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【高考数学】
数列：大题训练50题
1 ．数列{}的前n项和为，且满足，.
（1）求{}的通项公式； （2）求和Tn =.
2 ．已知数列，a1=1，点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）函数，求函数最小值.
3 ．已知函数 (a，b为常数)的图象经过点P（1，）和Q（4，8）
(1) 求函数的解析式；
(2) 记an=log2,n是正整数，是数列{an}的前n项和，求的最小值。
4 ．已知y＝f(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)＝15．
求＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的表达式．
5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.
（1）求证: 为等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，试写出 的通项公式，并求的结果.
6 ．在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*)，满足向量与向量共线，且点Bn(n,bn) (n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上.
(1)试用a1,b1与n来表示an;
(2)设a1=a,b1=-a,且127 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的N*都成立，数列是等差数列．
（1）求数列与的通项公式；
（2）问是否存在N*，使得？请说明理由．
8 ．已知数列
（I）试求a2，a3的值；
（II）若存在实数为等差数列，试求λ的值.
9 ．已知数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式;
（2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的取值范围。
10．已知数列的前n项和是n的二次函数，满足且
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求中数值最大和最小的项.
12．已知数列中，，且当时，
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前项和为，求。
13．正数数列的前项和，满足，试求：（I）数列的通项公式；（II）设，数列的前项的和为，求证：。
14．已知函数=,数列中,2an+1－2an+an+1an=0，a1=1,且an≠0, 数列{bn}中, bn=f(an－1)
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{}的前n项和Sn.
15．已知函数＝a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）．
（1）求函数解析式；
（2）记an＝log2 n∈N*，是数列的前n项和，解关于n的不等式
16．已知数列的前项的和为，且，.
（1）求证：为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
17．在平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上.
（1）证明数列是等差数列；（2）试用与n来表示；
（3）设，且12，求数中的最小值的项.
18．设正数数列{}的前n项和满足．
（I）求数列{}的通项公式；
（II）设，求数列{}的前n项和．
19．已知等差数列{an}中，a1=1,公差d>0，且a2、a5、a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项an、bn;
(Ⅱ)设数列{cn}对任意的n∈N*，均有+…＋＝an+1成立，求c1+c2+…+c2005的值.
20．已知数列{}满足，且
（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{}的通项公式；
（3）设数列{}的前项之和，求证：。
21．设数列{an}的前n项和为=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2(a2 －a1) =b1。
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=, 求数列{cn}的前n项和Tn.
22．已知函数与函数＞0)的图象关于对称.
(1) 求;
(2) 若无穷数列满足,且点均在函数上,求的值,并求数列的所有项的和(即前项和的极限)。
23．已知函数
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列的前n项和
24．已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列 ( http: / / wxc. )　
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和： ( http: / / wxc. )　
25．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求数列｛an｝的通项及Tn；
26．等差数列是递增数列，前n项和为，且a1，a3，a9成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项的和．
27．已知向量且.若与共线,
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
28．已知：数列满足.
（1）求数列的通项；
（2）设求数列的前n项和Sn.
29．对负整数a，数可构成等差数列.
（1）求a的值；
（2）若数列满足首项为，①令，求的通项公式；②若对任意，求取值范围.
30．数列
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列{}的通项公式；
（3）若
31．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）、求数列的通项公式；
（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
32．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足
（Ⅰ）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（Ⅱ）求Sn和an
（Ⅲ）求证：
33．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数有。
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）设集合，若等差数列的任一项是的最大数，且，求的通项公式。
34．已知点列在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点，等差数列{an}的公差为 ( http: / / wxc. / )
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ），求和：C2 + C3 + … +Cn；
（Ⅲ）若，且d1 = 1，求证数列为等比数列：求{dn}的通项公式 ( http: / / wxc. / )
35．已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.
（Ⅰ）求证：数列成等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和；
（Ⅲ）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
36．已知数列{an}的前n项和为Sn（），且
（1）求证：是等差数列；
（2）求an；
（3）若，求证：
37．已知
（Ⅰ）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在R上恒为增函数，试求的取值范围;
（Ⅲ）已知常数，数列满足,试探求的值，使得数列成等差数列．
38．在数列
（I）求数列的通项公式；
（II）求证：
39．设函数f(x)的定义域为，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知
（1）求的值；
（2）判断上单调性；
（3）一个各项均为正数的数列{an}满足：其中Sn是数列{an}的前n项和，求Sn与an的值.
