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江苏省部分校第一学期2025届高三期中模拟（一）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
3.已知是两个不重合的平面，为两条不同的直线，给出下列命题，其中是真命题的个数是
若，则 若，则
若，则 若，则
A. B. C. D.
4.已知数列为等差数列，前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
5.若是第二象限角，，则
A. B. C. D.
6.已知，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则的最小值为
A. B. C. D.
8.已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为等比数列，是其前项和．若，与的等差中项为，则( )
A. B. 公比 C. D.
10.设，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 在上单调递增 B. 是的极值点
C. 在上有个零点 D. 是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简： ．
13.已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为 ．
14.已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
求的通项公式
证明：．
16.本小题分
已知锐角的三个内角，，所对边为，，若C.
求的值
若的外接圆半径，求的面积的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
证明：曲线是中心对称图形
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．
证明：
若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
19.本小题分
设数列的各项均为正数，对于给定的正整数，对任意都成立，则称数列是“数列”．
已知数列是“数列”，且，，求和
设甲：是正项等比数列，乙：是“数列”，证明：甲是乙的充分不必要条件
若既是“数列”，又是“数列”，证明：是等比数列．
参考答案
1.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意得，
由得：
当且时，，
又也符合上式，因此
，
．
16.解：因为，
由余弦定理得：，
整理得：，
又，所以；
由正弦定理得，
所以，
所以
，
因为是锐角三角形，
所以，所以，即，
所以，
即的面积的取值范围，
17.解：由，解得，
，
所以关于点中心对称．
，
，
因为，所以， 在上递增，
由可知，，
所以，可化为

整理得 ，
可得
解得
18.证明：在正方形中，有，又底面，平面，
所以，又，、平面，
所以平面，又平面，所以，
又，点是棱的中点，所以有，
又，、平面，
所以平面，
又平面，所以．
如图，以点为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，
设点，，
设平面的法向量，
令，可得，
又，
所以直线与平面所成角的正弦值，
化简可得，即，
所以或舍，
即点，由可得，，，
所以点到平面的距离．

19.解：因为是“数列”，
所以，解得，
又，
所以．
首先证明甲是乙的充分条件，
设等比数列的公比为，
则，
所以时，，
所以当时，
，
所以是“数列”，即甲是乙的充分条件．
下证甲是乙的不必要条件，
设数列是“数列”，，
定义数列满足：，，
，，
则数列是“数列”，但不是等比数列，
综上，甲是乙的充分不必要条件．
因为是“数列”，
所以时，，即，
因为是“数列”，
所以时，，
即，，
由得，当时，，
将上述两式代入得，，
整理得，
因为的各项均为正数，所以，
所以数列从第项开始为等比数列，
设公比为，则，，
在中令得，即
令得，即，
所以，，
所以为常数，
所以是等比数列．
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