资源简介

浙教版数学九年级上册期中模拟测试卷 A
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·内江）下列事件时必然事件的是(　　)
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
2．（2024·南通）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2）
C．（2，1） D．（2，﹣2）
3．（2024·临夏）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．110°
4．（2024·牡丹江）某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若，则的度数等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（2024·济宁）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
8．（2024·泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·广安）如图，在等腰三角形ABC中，，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·云南） 如图，是的直径，点、在上．若，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·宁夏）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是　 　(结果精确到0.1).
12．（2024·镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝　 　（结果保留π）．
13．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为　 　．
14．（2021九上·韶关期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是　 　．
15．（2024·德阳）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程无实数根，则.其中正确结论是　 　（请填写序号）.
16．（2024·武汉）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是　 　（填写序号）．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024·宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
18．（2023·北京）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
19．（2024·牡丹江）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为　 　．
20．（2022·攀枝花）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C.
（1）求证：；
（2）若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积.
21．（2024·武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15．
22．（2023·安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径．
（1）如图1，连接，若，求证；平分；
（2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
23．（2024·广西）课堂上， 数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出 ， 求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 取何值时， 函数 有最小值， 并写出此时的 值；
【举一反三】老师给出更多 的值， 同学们即求出对应的函数在 取何值时， 的最小值. 记录结果， 并整理成下表：
-4 -2 0 2 4
2 0 -2 -4
的最小值 -9 -3 -5 -15
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识， 观察表格， 谈谈你的发现.”甲同学： “我发现， 老师给了 值后， 我们只要取 ， 就能得到 的最小值.”
乙同学： “我发现， 的最小值随 值的变化而变化， 当 由小变大时， 的最小值先增大后减小， 所以我猜想 的最小值中存在最大值 ”
（2）请结合函数解析式 ， 解释甲同学的说法是否合理
（3）你认为乙同学的猜想是否正确 若正确， 请求出此最大值； 若不正确， 说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻，是随机事件，故A不符合题意；
B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，故B符合题意；
C、小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票，是必然事件，故C不符合题意；
D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》，是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，一定会发生的事件，叫必然事件；再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为（-1，-2），
∴向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（2，-2），
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据坐标平移的规律得新的顶点坐标.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD，如图示：
-∵∠E=35°，∠ABD=∠E，
∴∠ABD=35°.
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB=35°.
∴∠BOD=180°－2×35°=110°.
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据圆周角定理的推论求出∠B，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BOD度数即可.
4．【答案】A
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解： 从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中， 选择两名担任升旗手，分别由甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的只有1种，
∴ 甲、乙两名同学同时被选中的概率是 .
故答案为：A.
【分析】列举出所有等可能情况共6种结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的只有1种，然后利用概率公式计算即可.
5．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数经过一二四象限，
∴
∴
∵反比例函数经过一三象限，
∴
∴
∴二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系得到：进而结合二次函数的图象与系数的关系得到二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为进而即可求解.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=∠CDB=60°，
∴∠ABC=90°－∠CAB=30°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理的推论求出∠DAB和∠ACB，即可得到结论.
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD、∠EBC分别是△EBC和△ABF的一个外角，
∠EBC=∠A+∠F，∠BCD=∠E+∠EBC，
∴∠BCD=∠E+∠A+∠F，
∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，
∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，
解之：∠A=41°.
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可证得∠A+∠BCD=180°，利用三角形外角的性质可推出∠BCD=∠E+∠A+∠F，然后代入可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，由题知：OA=OO'=AO'=2
∴ 是等边三角形
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为圆心角度数，r为半径）及等边三角形面积公式（，a为等边三角形边长）是解题关键；由题知 是等边三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD和OE，如图所示，
∵三角形ABC为等腰三角形，O是AB中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
∴的长度为：.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B的度数，结合半径相等即可求出和度数，利用平行线的判定求出度数，根据弧长公式即可求出的长度.