40．已知定义在（－1,1）上的函数f (x)满足，且对x,y时，有。
（I）判断在(－1，1)上的奇偶性，并证明之；
（II）令，求数列的通项公式；
（III）设Tn为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由。
41．已知，且
（1）求的表达式；
（2）若关于的函数在区间（-，-1]上的最小值为12，求的值。
42．设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为 。（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（I）求数列的通项公式；
（II）记数列的前n项和为，且，若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围。
43．在数列中，，其中 ( http: / / wxc. )
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立 ( http: / / wxc. )
44．设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且
（I）求{an}及{bn}的通项公式an和bn.
（II）若成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（III）若对任意的正整数n，不等式恒成立，求正数a的取值范围.
45．函数的最小值为且数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数；
（Ⅲ）若，求数列的最大项．
46．设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足．其中．
⑴求数列和的通项公式；
⑵设，求证：数列的前项的和（）．
47．设数列；
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列的公比求数列的通项公式；
（3）记；
48．已知二次函数满足，且对一切实数恒成立.
（1）求 （2）求的表达式；
（3）求证：.
49．在数列中，，，
（Ⅰ）若对于，均有成立，求的值；
（Ⅱ）若对于，均有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）请你构造一个无穷数列，使其满足下列两个条件，并加以证明：
① ；
② 当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.
50．对任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令试比较与的大小．
数列：大题训练50题
参考答案
1 ．解：（1） ∵ ，两式相减，得，
∴ ，
∴.
（2）
=
==.
2 ．解 （1）∵在直线x－y+1=0上，
∴ 故是首项为1，公差为1的等差数列.
∴
（2）∵
∴ ∴的最小值是
3 ．解：(1)因为函数f(x)=abx(a,b为常数)的图象经过点P，Q则有
(2)an = log2(n) = log2 = 2n - 5
因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ;
所以{an}是首项为-3，公差为 2的等差数列
所以 当n=2时，取最小值 - 4
4 ．解：设y＝f(x)＝kx＋b( k≠0)，则f(2)＝2k＋b，f(5)＝5k＋b，f(4)＝4k＋b，
依题意：[f(5)]2＝f(2)·f(4)．
即：(5k＋b)2＝(2k＋b)(4k＋b)，化简得k(17k＋4b)＝0．
∵k≠0，∴b＝－k ①
又∵f(8)＝8k＋b＝15 ②
将①代入②得k＝4，b＝－17．
∴Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(4×1－17)＋(4×2－17)＋…＋(4n－17)
＝4(1＋2＋…＋n)－17n＝2n2－15n．
5 ．（1），所以是等比数列
（2），所以是等差数列
（3）
6 ．解：(1)∵点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上，
∴=6，即bn+1-bn=6,
于是数列{bn}是等差数列，故bn=b1+6(n-1).
∵共线.
∴1×(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn
∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1
=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2)
当n=1时，上式也成立.
所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).
(2)把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a.
∵127 ．解：（1）已知…N*) 　 ①
时，…N*)　 ②
①-②得，，求得，
在①中令，可得得，
所以N*)．
由题意，，，所以，，
∴数列的公差为,
∴，
N*)．
（2），
当时，单调递增，且，
所以时，，
又，
所以，不存在N*，使得．
8 ．（I）解 依a1=5可知：a2=23, a3=95
（II）解 设 若{bn}是等差数列，则有2b2=b1+b3
即
得
事实上，
因此，存在、公差是1的等差数列
9 ．解：（1）令，，即
由
∵，∴，即数列是以为首项、为公差的等差数列， ∴
（2）①，即
②∵，又∵时，
∴各项中数值最大为，∵对一切正整数，总有恒成立，因此
10．依题意设
（1），∴ ①
又∴ ②
由①、②得所以
又
而符合上式，∴
（2）
当时，是增函数，因此为的最小项，且
又，所以中最大项为，最小项为。
11．（1）由y＝得 x＝，∴
又an＋1＝f-1（an）（n），∴an＋1＝
a1＝ ,an＋1＝ ，∴an（nN＋）
∴且
∴{}是以－2007为首项, 2为公差的等差数列
∴
∴为所求
（2）由（1）知bn＝，
记g（n）＝（2n－2009）（2n－2011）（nN＋）
当1≤n≤1004时,g（n）单调递减且gmin（n）＝g（1004）＝3
此时bn>0且bn的最大值为; 当n＝1005时,g（n）＝－1;
当n≥1006时,g（n）单调递增且gmin （n）＝g（1006）＝3此时bn>0且bn的最大值为;
综上：bn的最大值为,最小值为－1
12．（1）
等差数列
（2）错位相减，
13．（I）由已知，得
作差，得。
又因为正数数列，所以，由，得
（II），
所以……=
14．解：（1）2an+1－2an+an+1an=0 ∵an≠0, 两边同除an+1an
∴数列{}是首项为1,公差为的等差数列
（2）∵=
∴an－1=
∵bn=f(an－1)=f()=－n+6 (n∈N)
（3） －n+6 (n≤6, n∈N)
= n－6 (n>6, n∈N)
(n≤6, n∈N)
∴Sn= (n>6, n∈N)
15．（1）
（2）n=5，6，7，8，9
16．解：（1）当时，，∴，
∴， ∴数列为等差数列．
（2）由（1）知，，
∴．
当时，，
∴
17．解：（1）∵点都在斜率为6的同一条直线上，
于是数列是等差数列，故
（2）共线，
当n=1时，上式也成立.
