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第6练　函数的概念及表示
一、单项选择题
1．(★)下列各式为y关于x的函数的是(　　)
A．|y|＝x－(x－3) B．y＝＋
C．y＝ D．y＝
2．(★)(2023·嘉兴模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
3．(★)(2024·常州模拟)若f(sin θ)＝3－cos 2θ，则f(cos θ)等于(　　)
A．3＋cos 2θ B．3－cos 2θ
C．3－sin θ D．3＋cos θ
4．(★★)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(x)＋2f ＝5x＋，则f(x)的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．2
5．(★★)(2023·深圳模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则f(a＋1)等于(　　)
A．－1 B．－ C．0 D．1
6．(★★)已知函数f(x)＝，g(x)＝x＋(x>0)，则y＝f(g(x))的值域为(　　)
A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B．[5，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(2,5]
二、多项选择题
7．(★)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
8．(★★)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[1,2]，则下列四个函数中值域也为[1,2]的函数是(　　)
A．y＝2f(x)－1
B．y＝f(2x－1)
C．y＝2f(x)－1
D．y＝log2f(x＋1)＋1
9．(★★)(2023·锦州模拟)存在函数f(x)，对任意x∈R都有f(g(x))＝x，则函数g(x)不可能为(　　)
A．cos x B.
C．x3－x D．ex－e－x
10．(★★)(2024·长沙模拟)如图所示，函数f(x)的图象由两条线段组成，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．f(2)>f(0)
B．f(f(1))＝3
C．f(x)＝2|x－1|－x＋1，x∈[0,4]
D． a>0，不等式f(x)≤a的解集为
三、填空题
11．(★★)(2023·郑州模拟)若min{a，b}＝则函数f(x)＝min{－x2，－2x－3}的最大值为________．
12．(★★★)(2023·郴州模拟)设函数h(x)的定义域为D，若满足条件：存在[a，b] D，使h(x)在[a，b]上的值域为[2a,2b]，则称h(x)为“倍胀函数”．若函数f(x)＝ln x＋t为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________________．
第6练　函数的概念及表示（解析版）
一、单项选择题
1．(★)下列各式为y关于x的函数的是(　　)
A．|y|＝x－(x－3) B．y＝＋
C．y＝ D．y＝
答案　C
解析　A项，|y|＝x－(x－3)＝3，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；
B项，y＝＋，定义域为无解，所以不是函数，B项错误；
C项，y＝定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；
D项，y＝当x＝1时，y有两个值0,1与之对应，所以不是函数，D项错误．
2．(★)(2023·嘉兴模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案　B
解析　由题意得x满足即 解得－13．(★)(2024·常州模拟)若f(sin θ)＝3－cos 2θ，则f(cos θ)等于(　　)
A．3＋cos 2θ B．3－cos 2θ
C．3－sin θ D．3＋cos θ
答案　A
解析　由f(sin θ)＝3－cos 2θ＝3－(1－2sin2θ)＝2＋2sin2θ，
令t＝sin θ∈[－1,1]，则f(t)＝2＋2t2，
所以对于t＝cos θ，即f(cos θ)＝2＋2cos2θ＝3＋cos 2θ.
4．(★★)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(x)＋2f ＝5x＋，则f(x)的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．2
答案　D
解析　因为f(x)＋2f ＝5x＋，①
所以f ＋2f(x)＝＋4x，②
由②×2－①得3f(x)＝3x＋，
所以f(x)＝x＋≥2＝2，x∈(0，＋∞)，
当且仅当x＝，即x＝时取等号，
所以f(x)的最小值为2.
5．(★★)(2023·深圳模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则f(a＋1)等于(　　)
A．－1 B．－ C．0 D．1
答案　C
解析　∵f(x)＝f(a)＝1，
∴当a<0时，a－1＝1，解得a＝－1；
当a≥0时，－log2(a＋1)＝1，解得a＋1＝，即a＝－(舍去)，
∴f(a＋1)＝f(0)＝－log21＝0.
6．(★★)已知函数f(x)＝，g(x)＝x＋(x>0)，则y＝f(g(x))的值域为(　　)
A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B．[5，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(2,5]
答案　D
解析　对于函数g(x)＝x＋(x>0)，x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以g(x)≥2.