10．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】连接，先根据圆心角与弧的关系得到，进而根据圆周角定理即可求解。
11．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵频率逐步稳定在0.900，
∴ 这种幼苗移植成活的概率是 0.900≈0.9.
故答案为：0.9.
【分析】用频率去估计概率可得出答案。
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得AB=AE=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，
∴∠ABE=∠D=60°，
∴是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴的长，
故答案为：.
【分析】根据作图步骤得AB=AE=1，然后利用平行四边形对角相等得∠ABE=∠D=60°，接下来根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，从而有∠BAE=60°，最后根据弧长的计算公式进行求解即可.
13．【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据题意将点B和点C代入二次函数解析式，进而即可得到a和b，再令y=0求出x，从而得到点A和点B的横坐标，再相减取绝对值即可求解。
14．【答案】60°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四边形OACD是菱形，
∴∠AOC=∠D，
由圆周角定理得，∠B=∠AOC，
∴∠B+2∠B=180°，
解得，∠B=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=180°，由菱形的性质可得∠AOC=∠D，由圆周角定理得∠B=∠AOC，继而求解.
15．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解析：①∵抛物线的顶点A的坐标为，
，
，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
，
当时，，
，故①正确，符合题意；
②直线是抛物线的对称轴，
，
，
，
由图象可得：当时，，
∴，即，故②正确，符合题意；
③直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为，，
则，
，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
，故③错误，不符合题意；
④如图，
关于x的一元二次方程无实数根，
，故④正确，符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】①根据抛物线的顶点坐标和开口方向可判断求解；
②根据抛物线的对称轴求出a=b，由图象可得：当x=1时，y=a+b+c＜0，把a=b代入a+b+c＜0整理即可判断求解；
③根据二次函数的性质可判断求解；
④根据抛物线与直线y=4无交点可求解.
16．【答案】②③④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
17．【答案】（1）解：40；
C组的人数为：40－4－16－12=8（名）故补全同学统计图如图所示：
（2）72
（3）解：将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D.
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）4÷10%=40（名）
故 本次共调查了40名学生，
故答案为：40.
（2），
故话剧组所对应扇形的圆心角为72度
故答案为：72.
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数，求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘本次调查中C组的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及刚好抽到1名男生与1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案.
18．【答案】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合题意即可得到，即平分，进而得到，从而得到，，然后得到是直径，再根据圆周角定理即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，进而即可得到，再根据角平分线的性质得到，运用圆周角定理结合含30°角的直角三角形的性质即可得到，然后根据圆内接四边形的性质即可得到，则，进而结合题意即可得到直径BD的长，从而即可求解。
19．【答案】（1）解：把 （﹣1，0），（0，﹣3） 代入 y＝x2+bx+c 中 ，
得，解得，
∴y＝x2-x-3
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）y＝x2-x-3，当y=0时，则x2-x-3=0，
解得：x1=-1，x2=6，
∴B（6，0），即OB=6，
∴BC===，
∵B（6，0），C（0，-3）
∴利用待定系数法求直线BC解析式为y=x-3，
过点P作PD⊥x轴交BC于点D，
设点P（n，n2-n-3），则D（n，n-3），
∴PD=n-3-（n2-n-3）=-n2+3n，
∴△CPB的面积=PD·OB=（-n2+3n）×6=（x-3）2+，
∴△CPB的面积的最大值为，
∵△CPB的面积=BC·PN=，
∴PN=.
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出B（6，0），再求BC=，直线BC解析式为y=x-3，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P（n，n2-n-3），则D（n，n-3），则PD=-n2+3n，从而求出△CPB的面积=PD·OB=（x-3）2+，可得△CPB的面积的最大值为，再次利用三角形的面积公式即可求出PN的长.，
20．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，
，
与相切，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
弦平分半径，，
，在中，，
，
，
，
，
，，
，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，由据等边对等角得∠OBC=∠OCB，由同弧所对圆周角相等得∠ADF=∠OBC，故∠OCB=∠ADF，根据切线的性质及角的和差可得∠PCB+∠BCO=90°，从而根据等角等角的余角相等得∠PCB=∠PAD；
（2）连接OD，易得∠ODF=30°，根据三角形的内角和定理得∠DOF=60°，根据垂径定理得DF=CF，故S△DOF=S△BFC，再根据S阴影=S扇形BOD，利用扇形面积计算公式即可算出答案.
