）
A.2×15x=45(150-x)
B.15x=2×45(150-x)
C.2×45x=15(150-x)
D.45x=2×15(150-x)
【例4】在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10 ℃,假设地表温度是12℃,某矿井的温度是18 ℃，设该矿井地表以下xkm处,则可列方程______________。
【选做】5.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以x-1,得2=3,其错误的原因是（ ）
A.方程本身是错的
B.方程无解
C.两边同除以0
D.2(x-1)小于3(x-1)
【选做】6利用等式性质解一元次方:7x-2=5x+8.
知识点1 一元一次方程的概念
1.一元一次方程:方程80% x＝120，y＋18＋6＝2(y＋6)，700＋＝850，都只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。
2.一元一次方程的最简形式为x=-(a≠0).一元一次方程的标准形式为ax+b=0(a≠0)。
知识点2 一元一次方程的解和解方程
1.解方程:求方程的解的过程叫作解方程。
2.一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元一次方程的解,也叫作方程的根。
知识点3 列简单的一元一次方程
列方程就是把实际问题中的相等关系用方程的形式表示出来。列方程的一般步骤如下:
(1)审题,分析实际问题中的相等关系,找出已知量和未知量。
(2)恰当地设出未知数x,并把涉及相等关系的量用x。
(3)利用相等关系列出方程。
必做题：
1.下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A.2x=5+3y B. =y+4
C.3x+2=1-x D.x+=2
2.下列方程中,解为x=4的是（ ）
A.x-1=4 B.4x=1
C.4x-1=3x+3 D.2(x-1)=1
3.超市正在促销种商品,其标价为每件125元若该商品打8折销售,则每件可获利15元,设该商品每件的进价为x元，则可列方程为______________。
4.已知方程(∣m∣-2)-(m+2)x-6=0是关于x的一元一次方程。
(1)求m的值;
(2)判断x=3,x=-,x=是不是该方程的解。
选做题：
5.某厂的两个车间10月份共生产1339个零件,第一车间10月份比9月份增产12%,第二车间10月份比9月份减产24%,若9月份第一车间的产量是第二间产量的3倍,那么9月份两个车间各生产了多少个零件
6.众所周知,中华诗词博大精深,集大量的情感于短短数十字之间,或豪放,或婉约,或思民生疾苦,或抒发已身豪情逸致,文化价值极高 而数学与古诗词更是有着密切联系。古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字,有一本诗集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数反而少了20个字问两种诗各多少首 设七言绝句有x首,根据题意,可列方程为______________。
拓展题：若关于x的方程x+1=x-2的解为x=-2,那么关于x的方程+1=-2的解是______________。
参考答案
【预习自测】
1.2t+t+2=20得3t+2=20。该方程是一元一次方程，只含有一个未知数，未知数的次数是一次，且两边都是整式。
2(1)11-x=10x
11=11x
X=1
(2)4x-3=2x-9
2x=-6
x=-3
【作业布置】
必做
1.C【解析】2x=5+3y含有两个未知数,不是一元一次方程,故选项A不符合题意;=y+4的未知数的最高次数是2,不是一元一次方程，故选项B不符合题意:3x+2=1-x是一元一次方程,故选项C符合题意;x+=2的等号左边不是整式,不是一元一次方程，故选项D不符合题意.故选C。
2.C【解析】A选项，当x=4时,左边=4-1=3≠右边,故此选项不符合题意;B选项，当x=4时，左边=16≠右边，故此选项不符合题意;C选项，当x=4时，左边=16-1=15,右边=12+3=15,左边=右边，故此选项符合题意;D选项,当x=4时,左边=2×(4-1)=6≠右边,故此选项不符合题意。故选C.
3.125×0.8-x=15 【解析】依题意得125×0.8-x=15。故答案为125×0.8-x=15。
4.【解析】(1)根据題意得∣m∣-2=0且-(m+2)≠0.解得 m=2.
(2)当m=2时,原方程是-4x-6=0.当x=3时,左边=-18≠右边,所以x=3不是该方程的解当=-时,左边=0=右边,所以x=-是方程的解；当x=时,左边=-≠右边,所以x=不是该方程的解,即-是该方程的解,x=3和x=不是该方程的解。
选做
5.【解析】设9月份第二车间生产了x个零件,则9月份第一车间生产了3x个零件.由题意得3x(1+12%)+x(1-24%)=1339,解得x=325,所以3x=975.
答:9月份第一车间生产了975个零件,第二车间生产了325个零件。
6. 28x-20(x+13)=20 【解析】已知七言绝句有x首,则五言绝句有(x+13)首,根据题意,可列方程为 4×7x-4×5×(x+13)=20,即28x-20(x+13)=20。
拓展
x=1【解析】令x-3=t,则方程+1=5-2可变形为t+1=-2。因为关于x的方程t+1=-2的解为x=-2,所以方程t+1=-2的解为t=-2,所以x-3=-2,所以x=1,故答案为x=1。

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