令t＝g(x)≥2，则y＝f(g(x))＝f(t)＝＝＝2＋，
由于t≥2时，y＝f(t)单调递减，所以y＝f(t)∈(2,5]，
也即y＝f(g(x))的值域为(2,5]．
二、多项选择题
7．(★)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案　AC
解析　对于A，两个函数的定义域、对应关系都相同，是同一个函数；
对于B，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于C，两个函数的定义域都是R，都可以化为y＝|x|，对应关系也相同，是同一个函数；
对于D，f(x)的定义域为(－∞，0]，g(x)的定义域为(－∞，0]，但f(x)＝＝|x|＝－x，两个函数的对应关系不同，不是同一个函数．
8．(★★)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[1,2]，则下列四个函数中值域也为[1,2]的函数是(　　)
A．y＝2f(x)－1
B．y＝f(2x－1)
C．y＝2f(x)－1
D．y＝log2f(x＋1)＋1
答案　BCD
解析　对于A，因为1≤f(x)≤2，则y＝2f(x)－1∈[1,3]，A不满足条件；
对于B，对于函数y＝f(2x－1)，2x－1∈R，则函数y＝f(2x－1)的值域为[1,2]，B满足条件；
对于C，因为1≤f(x)≤2，则y＝2f(x)－1∈[1,2]，C满足条件；
对于D，因为1≤f(x)≤2，f(x＋1)∈[1,2]，则y＝log2f(x＋1)＋1∈[1,2]，D满足条件．
9．(★★)(2023·锦州模拟)存在函数f(x)，对任意x∈R都有f(g(x))＝x，则函数g(x)不可能为(　　)
A．cos x B.
C．x3－x D．ex－e－x
答案　AC
解析　对于A选项，y＝x是奇函数，g(x)＝cos x是偶函数，则f(g(－x))＝f(g(x))＝x，矛盾，A不满足条件；
对于B选项，g(x)＝所以f(x)＝故g(x)＝B满足条件；
对于C选项，取x＝0和x＝1，可得f(0)＝0，f(0)＝1，矛盾，C不满足条件；
对于D选项，g(x)＝ex－e－x，则f(ex－e－x)＝x，y＝ex－e－x单调递增，
且g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，即g(x)为奇函数，图象如图所示，
所以值域为R，D满足条件．
10．(★★)(2024·长沙模拟)如图所示，函数f(x)的图象由两条线段组成，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．f(2)>f(0)
B．f(f(1))＝3
C．f(x)＝2|x－1|－x＋1，x∈[0,4]
D． a>0，不等式f(x)≤a的解集为
答案　BC
解析　由函数f(x)的图象是由两条线段组成可知，函数f(x)为分段函数，且过点(0,3)，(1,0)，(4,3)，
当0≤x<1时，
设f(x)＝kx＋b，
代入(0,3)，(1,0)得所以
得f(x)＝－3x＋3，
当1≤x≤4时，设f(x)＝mx＋n，代入(1,0)，(4,3)，
得所以故f(x)＝x－1，
故f(x)＝
f(2)＝1f(f(1))＝f(0)＝3，故B正确；
因为f(x)＝2|x－1|－x＋1，x∈[0,4]，
所以当0≤x<1时，f(x)＝2|x－1|－x＋1＝2(1－x)－x＋1＝－3x＋3，
当1≤x≤4时，f(x)＝2|x－1|－x＋1＝2(x－1)－x＋1＝x－1，故C正确；
由函数图象知，若a>0时，f(x)≤a的解集为，则f ＝f(2)＝a，因为f ＝2，f(2)＝1，故D错误．
三、填空题
11．(★★)(2023·郑州模拟)若min{a，b}＝则函数f(x)＝min{－x2，－2x－3}的最大值为________．
答案　－1
解析　当－x2>－2x－3，即－1函数f(x)＝min＝－2x－3，
有f(x)当－x2≤－2x－3，即x≤－1或x≥3时，
函数f(x)＝min＝－x2，
其最大值为f(－1)＝－1.
综上可知，函数f(x)的最大值为－1.
