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四川省成都市新都区2025届高三年级第一学期期中检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则的真子集个数为
A. B. C. D.
2.若，，则“”是“”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.等差数列中，公差为，前项和为，若，，，则项数为
A. B. C. D.
4.在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为
A. B. C. D.
5.已知正实数，满足，则的最大值为
A. B. C. D.
6.函数的部分图象可以为
A. B.
C. D.
7.将函数的图象所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上单调递减，则的最大值为
A. B. C. D.
8.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数的共轭复数为，现有模长为的复数，，下列说法一定正确的有
A. B. C. D.
10.已知，向量，，，下面判断正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 的取值范围为 D. 存在，使得在方向上投影向量的模为
11.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是
A. B.
C. 的图象关于点对称 D. 有一个周期为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则曲线在点处的切线方程为________．
13.若函数，则________．
14.设，，，则，，从小到大用“”表示为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为拉动内需，相关部门决定对居民的网络购物情况进行调查统计．据统计，截止年月底，中国网络购物用户规模近亿人，社区个居民的网上购物情况如下图表所示：
填写如下表格，并判断是否有的把握认为社区的居民是否喜欢网上购物与年龄有关？
喜欢 不喜欢 合计
岁以上
不超过岁
合计
在抽取的样本中，已知年龄超过岁的居民中，喜欢网购的个居民每月网购货物件数的平均数为，方差；年龄不超过岁的居民中，喜欢网购的个居民每月网购货物件数的平均数为，方差，求社区喜欢网购的这个居民购货件数的方差．
附：．
16.本小题分
已知曲线上任意一个动点到和它到直线的距离之比等于常数，直线：与相交于，两点，点的坐标为．
求的方程；
当时，求线段的长度；
求面积的最大值．
17.本小题分
已知函数在处取得极值．
求的单调区间；
若在恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，四面体中，，点，，分别为棱，，的中点，．
求证：平面；
求平面与平面所夹角的正弦值；
求点到直线的距离．
19.本小题分
数列的项可由项数来确定，也可由相邻几项来确定．若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．若的递归函数为．
设且，求数列的前项和；
设的递归函数为，且，的前项和记为．
求证：；
我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，，求的值．
参考答案
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14.
15.解：根据题意，由统计图可得列联表，
喜欢 不喜欢 合计
岁以上
不超过岁
合计
则，
所以有的把握认为社区的居民喜欢网上购物与年龄有关；
喜欢网络购物的户居民的网购件数的平均数为，
所以社区喜欢网购的这个居民购货件数的方差为．
16.解：设是曲线上任意一点，则，
化简得的方程为；
设，，联立方程组，
整理得，由韦达定理，，
因为恒大于，
所以弦长，
当时，即为此时线段的长度；
因为点到直线：的距离为，
所以．，
令，
则，因为在上，函数递增，所以在时．
17.解：的定义域为，
，
因为在取极值，故有，
检验：当时，，
当时，，当时，，在处取得极大值符合题意，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
对于，即，
令，则，
因为，
令，则，
所以在上单调递减，
又，故在恒小于，即有，，
所以在递减，
故，
即实数的取值范围是
18.解：证明：由题意，为正三角形，
因为为中点，
所以且，
而、分别为棱、的中点，
则，
又，则，
则，而，，平面，
平面；
因为，，得，
由得，，，
故EF、、两两垂直，
以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，解得，
设平面的法向量为，
则，解得，
则，，
所以，，
即平面与平面所夹角的正弦值为
易得，，，，
所以点到直线的距离为．

19.解：因为，且，
故，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则，
所以，
又，
所以，
即；
证明：因为，，
由，
所以，
根据累加法可得，
，
当时，
则，当且仅当时等号成立，即有；
首先，，
，
所以，
由累乘法可得，
且，
所以，
当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：，
即，
所以．
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