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2024-2025学年广东省江门市台山市广旭实验学校高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
3.命题“，有实数解”的否定是( )
A. ，无实数解 B. ，无实数解
C. ，有实数解 D. ，有实数解
4.已知对任意恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.设集合，则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
6.已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其“累积值”即为该元素的数值，空集的累积值为设集合的“累积值”为若，则这样的集合的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是( )
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
10.已知，，满足，且，那么下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知正数，满足，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则，的大小关系是______．
13.已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______．
14.一般地，把称为区间的“长度”已知关于的不等式有实数解，且解集区间长度不超过个单位，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集为，集合，．
分别求，；
已知，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合．
若是空集，求的取值范围；
若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来．
17.本小题分
根据要求完成下列问题：
已知命题：，命题：，且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
已知不等式的解集与关于的不等式、的解集相同，若实数，满足，求的最小值．
18.本小题分
某商店购进一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
若商店按单价不低于成本价，且不高于元销售，则销售单价定为多少元最大？最大利润是多少？
若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于元，则每天的销售量最少应为多少件？
19.本小题分
已知关于的分式方程和一元二次方程中，、、均为实数，方程的根为非负数．
求的取值范围；
当方程有两个整数根，，且为整数，，，求方程的整数根；
当方程有两个实数根，，满足，且为负整数，求的值并写出，应满足的关系式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：，，
，
或，
或或；
，，
，
，
解得：．
16.解：若是空集，则方程无解，故，解得，
故的取值范围为．
若中只有一个元素，则或，解得或．
当时，解可得．
当 时，解可得．
综上，当时，中的元素为 ；
当时，中的元素为．
17.解：命题：，解得，设命题表示集合，
设命题表示集合，
命题是命题的必要不充分条件，，
，即，
当时，，，符合要求，
当时，解得，，，解得，经检验符合要求，
当时，解得，，，解得，经检验符合要求，
综上所述，实数的取值范围为；
由得，解得，
又由得，其解集为，
和是方程的两根，根据韦达定理得、，
、，，
则，
当且仅当时，即时取等号，即、时，有最小值为．
18.解：设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式，
得，解得，
所以函数的表达式为；
由题意得，利润函数，
因为，所以当时，随的增大而增大，
而，所以当时，有最大值，此时，，
所以销售单价定为元时，该商店每天的利润最大，最大利润元；
由题意得，，
化简得，
解得，
所以每天的销售量为，
即最少应为件．
19.解：因为关于的分式方程的根为非负数，所以且，
又因为，且，解得且，
又一元二次方程中，所以，
综上，且且．
一元二次方程有两个整数根，，
且，时，，即，
所以，且，则或，
因为，是整数，、都是整数，，，
所以为整数，所以或，
由得，则，，
把代入方程得，，；
代入方程得，，；
由得且且，因为是负整数，所以，
方程有两个实数根，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，即，
所以．
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