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初中几何结论总结及常用方法
一．基本概念。
直线的基本性质：（1）两条直线的位置关系（在同一平面内）：相交与平行；（2）两直线相交，只有一个交点；（3）直线公理：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
2．线段的有关内容：（1）线段中点：点M在线段上，且把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M就是线段AB的中点。AM＝BM＝AB.
（2）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
3．角（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点是角的顶点。（2）角的表示：①三个大写字母及符号“∠”表示
②.用一个数字或阿拉伯字母表示
角也看成是有由一条射线绕着它的端点旋转而成。
平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时所成的角。
周角：终边继续旋转，当它又和始边重合时所成的角.
(3)角的分类：锐角、直角、钝角。
（4）角的单位换算：1周角＝2平角＝4直角＝360。 1平角＝2直角＝180。
1直角＝90。 1。＝60，＝3600，， 1，＝60，，
（5）余角、补角及其性质：
互余：如果两个角和是直角，这两个角叫做互为余角，简称互余。
互补：如果两个角的和是平角，这两个角叫做互为补角，简称互补。
性质： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
（6）对顶角：、两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边（或是一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线）的两个角叫做对顶角。
对顶角性质：对顶角相等。
4．平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线。
（1）性质1：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）性质2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
（即平行于听一条直线的两条直线平行。）
（3）平行线判别方法：①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
（4）平行线性质：①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
5.垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
性质1：平面内，过一点有且只有一条直线已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所以线段中，垂线段最短。
6．三角形的有关概念
（1）三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。三角形ABC记作“△ABC”
（2）三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高。
三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线。
三角形的高线：过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段。
三角形的角平分线：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段
注意：①三角形的角平分线、中线、高都是线段；②三角形的角平分线、中线都在三角形内部交于一点；③三角形的高可能在三角形的内部（锐角三角形）、外部（钝角三角形）、边上（直角三角形），它们（或延长线）相交于一点。
7．三角形三边之间的关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边；（2）三角形的任意两边之差小于第三边。
8．三角形内、外角关系： （1）三角形的内角和等于180。； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形的外角和等于360。
9．三角形的分类（根据角）：直角三角形和斜三角形（钝角三角形和锐角三角形）。
三角形的分类（根据边）：不等边三角形和等腰三角形（①底和腰不等的等腰三角形；②等边三角形。
10．全等三角形：
（1）定义：两个能够重合的三角形。△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。（表示对应角顶点的字母写在对应位置上。）
（2）全等三角形的性质：①全等三角形的对应边和对应角相等；②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。
（3）全等三角形的判别方法：一般三角形：
①三边对应相等的两个三角形全等。SSS
②两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。ASA
③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS
④两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。SAS
直角三角形：SSS，SAS，ASA，AAS，HL
HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
11.角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就是这个角的平分线。
（1）角平分线的性质：①角平分线的定义； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③三角形的三条角平分线相交与一点，且这一点到三条边的距离相等。
（2）角平分线的判别方法：①角平分线的定义；②在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
12．垂直平分线：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线。
（1）垂直平分线的性质：①垂直平分线的定义；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③三角形三条边的垂直平分线相交与一点，且这一点到三个顶点的距离相等。
（2）垂直平分线的判定方法：①垂直平分线的定义；②到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
13．等腰三角形：有两条边相等的三角形。
(1)等腰三角形的性质：①等腰三角形的定义；②等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）③（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
(2)等腰三角形的判别方法：①等腰三角形的定义；②有两个角相等的三角形。（等角对等边）
(3)等边三角形：三条边都相等的三角形。
(4)等边三角形的性质：①等边三角形的定义；②等腰三角形的所有性质。
③等边三角形的三个角都相等，且等于60。。
(5)等边三角形的判别：①等边三角形的定义；②有一个角等于60。的等腰三角形；③三个角都相等的三角形。
14．直角三角形：有一个角等于90。的三角形。