21．【答案】（1）解：①，．
②直线的解析式为，抛物线的解析式为：，
∴
∵，
∴最大值
当时，有
解得：，
又∵时，
∴当时，有，
解得：
∴这两个位置之间的距离．
（2）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）①由题意，得：抛物线和直线均经过点
∴，
解得：，．
（2）解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为（9，81a+9），
∵直线经过点（9，81a+9）和（15，0）
∴，
解得：，
∴．
【分析】（1）①将（9，3.6）代入两个函数的解析式，即可求解；②将抛物线的一般式转化为顶点式，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）把点（9，81a+9）和（15，0）代入直线的解析式，求出a、b的值，即可求解．
22．【答案】（1）解：∵对角线是的直径，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：∵对角线是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）首先根据垂径定理得出： ，再根据圆周角定理的推论，得出 ∴， 即可得出结论；
（2）根据直径所对的圆周角等于90°，结合已知条件，可证得四边形AECD是平行四边形，从而得到CD=AE=3，在Rt△BCD中，根据勾股定理求得BC即可。
23．【答案】（1）解：①当 时，
②
二次项系数为 ， 开口向上
当 时， 有最小值为 -23
（2）解：(解题方法不唯一)
二次项系数为 ， 开口向上
当 时函数有最小值
甲说法合理
（3）解：乙同学的猜想正确。
当 时， 有最小值， 此时
二次项系数为 ， 开口向下
当 时， 取到最大值
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把a=-4代入，即可得到二次函数解析式；
②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.
（2）对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论；
（3）把x=-a代入得到最小值y的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的结论.
1 / 1浙教版数学九年级上册期中模拟测试卷 A
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·内江）下列事件时必然事件的是(　　)
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻，是随机事件，故A不符合题意；
B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，故B符合题意；
C、小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票，是必然事件，故C不符合题意；
D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》，是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，一定会发生的事件，叫必然事件；再对各选项逐一判断即可.
2．（2024·南通）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2）
C．（2，1） D．（2，﹣2）
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为（-1，-2），
∴向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（2，-2），
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据坐标平移的规律得新的顶点坐标.
3．（2024·临夏）如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．110°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BD，如图示：
-∵∠E=35°，∠ABD=∠E，
∴∠ABD=35°.
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB=35°.
∴∠BOD=180°－2×35°=110°.
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据圆周角定理的推论求出∠B，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BOD度数即可.
4．（2024·牡丹江）某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解： 从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中， 选择两名担任升旗手，分别由甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的只有1种，
∴ 甲、乙两名同学同时被选中的概率是 .
故答案为：A.
【分析】列举出所有等可能情况共6种结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的只有1种，然后利用概率公式计算即可.
5．（2024·呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数经过一二四象限，
∴
∴
∵反比例函数经过一三象限，
∴
∴
∴二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系得到：进而结合二次函数的图象与系数的关系得到二次函数的开口向下，与y轴的交点为y轴正半轴，对称轴为进而即可求解.
6．（2024·宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若，则的度数等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=∠CDB=60°，
∴∠ABC=90°－∠CAB=30°.
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理的推论求出∠DAB和∠ACB，即可得到结论.
7．（2024·济宁）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD、∠EBC分别是△EBC和△ABF的一个外角，
∠EBC=∠A+∠F，∠BCD=∠E+∠EBC，
∴∠BCD=∠E+∠A+∠F，
∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，
∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，
解之：∠A=41°.
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可证得∠A+∠BCD=180°，利用三角形外角的性质可推出∠BCD=∠E+∠A+∠F，然后代入可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数即可.
