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黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025届高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是虚数单位，复数( )
A. B. C. D.
2.若数列的前项和，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知函数为在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知数列为等比数列，，则( )
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.我国古代数学家秦九韶左数书九章中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则恰有个零点
B. 若恰有个零点，则的取值范围是
C. 若恰有个零点，则取值范围是
D. 若，则恰有个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是 ．
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象的对称中心是，
C. 函数的递增区间是
D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位而得到
11.正方形的边长为，是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点，，则( )
A. 最大值为 B. 最大值为
C. 存在使得 D. 最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量满足，则方向上的投影向量为 ．
13.已知，则的最小值为 ．
14.设函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数．
求的最小正周期和对称轴方程；
求在的最大值和最小值．
16.本小题分
已知数列满足．
证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
在锐角中，内角的对边分别为，且．
求角的大小；
若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．
18.本小题分
已知函数和
若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围．
若函数和有相同的最小值，求的值
若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
19.本小题分
定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”．
已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列．
已知．
证明：数列为“线性数列”．
记，数列的前项和为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
，
所以函数的最小正周期为．
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴方程为，，
当时，，则，进而可得，
当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值．

16.
由，，
所以是首项、公比均为的等比数列，
故；
由有，则，
所以，
两式相减，得，
所以．

17.
因为，由余弦定理得，
由正弦定理得，
又是锐角三角形，所以，
所以，所以，
又，所以．
由余弦定理可得，
又，所以
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以，
由题意得解得，则，
所以，所以
所以，所以线段长的取值范围为．

18.
恒成立，
因，
所以，
则的取值范围为；
定义域为，
，，
若，则，单调递增，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又，仅有此一解，
；
知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为，
所以当时，恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，
此时可作出函数和的大致图象，
由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点，即，
因为，所以，即，
令得，
解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

19.
因为为“线性数列”，所以，
所以，即，解得
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
因为，则，
令，即，解得，所以
因为，
所以，所以数列为“线性数列”；
因为，则，
所以
，
因为，，所以，
所以．

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