12．(★★★)(2023·郴州模拟)设函数h(x)的定义域为D，若满足条件：存在[a，b] D，使h(x)在[a，b]上的值域为[2a,2b]，则称h(x)为“倍胀函数”．若函数f(x)＝ln x＋t为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________________．
答案　(1＋ln 2，＋∞)
解析　因为函数f(x)＝ln x＋t为“倍胀函数”，且定义域为(0，＋∞)，
所以存在[a，b] (0，＋∞)，
使f(x)在[a，b]上的值域为[2a,2b]．
因为f(x)为增函数，所以
所以方程ln x－2x＋t＝0有两个不等的实数根．
令g(x)＝ln x－2x＋t(x>0)，
则g′(x)＝－2，令g′(x)＝－2＝0，
解得x＝.
易知g(x)在上单调递增，
在上单调递减，
所以g(x)max＝g＝ln －1＋t＝t－1－ln 2.
易知当x→0时，g(x)→－∞，
当x→＋∞时，g(x)→－∞，
所以要使方程ln x－2x＋t＝0有两个不等的实数根，只需t－1－ln 2>0，得t>1＋ln 2，
所以t的取值范围为(1＋ln 2，＋∞)．第7练　函数的单调性与最值
一、单项选择题
1．(★)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是(　　)
A．单调递增区间是(0，＋∞)
B．单调递减区间是(－∞，－1)
C．单调递增区间是(－∞，－1)
D．单调递增区间是(－1,1)
2．(★)已知函数f(x)定义域为R，对f(x)定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0恒成立，设a＝f ，b＝f(e)，c＝f(20.5)，则(　　)
A．bC．b3．(★)(2023·衡水模拟)函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－2，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
4．(★)(2023·西安模拟)若函数f(x)＝＋在区间[a，b]上的值域为(b>a≥1)，则b－a等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
5．(★★)(2024·济南模拟)已知函数f(x)＝若f(3m)>f(9－2m)，则m的取值范围为(　　)
A．m>9 B．m<9
C．m> D．m<
6．(★★)(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
二、多项选择题
7．(★)(2023·东营模拟)已知函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)
C．f(x)的值域为R
D．当x∈(－2,2)时，f(x)有最大值
8．(★)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝在R上存在最小值，则实数m的取值可能为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
9．(★★)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)＝若f(x＋a)≥f(x)恒成立，则实数a的取值可以是(　　)
A．2 B．－3 C．－ D．－1
10．(★★★)(2023·徐州模拟)若函数f(x)在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称f(x)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是(　　)
A．若f(x)＝x2，则不存在区间M使f(x)为“弱增函数”
B．若f(x)＝x＋，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”
C．若f(x)＝x3＋x，则f(x)为R上的“弱增函数”
D．若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0,2]上是“弱增函数”，则a＝4
三、填空题
11．(★★)(2024·青岛模拟)设a∈R，函数f(x)＝若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围为__________．
12．(★★★)(2023·济南模拟)已知f(x)＝g(x)＝ax＋1，若任意的x1∈[2,4]，存在x2∈[－2,1]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数a的取值范围为______________．
第7练　函数的单调性与最值（解析版）
一、单项选择题
1．(★)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是(　　)
A．单调递增区间是(0，＋∞)
B．单调递减区间是(－∞，－1)
C．单调递增区间是(－∞，－1)
D．单调递增区间是(－1,1)
答案　D
解析　因为函数f(x)＝－x|x|＋2x＝作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
2．(★)已知函数f(x)定义域为R，对f(x)定义域内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0恒成立，设a＝f ，b＝f(e)，c＝f(20.5)，则(　　)
A．bC．b答案　D
解析　由[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0可得函数f(x)在R上是增函数，
因为ln <0<20.5<23．(★)(2023·衡水模拟)函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－2，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
答案　B
解析　当a＝0时，f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，舍去；
当a≠0时，f(x)＝＝＝a＋，
因为y＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，所以1－2a<0，即a>.
4．(★)(2023·西安模拟)若函数f(x)＝＋在区间[a，b]上的值域为(b>a≥1)，则b－a等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　A
解析　函数f(x)＝＋在其定义域上为增函数，故f(a)＝＋＝ a＝1或a＝5，同理b＝1或b＝5，
∵b>a≥1，
∴a＝1，b＝5，故b－a＝4.
