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2024年秋季学期期中学情调研卷
九年级 数学
（考试用时：120分钟，满分：120分）
注意事项：
1.试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效.
2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.
3.考试结束后，只需将答题卡交回即可.
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1.下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A.1，2，3，4 B.1，2，3，6 C.2，3，4，5 D.1，3，5，10
5.下列四组图形中一定相似的是（ ）
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形
C.等边三角形与等边三角形 D.矩形与矩形
6.解方程的结果为（ ）
A. B. C.， D.，
7.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A.2，5， B.5，2，6 C.2，5，6 D.5，2，
8.已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D..
9.已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ）
A. B. C. D.
10.如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m.
A.3.4 B.5.1 C.6.8 D.8.5
11.2024龙年春晚主题为“龙行鸝（dá），欣欣家国”，“鸝”这个字引发一波热门关注.据记载，“鸝”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行麤疆”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈.某服装店购进一款印有“麤”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（ ）
A.20% B.22% C.25% D.26%
12.对于函数，规定，例如，若，则有.已知函数，那么方程的解的情况是（ ）
A.有一个实数根 B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13.如图，反比例函数的图象经过点，则______.
14.若，，，则______.
15.两个相似三角形的相似比为，则它们的周长比为______.
16.若一元二次方程两根分别为，，则______.
17.写出一个根为，另一个根为的一元二次方程为：______.
18.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点是AB的黄金分割点（），如果AB的长为，那么AP的长为______cm.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（6分）计算：
20.（6分）解方程：
21.（10分）如图，已知，，.
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长.
22.（10分）如图，在的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点和的顶点均为格点.
（1）以为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，的边上任意一点的对应点为点，直接写出点，点的坐标.
23.（10分）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直到木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况.实验数据记录如下：
… 4 6 8 10 12 …
… 12 8 6 4.8 4 …
（1）把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当弹簧秤的示数为5N时，弹簧秤与点的距离是多少？随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？
24.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，交轴于点，交轴于点，连接AO，BO.
（1）求出反例函数的表达式及点的坐标；
（2）直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的自变量的取值范围；
（3）求的面积.
25.（10分）综合与实践
【问题情境】直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元.当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个.通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个.
【数学思考】（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出____________个水杯，月销售利润是______元.
（2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出______个水杯（用含的代数式表示）.
26.（10分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，下面分别对这块材料进行课题探究：
课本再现：
图1 图2 图3 图4
（1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件, 使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是______mm？
【类比探究】
（2）如图2，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高AD与边BC的数量关系，并说明理由.
【拓展延伸】
（3）①如图3，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为______（直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的个相同大小的正方形零件，则的值为______（直接写出结果）.

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