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贵州省凯里学院附属中学2024—2025学年度第一学期
九年级数学期中考试
一、填空题（每小题3分，共计36分）
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，
3．关于二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
4．若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．下列表格给出了函数的x与y的部分对应值，那么方程的一个根x的取值范围是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
y 0.19 0.44 0.71
A． B．
C． D．
7．函数的图象与轴的交点的情况是（ ）
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
8．如图，将△ABC绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．若a是方程的一个解，则的值是（ ）
A．2024 B．2024 C．2023 D．2023
10．我县开展老旧小区改造，2022年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022—2024年累计投入资金为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
11．如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
12．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13．抛物线的顶点坐标是 ．
14．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
15．已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．
16．如图，在正方形中，．，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为 ．
三、解答题（9小题，共计98分）
17．（10分）解下列方程
（1）； （2）．
18．（10分）已知：在平面直角坐标系中，有，
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）画出将绕点O按顺时针旋转所得的．
19．（10分）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
20．（10分）如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料．
（1）要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长．
（2）请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值．
21．（10分）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
22．（12分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
23．（12分）小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图：
（1）单株售价与月份x之间的关系式为__________；单株成本与月份x之间的关系式为__________．
（2）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利=单株售价单株成本）．
24．（12分）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
①，
∵，∴．因此代数式有最小值；
②．
∵，∴．因此，代数式有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最大值为 ；
（2）求代数式的最小值；
（3）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值．
25．（12分）【问题背景】（1）如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌________，故、、之间的数量关系为_________．
【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在△ABC中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系，并证明．
凯里学院附属中学 2024—2025学年度九上
数学期中考试答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D A A B C A A B B D
二、填空题
13. 9， 3 14. 6 15. 1 y 3 16. 8
三、解答题
2
17. 2（10分）（1） x 2x； （2） x 4x 5 0．
解得：x1 0，x2 2 解得：x1 5，x2 1
18.（10分）
（1） A(5，4) B(0，3) C(2，1)
（2）
19.（10分）
(1) 2解：∵一元二次方程 x 3x k 2 0有实数根．
∴ 0，即 32-4（k-2） 0，
解得 k 17 .....................5分
4
(2)∵方程的两个实数根分别为 x1，x2，
∴ x1 x2 3,x1x2 k 2，
∵ x1 1 x2 1 1，
∴ x1x2 x1 x2 1 1，
∴ k 2 3 1 1，
解得 k=3．.....................10分
20.（10分）
(1)解：设 AB的长为 x米，则 BC的长为 (15 1 2x)米，
{#{QQABQYAAggAIAAIAAQhCAQ1yCEIQkgEAAYgGhAAIsAABSBNABAA=}#}
依题意得： (15 1 2x) 30，
2
整理得： x 8x 15 0，
解得： x1 3， x2 5，
当 x 3时， (15 1 2x) 16 2 3 10 8，不符合题意，舍去；
当 x 5时， (15 1 2x) 16 2 5 6 8，符合题意．
答：AB的长为 5米；.....................5分
(2)解：设矩形面积为 S平方米，
S x 15 1 2x 2x2 2 16x 2 x 4 32根据题意得， ，
∵ 2 0，
∴抛物线开口向下，
∴当 x 4时，S有最大值 32，
当 x 4时， (15 1 2x) 16 2 4 8，符合题意．
∴当 AB为 4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为 32平方米．.....................10分
21.（10分）
(1)证明： 将 ABC绕点 A按逆时针方向旋转100 得到 ADE，
AB AD， AC AE， BAD CAE 100 ，
AB AC，
AB AD AC AE，
ABD≌ ACE(SAS)，
BD CE；....................5分
(2)解：由（1）知， AB AD， BAD 100 ，
ABD是等腰三角形，
∴ ABD ADB，
ABD (180 BAD) 2 (180 100 ) 2 40 ，
即 ABD的度数为40 ．.....................10分
22.（12分）
1
(1)解：当 y＝0时，0 (x 5)2 6，
6
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点 D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从 A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．.....................6 分
{#{QQABQYAAggAIAAIAAQhCAQ1yCEIQkgEAAYgGhAAIsAABSBNABAA=}#}
(2)解：∵OE 10， EF OD，
y 1 (10 5)2 6 11当 x＝10时， ，
6 6
11
∴点 F（10， ）
6
11
∴雕塑 EF 的高为 米．.....................12分
6
23.（12分）
(1) y 2 1 x 7 y x 6 21 2 1.....................6分（每空 3分）3 3
y y 2 x 7 1 (x 6)2 1 1 (x 5)2 7(2) 1 2 ．3 3 3 3
1
∵ 0，
3
∴当 x 5时，取得最大值．
答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．.....................12分
24.（12分）
(1) 13.....................4分
2
(2) a b
2 4b 8a 11 a2 8a 16 b2 4b 4 9 a 4 2 b 2 2 9解：
a 4 2 0 b 2∵ ，
2
0
，
a2 b2 4b 8a 11 a 4 2 b 2 2 9 9∴ ，
2
∴代数式a b
2 4b 8a 11的最小值为 9；.....................8 分
S 1四边形ABCD S ABD S BDC BD OA
1
BD OC 1 BD OA 1 OC BD AC
(3)解： 2 2 2 2 ，
设 BD x，则 AC 12 x，
S 1ABCD x 12 x
1
x2 12x 1 2 x 6 36 1 x 6 2 18四边形
∴ 2 2 2 2 ，
1
x 6 2 0
∵ 2 ，
S 1 x 6 2 18 18
四边形ABCD
∴ 2 ,
∴四边形 ABCD面积的最大值为 18．.....................12分
25.(12 分)
(1) AFE EF BE DF .....................4分（每空 2分）
(2) EF BE DF，理由如下：如图 2，
∵ AB AD， BAD 90 ，
∴把 ABE绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB与 AD重合，
∴ BAE DAG， ABE ADG，
∵ BAD 90 ， EAF 45 ，
{#{QQABQYAAggAIAAIAAQhCAQ1yCEIQkgEAAYgGhAAIsAABSBNABAA=}#}
∴ BAE DAF 45 ，
FAG 45 ，
∴ EAF FAG，
∵ ADC B 180 ，
∴ FDG 180 ，点 F、D、G 共线
AE AG

FAE FAG

在△AFE和 AFG中， AF AF ，
AFE≌ AFG SAS∴ ，
∴ EF FG，
即：EF BE DF，.....................8分
BD2 2(3) CE DE
2
，
理由是：把△ACE旋转到△ABF的位置，连接DF，则 FAB CAE，BF CE．
∵ BAC 90 ，∠DAE 45 ，
∴ BAD CAE 45 ，
又∵ FAB CAE，
∴ FAD DAE 45 ，
AD AD

FAD DAE

△ADF ADE AF AE则在 和 中， ，
∴ ADF ADE，
∴DF DE，
又∵ ABF C 45 ，
∴ FBD 90 ，
∴ BDF 是直角三角形，
BD2∴ BF 2 DF 2 ，
BD2 CE2∴ DE
2
．.....................12分
{#{QQABQYAAggAIAAIAAQhCAQ1yCEIQkgEAAYgGhAAIsAABSBNABAA=}#}

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