5．(★★)(2024·济南模拟)已知函数f(x)＝若f(3m)>f(9－2m)，则m的取值范围为(　　)
A．m>9 B．m<9
C．m> D．m<
答案　C
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知，f(x)在R上为增函数，
由f(3m)>f(9－2m)可得3m>9－2m，解得m>.
6．(★★)(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
答案　D
解析　方法一　不妨设1≤x13(x1－x2)恒成立，即f(x1)－3x1>f(x2)－3x2恒成立．
令g(x)＝f(x)－3x＝ax2－2x－3，
则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减．
当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意；
当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，
则解得a<0.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．
方法二　因为<3，
所以<3，
即<3，
即a(x1＋x2)<2，
又因为x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，则x1＋x2>2，
令x1＋x2＝t，即t∈(2，＋∞)，即at<2，即a<，
令函数h(t)＝，t∈(2，＋∞)，
由h(t)的图象(图略)可知，h(t)∈(0,1)，
因为a所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]．
二、多项选择题
7．(★)(2023·东营模拟)已知函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)
C．f(x)的值域为R
D．当x∈(－2,2)时，f(x)有最大值
答案　AD
解析　对于A，函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，
且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，当x∈(－∞，－2)∪(－2,0)时，f(x)＝＝－，
当x∈[0,2)∪(2，＋∞)时，f(x)＝＝，
所以f(x)的单调递减区间为[0,2)和(2，＋∞)，故B错误；
对于C，由函数解析式可得f(x)≠0，故C错误；
对于D，当x∈(－2,0)时，f(x)＝－为增函数，f(x)＜f(0)＝－，
当x∈[0,2)时，f(x)＝为减函数，f(x)≤f(0)＝－，
所以当x∈(－2,2)时，f(x)的最大值为f(0)＝－，故D正确．
8．(★)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝在R上存在最小值，则实数m的取值可能为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　AB
解析　当x≤1时，函数f(x)＝log3(10－x)单调递减，所以对 x≤1，f(x)≥f(1)＝2，
当x>1时，f(x)＝2x－m单调递增，所以对 x>1，f(x)>2－m，
因为函数f(x)在R上存在最小值，则2－m≥2，解得m≤0，
所以实数m的可能取值为－1,0.
9．(★★)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)＝若f(x＋a)≥f(x)恒成立，则实数a的取值可以是(　　)
A．2 B．－3 C．－ D．－1
答案　BC
解析　函数图象如图所示，
当a≥0时，x＋a≥x，当x>2时，函数单调递减，有f(x＋a)≤f(x)，显然f(x＋a)≥f(x)不恒成立；当a<0时，f(0)＝f(2)＝1，f(1)＝f(2.5)＝0，f(x＋a)的图象可看作是由f(x)的图象向右平移－a个单位长度得到的，要使f(x＋a)≥f(x)恒成立，即f(x＋a)的图象一直在f(x)图象的非下方，通过平移可发现，只需－a≥2 a≤－2，显然选项B，C符合．
10．(★★★)(2023·徐州模拟)若函数f(x)在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称f(x)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是(　　)
A．若f(x)＝x2，则不存在区间M使f(x)为“弱增函数”
B．若f(x)＝x＋，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”
C．若f(x)＝x3＋x，则f(x)为R上的“弱增函数”
D．若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0,2]上是“弱增函数”，则a＝4
答案　ABD
解析　对于A，f(x)＝x2在[0，＋∞)上为增函数，y＝＝x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使f(x)＝x2为“弱增函数”，A正确；
对于B，由对勾函数的性质可知f(x)＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，y＝＝1＋x－2，由幂函数的性质可知，y＝＝1＋x－2在[1，＋∞)上为减函数，故存在区间M＝[1，＋∞)使f(x)＝x＋为“弱增函数”，B正确；
对于C，f(x)＝x3＋x为奇函数，且x≥0时，f(x)＝x3＋x为增函数，由奇函数的对称性可知f(x)＝x3＋x为R上的增函数，y＝＝x2＋1为偶函数，其在x≥0时为增函数，在x<0时为减函数，故f(x)＝x3＋x不是R上的“弱增函数”，C错误；
对于D，若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0,2]上是“弱增函数”，则f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在(0,2]上为增函数，所以－≤0，解得a≤4，又y＝＝x＋(4－a)＋在(0,2]上为减函数，由对勾函数的单调性可知，≥2，则a≥4，综上a＝4.故D正确．
三、填空题
