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2024北京大兴高一（上）期中
数 学
本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题共 40分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．设集合 A = a a2 =1 ，则不正确的是（ ）
A． 1 A B．{1} = A C． A D．{ 1,1} A
2．命题“ x Z,| x | 0 ”的否定是（ ）
A． x Z,| x | 0 B． x Z,| x | 0 C． x Z,| x | 0 D． x Z,| x | 0
3．下列函数中，是奇函数且值域为 ( ,+ ) 的是（ ）
2 3 1
A． y = x B． y = x C． y = x D． y = x
1 1
4．已知 a,b R ，且 ab = 2，则 + 的最小值为（ ）
a2 b2
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
5．设 a,b,c,d R ，则“ a b,c d ”是“ a + c b + d ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
6．设函数 f (x) = x + 在区间 (a,+ )上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
x
A． (0,1] B．[1,+ ) C． (0, 2] D．[2,+ )
7．下列条件中，能使 a b 成立的一个充分不必要条件是（ ）
2 2 3 3
A． a b B． a b +1 C． a b D． a b 1
2
8．若不等式 x (a + 2)x + 2a 0对任意的 x [ 1,1]恒成立，则 a的取值范围是（ ）
A．[ 1,1] B．[ 1,+ ) C．[ 1, 2] D． ( , 1]
9． 定 义 在 R 上的偶函数 f (x) 满 足 ： f (2) = 0 ，且对任意的 x1, x2 [0,+ ) (x1 x2 ) ，都有
f (x2 ) f (x1 )
0，则不等式 xf (x) 0的解集是（ ）
x2 x1
A． ( 2,0) B． ( 2,0) (2,+ )
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C． ( , 2) (0, 2) D． ( , 2) (2,+ )
2
10．已知函数 f (x) = ax + bx + c,a b c,a + b + c = 0 ，集合 A ={m f (m) 0}，则（ ）
A． m A, f (m + 3) 0 B． m A, f (m + 3) 0
C． m A, f (m + 3) = 0 D． m A, f (m + 3) 0
第二部分（非选择题共 110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
11．函数 f (x) = x 1的定义域为______．
12．设a R, M = 2a(a 2), N = (a +1)(a 3) ，则M 与 N 的大小关系是M ______ N ．
x, x 0,

13．函数 f (x) = 1 则 f ( f ( 1)) = ______；不等式 f (x) 0 的解集为______．
x , x 0.
x
14．定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数可以是 f (x) = ______， g(x) = ______．
15．已知函数 f (x) 的定义域为 D ，若 f (x) 满足：对任意的 x1, x2 D ，当 f (x1 ) = f (x2 )时，总有
x1 = x2 成立，则称 f (x) 为单函数．给出下列四个结论：
（1） f (x) =| x |不是单函数；
x
（2） f (x) = 是单函数；
x +1
（3）若 f (x) 为单函数，则 f (x) 在定义域上一定是单调函数；
（4）若 f (x) 为单函数，则对任意的 x1, x2 D ，当 x x f x f x1 2 时，总有 ( 1 ) ( 2 )成立．其中所有正确
结论的序号是______．
三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题 14 分）
已知函数 f (x) = x
2 2x 3．
（Ⅰ）求不等式 f (x) 0的解集；
（Ⅱ）求 f (x) 在区间[ 2, 2]上的最大值与最小值；
x + x f (x1 )+ f (x2 )
（Ⅲ）设 x , x R ，求证： f 1 21 2 ．
2 2
17．（本小题 13 分）
已知集合 A ={x 0 x 2}, B ={x 2x 1 a}．
（Ⅰ）当 a =1时，求 A B,( R A) B ；
（Ⅱ）再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求 a的取值范围．
条件（1）： B ( R A)；
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条件（2）：“ x A ”是“ x B ”的充分条件．
注：如果选择条件（1）和条件（2）分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题 15 分）
1
已知函数 f (x) = k,k R 。
x2 +1
（Ⅰ）判断 f (x) 的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）用单调性定义证明 f (x) 在区间 (0,+ )上单调递减；
1
（Ⅲ）若 f (x) 的图象与 x轴交于 A(x1,0) , B (x2 ,0)两点，且 x ，求 k 的取值范围。 1 x2
2
19．（本小题 13 分）
已知经过 x (x *N )年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组成，其中购车费用是 22.5 万元，使
用 x (x *N )年的维修费为 x(0.2+ 0.1x)万元，且每年的其他费用为 0.8 万元。
（Ⅰ）求经过 2 年该车的总花费为多少万元；
x (x * ) y y x (x *（Ⅱ）设经过 N 年该车的年平均花费为 万元，写出 关于 N )的函数解析式，并求 y 的
最小值。
20．（本小题 15 分）
f (x), f (x) g(x),
已知函数 f (x) = x +1, g(x) = (x 1)
2
．令函数M (x) =
g(x), f (x) g(x).
（Ⅰ）若M (x) = 2 ，求 x的值；
（Ⅱ）若函数 y = h(x)的图象关于点 P(0,1)成中心对称图形，当 x 0 时， h(x) = M (x)．
（1）直接写出当 x 0 时， h(x) 的解析式；
（2）对任意的 x [a,a +1],| h(x) | 2 恒成立，求 a的取值范围．
21．（本小题 15 分）
若含有 4 个元素的数集 A ={a,b,c,d} 能满足 ab cd =1 ，则称数集 A 具有性质 J ．给定集合
B ={1,2,3,4,5,6,7,8},C = x *N 1 x 4n,n 3,n *N 。
（Ⅰ）写出一个具有性质 J 的集合，并说明理由；
（Ⅱ）若 A ={a,b,c,d}, A B ，证明：集合 A 和 B A不可能都具有性质 J ；
*
（Ⅲ）若集合 Ai (i =1,2, ,n,n N )有 4 个元素， Ai C ，且 A1 A2 An = C ， A1 A2
An = ，证明： A1, A2 , , An 这 n个集合不可能同时都具有性质 J ．
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