（1）直角三角形的性质：①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。ａ2+ｂ2＝ｃ2（ａ、ｂ为直角边ｃ为斜边）； ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半； ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；④直角三角形两个锐角互余。
（2）直角三角形的判别方法：（1）直角三角形的定义；（2）HL定理；（3）三角形两边的平方和等于第三边的平方。
15.三角形的中位线：连接三角形任意两边中点的线段。
性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
16．多边形的内角和、外角和：（1）n边形的内角和为（n-2）×180。；
（2）n边形的外角和为360。。
17．平行四边形：两组对边分别平行的四边形。 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。四边形ABCD是平行四边形，记作“ ABCD”。
（1）．平行四边形的性质：①平行四边形的两组对边分别相等；②平行四边形的两组对边分别平行；③平行四边形的对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分。
（2）平行四边形的判别：①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。
（3）平面镶嵌：同一种正多边形可以镶嵌的有：正三角形、正方形、正六边形；不同的多边形只有满足在同顶点各个内角和是360。才能镶嵌。
18．平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。 性质：平行线之间的垂线段处处相等。
19．菱形：一组邻边相等的平行四边形。
（1）菱形的性质：①平行四边形的所有性质；②菱形的定义；③菱形的四条边相等；④对角线垂直，且每一条对角线平分一组对角；⑤S=对角线之积。
（2）菱形的判别方法：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形。
20．矩形：有一个内角是直角的平行四边形。
（1）矩形的性质：①平行四边形的所有性质。②矩形的对角线相等③四个角都是直角。
（2）矩形的判别方法：①有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形。
21．正方形：一组邻边相等的矩形。
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（2）正方形的判别方法：①一组邻边相等的矩形。②对角线垂直的矩形。
③对角线相等的菱形④一个角是直角的菱形。
22．梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰。夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。
梯形的分类：①一般梯形；②等腰梯形；③直角梯形。
23．等腰梯形：两腰相等的梯形。 直角梯形：一条腰和底垂直的梯形。
（1）等腰梯形的性质：①等腰梯形两腰相等；②等腰梯形同一底上的两个内角相等；③等腰梯形的对角线相等。
（2）等腰梯形的判别方法：①两腰相等的梯形；②同一底上的两个角相等的梯形。
24．梯形的中位线：连接两腰中点的线段。
性质：梯形的中位线平行于上下底且等于上下底之和的一半。
25．梯形的面积：S＝（a +b）×h＝l×h(其中a,b分别为上下底长，h为高，l中位线线长)
26．梯形中常用的辅助线：①作高；②平移腰；③平移对角线；④过一腰中点作辅助线。
27．五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段：（2）作一个角等于已知角；
（3）平分已知角；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线。
28．圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。（2）圆可以看做是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径决定。
29．圆的有关概念：（1）弦：联结圆上任意两点的线段；（2）直径：经过圆心的弦；（3）弧：圆上任意两点间的部分；（4）优弧：大于半圆的弧；（5）劣弧：小于半圆的弧；（6）圆心角：顶点在圆心的教；（7）圆周角：顶点在圆上，角的两边和圆相交的角；（8）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；（9）等圆：能够互相重合的两个圆；（10）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
30．圆心角、弧、弦的关系：（1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数；（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等。
31．过三点的圆：（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆；（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
32．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
33．圆周角：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；（2）直径（或半圆）所对的圆周角为直角，90。的圆周角所对的弦是直径。
34．点与圆的位置关系：如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:
(1)点在圆外(d>r ;(2)点在圆上(d＝r;(3)点在圆内(d35.直线和原的位置关系:设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离.
(1)直线和圆相离(d>r ,即直线和圆没有交点;(2)直线和圆相切(d＝r,即直线和圆只有一个交点;(3)直线和圆相交(d36.圆的切线(1)定义:和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线;
(2)切线的判定定理;经过半径的外端切垂直于这条半径的直线是圆的切线;
(3)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径; (4)切线长的定义:在经过圆外一点的切线上,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长;
(5)切线长的性质:从圆外一点引圆的两条切线,她们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角; (6)三角形的内切圆: 与三角形各边都相切的圆;内切圆的圆心叫三角形的内心,内心是这个三角形三条角平分线的交点.
37.两圆的位置关系:设R, r 为两圆的半径,d为圆心距.
(1)两圆外离(d>R+r,即两圆没有公共点;
(2)两圆外切(d＝R+r ,即两圆只有一个公共点;
(3)两圆相交(R-r (4)两圆内切(d＝R-r(R>r),即两圆只有一个公共点;
(5)两圆内含(d< R-r(R>r),即两圆没有公共点.
38.两圆相切时,切点一定在连心线上;两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦.
39.圆中有关计算公式(1)C＝2∏R(C是周长,R是半径);S＝∏R2(S是圆面积)
(2)在半径为R,圆心角为n。弧长l＝;S扇＝·∏R2＝l·R
(3)圆锥的母线长为l,底面圆半径为r ,则S圆锥侧＝·2∏r·l＝∏rl
①圆锥的侧面展开图是扇形;②圆柱的侧面展开是矩形.