11．(★★)(2024·青岛模拟)设a∈R，函数f(x)＝若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围为__________．
答案　[1,2]
解析　当x>1时，x＋－3a≥2－3a＝8－3a，
当且仅当x＝时，即x＝4时等号成立，
即当x>1时，函数f(x)的最小值为8－3a；
当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋5＝(x－a)2＋5－a2，
要使得函数f(x)的最小值为f(1)，则满足解得1≤a≤2，
即实数a的取值范围是[1,2]．
12．(★★★)(2023·济南模拟)已知f(x)＝g(x)＝ax＋1，若任意的x1∈[2,4]，存在x2∈[－2,1]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数a的取值范围为______________．
答案　∪
解析　当x∈[2,4]时，f(x)＝
可知f(x)在[2,3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，
所以f(x)在[2,3]上的值域为[3,4]，在(3,4]上的值域为，
所以f(x)在[2,4]上的值域为，
当a>0时，g(x)为增函数，g(x)＝ax＋1在[－2,1]上的值域为[－2a＋1，a＋1]，
所以解得a≥，
当a<0时，g(x)为减函数，g(x)＝ax＋1在[－2,1]上的值域为[a＋1，－2a＋1]，所以解得a≤－，
当a＝0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意；
综上，a的取值范围是∪.第8练　函数的奇偶性、对称性与周期性
一、单项选择题
1．(★)(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝x3＋x－1，若f(lg m)＝，则f 等于(　　)
A．－1 B．－ C．－ D．－
2．(★)(2023·襄阳模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(－3)＝0，则不等式f(x－1)>0的解集为(　　)
A．(－3,3)
B．(－∞，－2)∪(1,4)
C．(－∞，－4)∪(－1,2)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
3．(★★)(2023·南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减，设a＝f(2)，b＝f ，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c4．(★★)(2024·宜春模拟)函数f(x)＝ex＋4－e－x(e是自然对数的底数)的图象关于(　　)
A．直线x＝－e对称 B．点(－e,0)对称
C．直线x＝－2对称 D．点(－2,0)对称
5．(★★)(2023·贵阳模拟)已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x－1，则f(2 024)等于(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
6．(★★)(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则使不等式f(x＋1)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
二、多项选择题
7．(★)下列函数中，为奇函数的是(　　)
A．y＝2x－2－x
B．y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)
C．y＝
D．y＝ln
8．(★★)(2024·福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(2,3)时，f(x)＝|2x－5|，则下列结论正确的有(　　)
A．函数f(x)的周期为2
B．函数f(x)在区间(－1,0)上单调递增
C．f(1)＝0
D．f(2 023.5)＝0
9．(★★)(2023·石家庄模拟)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
B．函数f(x)的周期为1
C．f(2 021)＝0
D．f(2 022)＝0
10．(★★★)(2023·泉州模拟)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．现已知函数f(x)＝ax＋＋a，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x＋1)－2a为奇函数
B．当a>0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增
C．若方程f(x)＝0有实根，则a∈(－∞，0)∪[1，＋∞)
D．设定义域为R的函数g(x)关于点(1,1)中心对称，若a＝，且f(x)与g(x)的图象共有2 024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2 024)，则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x2 024＋y2 024)的值为4 048
三、填空题
11．(★★)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________.
12．(★★★)(2023·潍坊模拟)已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x＋2)是偶函数，当x∈[2,3]时，f(x)＝3－x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝________.
第8练　函数的奇偶性、对称性与周期性（解析版）
一、单项选择题
1．(★)(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝x3＋x－1，若f(lg m)＝，则f 等于(　　)
A．－1 B．－ C．－ D．－
答案　D
解析　由f(x)＝x3＋x－1，可得f(－x)＋f(x)＝－2，
又f(lg m)＝，
所以f ＝f(－lg m)＝－2－＝－.
