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2024-2025学年浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则的定义域为( )
A. B.
C. 且 D. 且
3.若，，，，则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.使“”成立的必要不充分条件是( )
A. B. C. D. 或
6.已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
7.命题“，，使得”的否定形式是( )
A. ，，使得
B. ，，使得
C. ，，使得
D. ，，使得
8.设函数的定义域为，对于任意，，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为正数，且，则下列说法正确的是( )
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最大值
10.已知命题：，是真命题，则下列说法正确的是( )
A. 命题“，”是假命题
B. 命题“，”是假命题
C. “”是“命题为真命题”的充分不必要条件
D. “”是“命题为真命题”的必要不充分条件
11.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是( )
A. 的图象是轴对称图形
B. 的值域是
C. 先减小后增大
D. 方程有且仅有一个解
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.集合的子集的个数是______个．
13.已知一元二次不等式的解集为，则 ______．
14.函数满足：对任意的，都有，且，若恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，，或．
当时，求；
若中只有一个整数，求实数的取值范围．
16.本小题分
某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为立方米，深为米，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元．
写出总造价与，间的关系；
水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值．
17.本小题分
已知命题：“，使得”为真命题．
求实数的取值的集合；
设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
函数．
时，求方程的解；
求在上的解集；
若时，同时成立，求的取值范围．
恒成立；
函数的值域为．
19.本小题分
对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”；
判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？直接写出结论，不要求证明
如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值．
参考答案
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15.解：当时，，
则，
故A．
解：，或，
因为只有一个整数，则，所以，解得，
，
则集合中的唯一的整数为，所以，解得．
故实数的取值范围是．
16.解：已知某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为立方米，深为米，
则，
则，
又池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，
则总造价；
由可得：，
当且仅当时，等号成立，
故水池的长和宽均为时，总造价最低，最低值为元．
17.解：命题“，使得”为真命题，
所以，
即，
解之得或，
所以实数的取值的集合或；
不等式的解集为，
因为是的必要不充分条件，所以，
则或，
所以或，
故实数的取值范围为．
18.解：时，，
当时，，解得；
当时，，解得或不合题意，舍去，
综上，或；
时，，
令，得，不等式为，解集为．
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为．
当时，
，，
，且，当且仅当，即时等号成立，
所以．
函数的值域为，
当时，，，，不满足题意．
当，即时，二次函数的开口向下，不满足值域为．
当，即时，二次函数的开口向上，
对称轴为，
要使的值域为，
则需，
解得．
综上，的取值范围是．
19.解：存在区间，使得在区间上单调递增，且值域为，所以函数存在“优美区间”；
函数不存在“优美区间”，
由为上的增函数，则有，，
即方程有两个不同的解，，
即方程有两个不同的实数解，
而，可知该方程无实数解，
所以不存在“优美区间”．
由在和上均为增函数，
已知在“优美区间”上单调，
所以，或，，且在上为单调增，
则同理可得，，
即，是方程的两个同号的实数根，
等价于方程有两个同号的实数根，并注意到，
则只要，解得或，
而由根与系数的关系知，，
所以，
其中或，
所以当时，取得最大值．
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