8．（2024·泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，由题知：OA=OO'=AO'=2
∴ 是等边三角形
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质及面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为圆心角度数，r为半径）及等边三角形面积公式（，a为等边三角形边长）是解题关键；由题知 是等边三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.
9．（2024·广安）如图，在等腰三角形ABC中，，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD和OE，如图所示，
∵三角形ABC为等腰三角形，O是AB中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
∴的长度为：.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B的度数，结合半径相等即可求出和度数，利用平行线的判定求出度数，根据弧长公式即可求出的长度.
10．（2024·云南） 如图，是的直径，点、在上．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】连接，先根据圆心角与弧的关系得到，进而根据圆周角定理即可求解。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·宁夏）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是　 　(结果精确到0.1).
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵频率逐步稳定在0.900，
∴ 这种幼苗移植成活的概率是 0.900≈0.9.
故答案为：0.9.
【分析】用频率去估计概率可得出答案。
12．（2024·镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝　 　（结果保留π）．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得AB=AE=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，
∴∠ABE=∠D=60°，
∴是等边三角形，
∴∠BAE=60°，
∴的长，
故答案为：.
【分析】根据作图步骤得AB=AE=1，然后利用平行四边形对角相等得∠ABE=∠D=60°，接下来根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，从而有∠BAE=60°，最后根据弧长的计算公式进行求解即可.
13．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为　 　．
【答案】4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先根据题意将点B和点C代入二次函数解析式，进而即可得到a和b，再令y=0求出x，从而得到点A和点B的横坐标，再相减取绝对值即可求解。
14．（2021九上·韶关期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是　 　．
【答案】60°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四边形OACD是菱形，
∴∠AOC=∠D，
由圆周角定理得，∠B=∠AOC，
∴∠B+2∠B=180°，
解得，∠B=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=180°，由菱形的性质可得∠AOC=∠D，由圆周角定理得∠B=∠AOC，继而求解.
15．（2024·德阳）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程无实数根，则.其中正确结论是　 　（请填写序号）.
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解析：①∵抛物线的顶点A的坐标为，
，
，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
，
当时，，
，故①正确，符合题意；
②直线是抛物线的对称轴，
，
，
，
由图象可得：当时，，
∴，即，故②正确，符合题意；
③直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为，，
则，
，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
，故③错误，不符合题意；
④如图，
关于x的一元二次方程无实数根，
，故④正确，符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】①根据抛物线的顶点坐标和开口方向可判断求解；
②根据抛物线的对称轴求出a=b，由图象可得：当x=1时，y=a+b+c＜0，把a=b代入a+b+c＜0整理即可判断求解；
③根据二次函数的性质可判断求解；
④根据抛物线与直线y=4无交点可求解.
16．（2024·武汉）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是　 　（填写序号）．
【答案】②③④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024·宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）解：40；
C组的人数为：40－4－16－12=8（名）故补全同学统计图如图所示：
（2）72
（3）解：将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D.
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）4÷10%=40（名）
故 本次共调查了40名学生，
故答案为：40.
（2），
故话剧组所对应扇形的圆心角为72度
故答案为：72.
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数，求出C组的人数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘本次调查中C组的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及刚好抽到1名男生与1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案.
18．（2023·北京）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【答案】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合题意即可得到，即平分，进而得到，从而得到，，然后得到是直径，再根据圆周角定理即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，进而即可得到，再根据角平分线的性质得到，运用圆周角定理结合含30°角的直角三角形的性质即可得到，然后根据圆内接四边形的性质即可得到，则，进而结合题意即可得到直径BD的长，从而即可求解。
19．（2024·牡丹江）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为　 　．
【答案】（1）解：把 （﹣1，0），（0，﹣3） 代入 y＝x2+bx+c 中 ，
得，解得，
∴y＝x2-x-3
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）y＝x2-x-3，当y=0时，则x2-x-3=0，
解得：x1=-1，x2=6，
∴B（6，0），即OB=6，
∴BC===，
∵B（6，0），C（0，-3）
∴利用待定系数法求直线BC解析式为y=x-3，
过点P作PD⊥x轴交BC于点D，
设点P（n，n2-n-3），则D（n，n-3），
∴PD=n-3-（n2-n-3）=-n2+3n，
∴△CPB的面积=PD·OB=（-n2+3n）×6=（x-3）2+，
∴△CPB的面积的最大值为，
∵△CPB的面积=BC·PN=，
∴PN=.