2．(★)(2023·襄阳模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(－3)＝0，则不等式f(x－1)>0的解集为(　　)
A．(－3,3)
B．(－∞，－2)∪(1,4)
C．(－∞，－4)∪(－1,2)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
答案　B
解析　根据题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
则f(x)在(－∞，0)上单调递减，
又由f(－3)＝0，则f(3)＝0，则函数f(x)的草图如图所示，
若f(x－1)>0，则有x－1<－3或0即不等式f(x－1)>0的解集为(－∞，－2)∪(1,4)．
3．(★★)(2023·南京模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减，设a＝f(2)，b＝f ，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c答案　D
解析　由f(2－x)＝f(x)，可知f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝f(2)＝f(0)，
又因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，1]上单调递增，
所以f(－1)4．(★★)(2024·宜春模拟)函数f(x)＝ex＋4－e－x(e是自然对数的底数)的图象关于(　　)
A．直线x＝－e对称 B．点(－e,0)对称
C．直线x＝－2对称 D．点(－2,0)对称
答案　D
解析　由题意f(－2e－x)＝e－x－2e＋4－e－(－2e－x)＝e－x－2e＋4－e2e＋x，它与f(x)之间没有恒等关系，相加也不为0，A，B均错，
而f(－4－x)＝e－4－x＋4－e－(－4－x)＝e－x－e4＋x＝－f(x)，所以f(x)的图象关于点(－2,0)对称．
5．(★★)(2023·贵阳模拟)已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x－1，则f(2 024)等于(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案　B
解析　根据题意，函数f(x－1)是偶函数，
则函数f(x)的对称轴为x＝－1，
又由函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，
则有f(－x)＝f(－2＋x)，f(－x)＝－f(x＋2)，
联立得f(x＋2)＝－f(－2＋x)，则f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数是周期为8的周期函数，
所以f(2 024)＝f(253×8)＝f(0)＝－1.
6．(★★)(2023·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，则使不等式f(x＋1)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案　D
解析　由|x|－1>0得f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
f(－x)＝lg(|x|－1)＋2－x＋2x＝f(x)，故f(x)为偶函数，
而y＝lg(|x|－1)，y＝2x＋在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则f(x＋1)解得x>1或x<－2.
二、多项选择题
7．(★)下列函数中，为奇函数的是(　　)
A．y＝2x－2－x
B．y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)
C．y＝
D．y＝ln
答案　ACD
解析　对于A，设f(x)＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝－f(x)，为奇函数；
对于B，y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)，定义域为(1，＋∞)，所以为非奇非偶函数；
对于C，作出函数的图象，如图实线部分所示，
根据图象可知，为奇函数；
对于D，设f(x)＝ln，定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
8．(★★)(2024·福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈(2,3)时，f(x)＝|2x－5|，则下列结论正确的有(　　)
A．函数f(x)的周期为2
B．函数f(x)在区间(－1,0)上单调递增
C．f(1)＝0
D．f(2 023.5)＝0
答案　ACD
解析　因为函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
故函数f(x)是周期函数，周期为2，故A选项正确；
由奇函数性质得，函数f(x)在区间(－1,0)与(0,1)上的单调性相同，由函数的周期性得函数f(x)在(0,1)上的单调性与在(2,3)上的单调性相同，因为x∈(2,3)时，f(x)＝|2x－5|＝易知f(x)在(2,3)上不单调，故B选项错误；
由函数f(x)在R上的奇偶性、周期性可得f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)，联立解得f(－1)＝f(1)＝0，故C选项正确；
由函数的周期性得，f(2 023.5)＝f(1.5)＝－f(0.5)＝－f(0.5＋2)＝－f(2.5)＝0，故D选项正确．
9．(★★)(2023·石家庄模拟)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列选项一定正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
B．函数f(x)的周期为1
C．f(2 021)＝0
D．f(2 022)＝0
答案　AC
解析　∵函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数，
∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)，f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故A正确；
∵函数f(2x＋1)(x∈R)的周期为2，所以f(x)的周期为4，故B错误；
∵函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，
∴ f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝0，故C正确；
f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D错误．
10．(★★★)(2023·泉州模拟)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．现已知函数f(x)＝ax＋＋a，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x＋1)－2a为奇函数
B．当a>0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增
C．若方程f(x)＝0有实根，则a∈(－∞，0)∪[1，＋∞)
