资源简介

2023~2024学年上学期期中考试
高二数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：选择性必修一第一章至第三章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知分别是椭圆的左、右焦点，若是椭圆上一点，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离
6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若动点与两定点的距离之比为，则动点所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
10．下列圆中与圆相切的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则（ ）
A． B．是等边三角形
C．的面积为 D．抛物线的方程为
12．如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ）
A．
B．与所成角的余弦值是
C．点到平面的距离为
D．过点的平面截四棱锥的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知空间向量，且与垂直，则等于_______．
14．若直线与直线平行，则与之间的距离为_______．
15．已知抛物线的焦点为，准线为．若与焦距为的双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为坐标原点），则双曲线的实轴长为_______．
16．已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知的顶点．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，．
（1）求与所成角的大小；
（2）求与平面所成角的正弦值．
19．（12分）
已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．
（1）求此双曲线的方程；
（2）若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，试求直线的方程．
20．（12分）
在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上．
（1）求圆的方程；
（2）直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求实数的值．
21．（12分）
在直三棱柱中，，点是线段上靠近点的三等分点．
（1）求的长；
（2）求二面角的正弦值．
22．（12分）
已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
（1）求点的轨迹．
（2）设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，线段与轨迹交于点，求四边形的面积．
2023~2024学年上学期期中考试·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 点关于轴对称的点的坐标是．
2．C 由椭圆的定义知，所以．
3．B由 点，可得直线的斜率为，因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以．
4．A 因为，所以，所以．
5．C 由直线，得，所以直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆相交或相切．
6．D 依题意，设，又动点与两定点的距离之比为，即，所以，整理可得，即，所以动点所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的方程为，其圆心为．
7．B 如图，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，，取，
，则，所以点到直线的距离为．
8．C 因为，所以，即，又，所以，代入双曲线化简得，所以．
9．AC 若直线在两坐标轴上的截距均为0，则直线的方程为，A正确；若直线在两坐标轴上的截距不为0，可设直线的方程为，将代入方程得，则直线的方程为，C正确．
10．AB 由题知，圆的圆心为，半径为5．
A选项，的圆心为，半径为2，故，由于，所以圆与内切，A正确；
B选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与外切，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，故，由于，故圆与不相切，C错误；
D选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与不相切，D错误．
11．ABD 由抛物线定义知，又，所以为正三角形，由面积为知边长为4，则，抛物线的方程为面积为．
12．AC 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，所以，A正确；
，则与所成角的余弦值为，故B错误；
，设平面的法向量为，则可取，则点到平面的距离为，故C正确；
设过点的平面与线段的交点为，则，因为共面，则共面，故存在唯一实数对使得，即，所以，解得，所以，则，因为，所以，所以过点的平面截四棱锥的截面面积为，故D错误．
13． 因为，且与垂直，所以，解得．
14． 由题意直线与直线平行，所以与之间的距离．
15．4 在双曲线的渐近线上，所以．
16． 由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以．设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为．点的轨迹是以为圆心半径为的圆．设点到直线的距离分别为，所以，，所以．因为点到直线的距离为，所以，即，所以．
17．解：（1）因为直线的斜率，所以所在直线的斜率，
则所求直线方程为，即
所以边上的高所在直线的方程为．
（2）因为线段的中点，
所以边上的中线所在直线的斜率，
则所求直线方程为，即
所以边上的中线所在直线的方程为．
18．解：（1）易知，又底面底面，，
故以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，
所以，即与所成角的大小为．
（用证明平面得参照给分）
（2）由（1）知．
设平面的一个法向量为，则
取，则．
所以是平面的一个法向量．
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
19．解：（1）令，
因为，所以，所以，所以，
由得，
所以双曲线的方程为．
（2）由，知过点，且斜率存在，
设的方程为，代入得．
由题知且，
设，
因为，所以，即．
此时．
，
所以，所以，
所以的方程为．
20．解：（1）可设圆心，由已知得，
从而有，解得：．
于是圆的圆心，半径．
所以圆的方程为．
（2）设，
联立直线与圆的方程，，消去，得，
所以，由解得，
，
所以
，
解得或，故实数的值为0或．
21．解：（1）因为直棱柱的性质可知，
又，故如图，以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
则是上靠近点的三等分点，，
所以，即长为．
（2）由（1）知，
设平面的一个法向量为，则
令，得平面的一个法向量为，
又平面，平面的一个法向量为，
所以，
故二面角的正弦值为．
22．解：（1）设点到直线的距离为，依题意，，
于是，化简得，即．
所以点的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆．
（2）设，又，则．
由，可得，
则四边形面积为．
当直线斜率为0时，易知，又，则．
根据对称性不妨取，由得
则，得此时；
当直线斜率不为0时，设的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有：
消去得：．
，
由韦达定理，有．
所以
，
代入可得，解得，
，
又原点到直线距离为，则此时．
综上可得，，四边形面积为．

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