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河北省2025届高三年级11月阶段调研检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则集合( )
A. B.
C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分又不必要
4.球是棱长为的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为( )
A. B. C. D.
5.某同学掷一枚正方体骰子次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为，方差为，可判断这组数据的众数为( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是( )
A. 的周期为 B. 图象关于直线对称
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知平面内点，，点为该平面内一动点，则( )
A. ，点的轨迹为椭圆 B. ，点的轨迹为双曲线
C. ，点的轨迹为抛物线 D. ，点的轨迹为圆
11.如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则( )
A. 当时，直线与所成角的余弦值为 B. 当时，四面体的体积为
C. 当且面时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的倍，则的离心率为 ．
13.已知数列满足，其前项中某项正负号写错，得前项和为，则写错的是数列中第 项
14.如图所示，中，，是线段的三等分点，是线段的中点，与，分别交于，，则平面向量用向量，表示为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面．
求证：
求平面与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的图象在点处的切线方程
当时，求的单调区间
若函数单调递增，求实数的取值范围．
18.本小题分
椭圆左右顶点分别为，，且，离心率．
求椭圆的方程
直线与抛物线相切，且与相交于、两点，求面积的最大值．
19.本小题分
在复数范围内解方程
设，且，证明：
设复数数列满足：，且对任意正整数，均有证明：对任意正偶数，均有．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
由余弦定理得，，
，
．
又，．
因为的面积为，
即，．
由余弦定理得，解得．
所以周长为．
16.解：证明：如图所示，取中点，为等边三角形，，
又面垂直于底面，交线为，得面，
又面底面为直角梯形，，，
，，，
所以，，，
所以，得，
又，、面，
得面，面，所以．
由知面，不妨设，则，
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，
分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
得，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以 ，
可取，得到，故
设平面的一个法向量为，
则，即，
可取，得到，故
设平面与平面夹角为，
则，，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
17.解：当时，函数，
得，则，
所以的图象在点处的切线方程为．
因为当时，，，
令，则．
所以在上单调递增，
又，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述：单调递减区间为，单调递增区间为
由，且，
得单调递增，
所以在上恒成立，
又，
由题意恒成立，得，
即恒成立，得恒成立，
设，得，
所以当时，最大为．
所以恒成立，得．
综上，若函数单调递增，
则实数的取值范围为
18.解：由题意，得，．
又的离心率为，得，
所以，则，
得椭圆的方程为．
由题意知直线斜率不为，故方程可设为，
与抛物线联立得，
直线与抛物线相切得，
联立，得，
且．
设，，则，．
又与轴交于点，
则
，
又，
，
当此时，符合时，取得最大值为．
综上所述，得的面积的最大值为．
19.解：在复数范围内解方程，设
，展开得，
根据复数相等，，得
方程在复数范围内有三个解：；
证明：设，，
则，，，
又，
则
，
即；
证明：由题意可得，，则可化为，
解得，因此，
故，
进而有．
当为偶数时，设，利用可得
，
当为奇数时，设，由可得
故，
综上，结论得证．
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