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广东省广州市增城区2025届高三质量监测（调研考）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，是的中点，记，，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，公差，为其前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为( )
A. B. C. D.
6.常用放射性物质原子核数衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间称为半衰期，记为单位：天某铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，开始记录时，这两种物质的原子核数相等，天后测量发现乙的原子核数为甲的原子核数的，则，满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
7.定义在上的函数为奇函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则( )
A. 直线为函数图象的一条对称轴
B. 为偶函数
C.
D. 在上单调递减
10.已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则( )
A. 若数列是递增数列，则
B. 若数列是递增数列，则
C. 当时，存在实数，使得恒成立
D. 若，则使得成立的的最大值为
11.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 当时，函数有三个零点
B. 存在，使得点为曲线的对称中心
C. 若函数在区间内存在极小值点，无极大值点，则
D. 若是函数的极值点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，且，，则 ．
13.曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．
14.若数列满足，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角
若的面积为，为中点，，求的周长．
16.本小题分
已知函数．
求函数在区间上的最大值与最小值
若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，若函数在上有且仅有两个零点，直线是函数的图象的一条对称轴．
求函数的解析式
记函数的导函数为，已知，求的值．
18.本小题分
记为数列的前项和，已知，，数列满足：，且．
求数列的通项公式
令，求数列的前项和的最大值与最小值．
19.本小题分
定义：若函数对任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”．
若，判断是否为上的“类函数”
若为上的“类函数”，求实数的取值范围
若为上的“类函数”，且，证明：，，．
参考答案
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14.
15.解：由正弦定理得，
在中，，所以，
所以，
整理得，
因为，所以，
因为，所以．
在中，，
所以，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以，
所以，
由得，，，
在中，由余弦定理得，所以，
所以，的周长的周长．

16.解：，
令，解得，
当时，，函数在区间上单调递增
当时，，函数在区间上单调递减
所以，的最大值为
又因为，，
所以的最小值为；
因为在定义域内单调递增，
所以，恒成立，
即，恒成立，
令，，
令，
解得：或舍，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
故恒成立，，
即，解得：．
17.解：
，
因为直线是函数的图象的一条对称轴，
所以，，
解得，，
因为函数在上有且仅有两个零点，
所以，
解得，所以，
所以；
因为，
所以，
所以，
．
18.解：因为，所以为等差数列，
因为，，，
又因为，解得，，
所以数列的首项为，公差为，
所以，
所以，
当时，，
所以，
化简可得，
所以，
所以数列是常数列，即，
所以；
由可知，
所以，
当为奇数时，，
是关于单调递减的数列，
所以，即
当为偶数时，，是关于单调递增的数列，
所以，即，
所以的前项和的最大值为，最小值为．
19.解：对于任意不同的，，
不妨设，即，
则
，
所以为上的“类函数”；
因为为上的“类函数”，
对于任意不同的，，
不妨设，则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由可知在内单调递增，
可知在内恒成立，
即在内恒成立
同理可得：内恒成立
即在内恒成立，
又因为，
即，
整理得，
可得，
即在内恒成立，
令，因为，在内单调递增，
则在内单调递增，
当，当，可知，
可得在内恒成立，
构建，，则，
当时，当时，
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，构建，，
则在内恒成立，
可知在内单调递减，则
可得，所以实数的取值范围为
当，可得，符合题意
当，因为为上的“类函数”，
不妨设，
若，则
若，
则
综上所述：，，．
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