D．设定义域为R的函数g(x)关于点(1,1)中心对称，若a＝，且f(x)与g(x)的图象共有2 024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2 024)，则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x2 024＋y2 024)的值为4 048
答案　ACD
解析　对于A，因为f(x＋1)－2a＝a(x＋1)＋＋a－2a＝ax＋，所以y＝ax＋是奇函数，故A正确；
对于B，因为f ＝a＋2，f(2)＝3a＋1，所以f －f(2)＝1－，当0对于C，令f(x)＝ax＋＋a＝0，显然x≠－1，所以a＝，因为1－x2∈(－∞，0)∪(0,1]，所以∈(－∞，0)∪[1，＋∞)，故C正确；
对于D，由A可知，当a＝时，f(x)关于点(1,1)中心对称，且g(x)关于点(1,1)中心对称，所以这2 024个交点关于点(1,1)对称，故(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x2 024＋y2 024)＝(x1＋x2＋…＋x2 024)＋(y1＋y2＋…＋y2 024)＝2 024＋2 024＝4 048，故D正确．
三、填空题
11．(★★)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________.
答案　2
解析　∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin
＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，
且函数f(x)为偶函数，
∴a－2＝0，解得a＝2.
经验证，当a＝2时满足题意．
12．(★★★)(2023·潍坊模拟)已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x＋2)是偶函数，当x∈[2,3]时，f(x)＝3－x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝________.
答案　0
解析　函数f(x＋1)是奇函数，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，即f(2－x)＝－f(x)，函数f(x＋2)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，即f(4－x)＝f(x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)，从而f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
由已知f(2)＝1，f(3)＝0，则f(1)＝f(3)＝0，f(0)＝－f(2)＝－1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋…＋[f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)]＝0.第9练　函数性质的综合应用
一、单项选择题
1．(★)已知偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时， f(x)＝，则f(x－1)<的解集为(　　)
A．(0,2)
B.
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D.∪
2．(★★)(2023·东北三省三校联考)定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(－x＋2)，当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋log35x，则f 等于(　　)
A. B．－ C. D．0
3．(★★★)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)等于(　　)
A．－3 B．－2 C．0 D．1
4．(★★★)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)等于(　　)
A．－21 B．－22 C．－23 D．－24
二、多项选择题
5．(★★)(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝2sin x，下列结论正确的有(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的值域为
D．f(x)在区间上单调递增
6．(★★★)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f ，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
三、填空题
7．(★★)(2024·杭州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(1－x)＝f(x)，且f(x)在上单调递减，则关于x的不等式f(x＋1)>f(2－3x)的解集为______________．
8．(★★★)(2023·广安模拟)已知函数f(x)是定义域为R且周期为4的奇函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝－x2＋2x，g(x)＝f(x)＋f(x＋1)，则g(x)的最大值为__________．
第9练　函数性质的综合应用（解析版）
一、单项选择题
1．(★)已知偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时， f(x)＝，则f(x－1)<的解集为(　　)
A．(0,2)
B.
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D.∪
答案　C
解析　当x∈[0，＋∞)时，
f(x)＝＝＝－1，
当x增大时，减小，－1减小，
故f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
因为f(x)是偶函数，
所以f(x－1)＝f(|x－1|)<＝f(1)，
所以|x－1|>1，
解得x>2或x<0.
2．(★★)(2023·东北三省三校联考)定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(－x＋2)，当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋log35x，则f 等于(　　)
A. B．－ C. D．0
答案　A
解析　由题意得f(x)＝－f(－x)，因为f(x)＝f(－x＋2)，所以－f(－x)＝f(－x＋2)，即－f(x)＝f(x＋2)，从而可得f(x)＝f(x＋4)，因此函数f(x)的周期为4，
所以f ＝f
＝f ＝f ＝＋log3
＝＋1＝.
3．(★★★)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)等于(　　)
A．－3 B．－2 C．0 D．1
答案　A
解析　因为f(1)＝1，
所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)．②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，
故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，
得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，
f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知，f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.