40.轴对称和轴对称图形:(1)轴对称的定义:把一个图形沿着某条直线对折后能与另一个图形重合,我们就说这两个图形关于这条直线成轴对称.
(2)轴对称图形:把一个图形沿着某条直线对折后,能与本身重合的图形叫轴对称图形; (3)轴对称的性质: ①成轴对称的两个图形是全等形; ②成轴对称的对应点连线段被对称轴垂直平分;③成轴对称的对应点线段的交点在对称轴上.
41.中心对称和中心对称图形:(1)中心对称的定义:把一个图形绕着一点旋转180。后,能与另一个图形重合,我们就说这两个图形关于这一点成中心对称;
(2)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180。，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心;
(3)中心对称图形的性质：①成中心对称的两个图形是全等形; ②中心对称图的对应点连线都经过对称中心,且都被对称中心平分。
42.平移: (1)定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 (2)平移的性质：①平移后的图形与原来的图形是全等形; ②经过平移，对应点所连的线段平行且相等。③平移后对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等,其线段的长度就是平移的距离,从原图形上的点到 平移后图形上的对应点射线的方向,就是平移的方向.
(3)图形平移的主要因素是平移距离和平移方向.
43. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 旋转的性质：（1）旋转后的图形与原来图形是全等形；对应线段相等；对应角相等；（2）
对应点到旋转中心的距离相等，每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度；（3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
44．比例：（1）若＝，则b叫做a 与c的比例中项；
（2）若＝,则线段a,b,c,d叫做成比例线段；
（3）若＝，则＝；若＝＝…＝＝k（b+d+…+f≠0）,则＝＝k.
45.相似：相似三角形：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形。△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF 。 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（1）三角形相似判定方法：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；④平行与三角形以边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）性质：①相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比；②若两个多边形相似，则对应边成比例，对应角相等，所有对应线段的比等于相似比。
46.位似：两个多边形相似，且对应点的连线交于一点，像这样的相似叫做位似，这两个图形叫位似图形，而对应顶点连线的交点叫做位似中心。
位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
47.黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比。AC ＝AB AC：AB＝：1 ≈0.618：1。
48.投影：（1）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如太阳光线的投影。
（2）中心投影：由同一点发出的光线形成的投影是中心投影，如路灯，手电筒的光线的投影。
（3）平行投影的物高与影长成正比，而中心投影不具有这个性质。
49.视图：（1）主视图：从正面看到的图形；
（2）俯视图：从上面看到的图形；（3）左视图：从左面看到的图形。
二．常见证明方法：
1证明线段相等：（1） 利用全等三角形：要证的两线段是全等三角形的对应边。（2） 利用平行四边形：证两线是平行四边形的对边，或是对角线被交点分成的两线段相等。（3） 利用等腰三角形，证明两线是同一三角形两等角所对的边。（4） 利用三角形一边的平行线平分另一边： 证明两线是经过三角形一边中点平行于另一边的直线分第三边所成的两线段。（5） 利用第三线搭桥，要证A=B，可改证A=M，B=M，从而有A=B。（6） 利用已知的等线转换：可由等线的同倍或同份相等或等线的和与差相等，化得求证的两线段相等。（7） 利用圆中的等量：证两线是同圆或等圆所对的弦或圆心等距的两弦或圆外一点到圆上的切线，垂直于直径的弦被直径平分的两线段。（8 利用比例：证两线段是两前项（或两后项）相等的比例中的两后项（两前项）。（9） 利用直角三角形中的等量：证两线段是直角三角形斜边中点与三个顶点的距离。（10） 利用中垂线和角平分线的性质：证两线是线段垂直平分线上点到线段两端的距离或是角平分线上的点但角的两边的距离。（11） 利用反证法：假设两线不相等，在此基础上进行推理、论证，产生矛盾，从而达到证明的目的。（12）利用同一法：在图形中先作作两条相等的线段，然后证明所作的线段与题目要证的线段重合。（13） 利用正弦定理：若题目所证的两线在同一个三角形或两个三角形中，可利用正弦定理证明。
2．角相等的方法：
（1）对顶角相等?
（2）平行线间内错角相等，同位角相等
（3）如果一个角的两边与另一角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
（4）同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等；平行四边形的对角相等.
（5）全等或相似图形的对应角；平行线同位角内错角相等；等腰三角形两底角相等.等腰梯形底角相等；平行四边形棱形等的对角相等；同名三角函数值相等的角可能相等或互补.
（6）等腰三角形的两底角相等。
（7）角平分线的判定。
初中几何常见辅助线作法歌诀汇编[转]
人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

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