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出B（6，0），再求BC=，直线BC解析式为y=x-3，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P（n，n2-n-3），则D（n，n-3），则PD=-n2+3n，从而求出△CPB的面积=PD·OB=（x-3）2+，可得△CPB的面积的最大值为，再次利用三角形的面积公式即可求出PN的长.，
20．（2022·攀枝花）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C.
（1）求证：；
（2）若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，
，
与相切，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
弦平分半径，，
，在中，，
，
，
，
，
，，
，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，由据等边对等角得∠OBC=∠OCB，由同弧所对圆周角相等得∠ADF=∠OBC，故∠OCB=∠ADF，根据切线的性质及角的和差可得∠PCB+∠BCO=90°，从而根据等角等角的余角相等得∠PCB=∠PAD；
（2）连接OD，易得∠ODF=30°，根据三角形的内角和定理得∠DOF=60°，根据垂径定理得DF=CF，故S△DOF=S△BFC，再根据S阴影=S扇形BOD，利用扇形面积计算公式即可算出答案.
21．（2024·武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15．
【答案】（1）解：①，．
②直线的解析式为，抛物线的解析式为：，
∴
∵，
∴最大值
当时，有
解得：，
又∵时，
∴当时，有，
解得：
∴这两个位置之间的距离．
（2）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）①由题意，得：抛物线和直线均经过点
∴，
解得：，．
（2）解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为（9，81a+9），
∵直线经过点（9，81a+9）和（15，0）
∴，
解得：，
∴．
【分析】（1）①将（9，3.6）代入两个函数的解析式，即可求解；②将抛物线的一般式转化为顶点式，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）把点（9，81a+9）和（15，0）代入直线的解析式，求出a、b的值，即可求解．
22．（2023·安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径．
（1）如图1，连接，若，求证；平分；
（2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
【答案】（1）解：∵对角线是的直径，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：∵对角线是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）首先根据垂径定理得出： ，再根据圆周角定理的推论，得出 ∴， 即可得出结论；
（2）根据直径所对的圆周角等于90°，结合已知条件，可证得四边形AECD是平行四边形，从而得到CD=AE=3，在Rt△BCD中，根据勾股定理求得BC即可。
23．（2024·广西）课堂上， 数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出 ， 求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 取何值时， 函数 有最小值， 并写出此时的 值；
【举一反三】老师给出更多 的值， 同学们即求出对应的函数在 取何值时， 的最小值. 记录结果， 并整理成下表：
-4 -2 0 2 4
2 0 -2 -4
的最小值 -9 -3 -5 -15
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识， 观察表格， 谈谈你的发现.”甲同学： “我发现， 老师给了 值后， 我们只要取 ， 就能得到 的最小值.”
乙同学： “我发现， 的最小值随 值的变化而变化， 当 由小变大时， 的最小值先增大后减小， 所以我猜想 的最小值中存在最大值 ”
（2）请结合函数解析式 ， 解释甲同学的说法是否合理
（3）你认为乙同学的猜想是否正确 若正确， 请求出此最大值； 若不正确， 说明理由.
【答案】（1）解：①当 时，
②
二次项系数为 ， 开口向上
当 时， 有最小值为 -23
（2）解：(解题方法不唯一)
二次项系数为 ， 开口向上
当 时函数有最小值
甲说法合理
（3）解：乙同学的猜想正确。
当 时， 有最小值， 此时
二次项系数为 ， 开口向下
当 时， 取到最大值
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把a=-4代入，即可得到二次函数解析式；
②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.
（2）对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论；
（3）把x=-a代入得到最小值y的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的结论.
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