4．(★★★)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)等于(　　)
A．－21 B．－22 C．－23 D．－24
答案　D
解析　由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，
可得g(2＋x)＝g(2－x)．
在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，
可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，
可得f(－x)＝f(x)．
在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，
代入f(x)＋g(2－x)＝5中，
得f(x)＋f(－x－2)＝－2，
可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，
所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，
所以f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．
由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，
又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，
又f(x)＋f(x＋2)＝－2，
所以f(0)＋f(2)＝－2，
f(－1)＋f(1)＝－2，
得f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，
又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，
所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
二、多项选择题
5．(★★)(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝2sin x，下列结论正确的有(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的值域为
D．f(x)在区间上单调递增
答案　AD
解析　对于A，因为f(x＋2kπ)＝2sin(x＋2kπ)＝2sin x＝f(x)(k∈Z)，
所以f(x)是周期函数，所以A正确；
对于B，因为f(－x)＝2sin(－x)＝2－sin x＝≠－f(x)，
所以f(x)不是奇函数，所以f(x)的图象不关于原点对称，所以B错误；
对于C，因为－1≤sin x≤1，所以2－1≤2sin x≤21，即≤f(x)≤2，所以函数f(x)的值域为，所以C错误；
对于D，令t＝sin x，则y＝2t，因为t＝sin x在上单调递增，y＝2t在R上单调递增，所以f(x)在区间上单调递增，所以D正确．
6．(★★★)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f ，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
答案　BC
解析　方法一　(转化法)因为f ，g(2＋x)均为偶函数，
所以f ＝f ，
即f ＝f ，
g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，
则f(－1)＝f(4)，故C正确；
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导，
所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，
所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
所以g＝g＝0，
g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A错误．
方法二　(特例法)因为f ，g(2＋x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称．取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A；
取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，则f′(x)＝πcos πx，即g(x)＝πcos πx，所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π，g(2)＝πcos 2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.故选BC.
三、填空题
7．(★★)(2024·杭州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(1－x)＝f(x)，且f(x)在上单调递减，则关于x的不等式f(x＋1)>f(2－3x)的解集为______________．
答案　∪(1，＋∞)
解析　因为f(1－x)＝f(x)，
f ＝f ＝f ，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
又f(x)在上单调递减，
所以f(x)在上单调递增，作出f(x)的大致图象，如图，
结合草图可知，要使f(x＋1)>f(2－3x)，则(x＋1)到的距离小于(2－3x)到的距离，故不等式f(x＋1)>f(2－3x)，
等价于<，两边同时平方后整理得4x2－5x＋1>0，解得x>1或x<.
8．(★★★)(2023·广安模拟)已知函数f(x)是定义域为R且周期为4的奇函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝－x2＋2x，g(x)＝f(x)＋f(x＋1)，则g(x)的最大值为__________．
答案　
解析　因为y＝f(x)是周期为4的函数，故y＝f(x＋1)也是周期为4的函数，
当x∈[0,2]时，f(x)＝－x2＋2x，
所以x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，故f(－x)＝－f(x)＝－(－x)2－2x，
得到x∈[－2,0]时，f(x)＝x2＋2x，
当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，f(x－4)＝f(x)＝(x－4)2＋2(x－4)，
得到x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8，
则当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1,0), g(x)＝f(x)＋f(x＋1)＝x2＋2x＋(x＋1)2＋2(x＋1)＝2x2＋6x＋3，
当x∈[－1,0)时，x＋1∈[0,1)，g(x)＝f(x)＋f(x＋1)＝x2＋2x＋[－(x＋1)2＋2(x＋1)]＝2x＋1，
当x∈[0,1)时，x＋1∈[1,2)，g(x)＝f(x)＋f(x＋1)＝－x2＋2x－(x＋1)2＋2(x＋1)＝－2x2＋2x＋1，
当x∈[1,2]时，x＋1∈[2,3]，g(x)＝f(x)＋f(x＋1)＝－x2＋2x＋(x＋1)2－6(x＋1)＋8＝－2x＋3，
所以g(x)＝
易知，g(x)也是周期为4的周期函数，在x＝处有最大值，
故g(x)max＝g＝.

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