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2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学高一（上）第一次学情调研数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若不等式的解集是，则实数、的值分别是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.“”是“一元二次方程有实数解”的( )
A. 充分非必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件
3.已知非空集合，满足以下两个条件．
，；
的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为( )
A. B. C. D.
4.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ______．
6.不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
7.设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是______．
8.已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合的个数共有______个
9.若集合，，且，则的所有可能值的乘积为______．
10.不等式的解集为______．
11.设：，：，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______．
12.已知，则的值为______．
13.南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，只参加物理的比参加数学的少人，两门都参加的有人，则全班有______人
14.设，，且，则的最小值为______．
15.若关于的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是______填写正确命题的序号．
；不等式的解集为；；不等式的解集为．
16.某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于万元，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，，且，
求，的值；
若全集，求．
18.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源耗损，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为万元，该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消费费用为万元，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．
请写出的表达式；
隔热层多厚时，达到最小，并求出其最小值．
20.本小题分
对于给定的非空集合，定义集合，，当时，则称具有孪生性质，而、称为的孪生集合．
判断下列集合、是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由．
；．
若集合，且集合具有孪生性质，求的最小值．
已知且，记到的连续自然数为集合，即，若集合具有孪生性质，求的最小值．
21.本小题分
问题：正数，满足，求的最小值．
其中一种解法是：，
当且仅当且时，即且时取等号．
学习上述解法并解决下列问题：
若正实数，满足，求的最小值；
若实数，，，满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
利用的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：集合，，，且，
可得，即或，
当时，，此时；
当时，，此时或都不符合，
综上所述：，；
由，，
全集，
因为，，
所以．
18.解：集合，，
若，则，
解得：，
即实数的取值范围为；
若是的充分非必要条件，
则，
解得：，
即实数的取值范围为．
19.解：设隔热层厚度为，
由题设，每年能源消耗费用为，
再由，
得，
因此，
而建造费用为，
最后得隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为；
由可得：，
当，即时取等号，
所以当隔热层厚度为时总费用最小万元．
20.解：对集合，，，
，所以具有孪生性质，且孪生集合为，；
对集合，，，，
所以，不具有孪生性质．
，于是、、、、、，
、、、，
因为，所以，，又，．
，
因为，所以，解得，又，故．
21.解：正实数，满足，故，所以，当且仅当时，等号成立，
，故当时，等号成立．
令，，
根据，
整理得，
故，
由于，
所以，
故．
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