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2024-2025学年江苏省泰州二中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 无解
2.如图，是全集，集合、是集合的两个子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
3.命题“，使得”的否定是( )
A. ， B.
C. ， D.
4.已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为( )
A. B. 的不同子集的个数为
C. D.
5.已知实数，满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
7.已知关于的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是( )
A.
B.
C. 若关于的不等式的解集为，则
D. 若关于的不等式的解集为，且，则
8.已知命题：，满足，且恒成立，命题：“，使”，若命题与命题都为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知，为正实数，且，，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知关于的不等式，下列结论正确的是( )
A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集为的形式
C. 当时，不等式的解集为
D. 不等式的解集恰好为，那么
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知，则 ______．
14.已知方程的两根分别为，，，若对于，都有成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，全集，试求；
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合，，是否存在实数，使得是成立的_____？
把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由；
把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
17.本小题分
集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
解关于的不等式．
18.本小题分
如图，长方形表示一张单位：分米的工艺木板，其四周有边框图中阴影部分，宽度忽略不计，中间为薄板木板上一瑕疵记为点到外边框，的距离分别为分米，分米现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上设，的长分别为分米，分米．
求的值；
为使剩下木板的面积最大，试确定，的值；
求剩下木板的外边框长度的长度之和的最大值及取得最大值时，的值．
19.本小题分
对于给定的非空集合，定义集合，，当时，则称具有孪生性质．
判断集合，是否具有孪生性质，请说明理由；
设集合，且，若具有孪生性质，求的最小值；
设集合，，若，求证：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：不等式可化为，解得，
，
时，，
，，
．
由可知，，
，，
实数的取值范围：．
由可知，，
，，，
实数的取值范围：．
16.解：由题意可得，，
又，，
所以，解得，
所以的取值范围为．
由题意可得，，
若时，，解得，
若时，可得，解得，
综上所述：的取值范围为．
17.解：由已知方程只有一个实根，
当时，原方程的根为，符合题意，
当时，，解得或，
所以实数的取值集合为．
当时，不等式化为，解得；
当，不等式化为，
当时，不等式化为，解得或；
当时，不等式化为，
若，即，不等式无解，
若，即，解得，
若时，即，解得；
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
18.解：过点分别作、的垂线，垂足分别为、，
则与相似，从而，
所以，即，
所以；
要使剩下木板的面积最大，
即要锯掉的三角形废料的面积最小，
由可知，，解得，
当且仅当，即，时取等号，
故当，时，剩下木板的面积最大；
要使剩下木板的外边框长度最大，
即要最小，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故当时，剩下木板的外边框长度最大为分米．
19.解：不具有孪生性质，具有孪生性质，理由如下：
由题意可得：，，
，，
而，，
所以不具有孪生性质，具有孪生性质；
由题意可得：，
，
因为，所以，即，
又因为，所以的最小值是．
证明：集合，，
则，，，，，，都属于集合，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以．
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