所以
（3）把代入上式，
得
，
∴当n=4时，取最小值，最小值为
18．解：（Ⅰ）当时，，∴ .
∵ ， ①
∴ (n. ②
①－②，得 ，
整理得，，
∵ ∴ .
∴ ，即.
故数列是首项为，公差为的等差数列.
∴ .
（Ⅱ）∵ ，
∴
.
19．解：(Ⅰ)由题意，有 (a1+d)(a 1+13d)=(a1+4d)2.
而a1=1,d>0.∴d=2,∴an=2n-1.
公比q==3,a2=b2=3.
∴bn=b2·qn-2=3·3 n-2=3 n-1.
(Ⅱ)当n=1时，=a2,∴c1=1×3=3.
当n≥2时，∵ ……①
……②
②—①,得∴cn=2bn=
∴cn=
∴c1+c2+c3+…+c2005=3+2(31+32+33+…+32004) =3+2·
20．(1)
21．解：（1）∵当n=1时 ，a1=S1=2；
当n≥2时，an=Sn －Sn－1=2n2 －2(n－1)2=4n－2.
故数列{an}的通项公式an=4n－2，公差d=4.
设{bn}的公比为q，则b1qd= b1，∵d=4，∴q=.∴bn=b1qn－1=2×=,
即数列{ bn }的通项公式bn=。
（2）∵
∴Tn=1+3·41+5·42+······+(2n－1)4n－1
∴4Tn=1·4+3·42+5·43+······+(2n－1)4n
两式相减得3Tn=－1－2（41+42+43+······+4n－1）+(2n－1)4n=
∴Tn=
22．(1)
(2) 在上
,当时
等比且公比为,首项为 等比公比为,首项为1 ,所以的各项和为
23．解：（1）由已知得：
是首项为1，公差d=3的等差数列
（2）
由
24．解法：（I）证：由，有， ( http: / / wxc. )　
（II）证：，
，，
( http: / / wxc. )　
是首项为5，以为公比的等比数列 ( http: / / wxc. )　
（III）由（II）得，，于是
　
当时， ( http: / / wxc. )　
当时，
故
25．解：（1）由已知，
，，两边取对数得，即
是公比为2的等比数列.
（2）由（1）知
=
26．(1)解：设数列公差为d(d＞0)
　　∵a1，a3，a9成等比数列，∴，即
　　整理得：
∵，∴　 　①
　　∵ ∴　 　②
　　由①②得：，
∴
(2)
∴
　　
27．(1) ①
取得
②
②①得：
中的奇数项是以为前项，4为公比的等比数列，偶数项是以的前项，4为公比的等比数列
（2）当为偶数时，
当为奇数时，
28．（Ⅰ）
验证n=1时也满足上式：
（Ⅱ）
29．（1） 又
（2）①
又
②
即
而
30．解（1）由题意知：
是等比数列
（2）由（1）知数列以是a2－a1=3为首项，
以2为公比的等比数列，所以
故a2－a1=3·20，所以a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，
所以
（3）
设①
2②
①—②得：
31．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
32．解证：（Ⅰ）
当n≥2时，
故是以2为首项，以2为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
当n≥2时，
当n=1时，
（Ⅲ）
33．解：（1），
∴数列是以为首项，-1为公差的等差数列，
。
（2）由，得。
。
而当时，。
。
（3）对任意，
所以，即。
是中的最大数，。
设等差数列的公差为，则。
， ，
是一个以-12为公差的等差数列，
，
。
34．解：（Ⅰ）在直线
∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1） ，
又数列的公差为1
（Ⅱ）
（Ⅲ）
是以2为公比，4为首项的等比数列，
35．解：（Ⅰ）由题意知， （ ）
∵，
∴
∴数列是首项，公差的等差数列，
其通项为（ ）．
（Ⅱ）∵,（ ）
∴,
于是
两式相减得
.
∴ （ ）
（Ⅲ）　∵ ， （ ）
∴当时，
当时，，即
∴当时，取最大值是
又对一切正整数n恒成立 ∴
即得或
36．（1）∵，∴，又∵ ∴
∴数列是等差数列，且
（2）当时，
当n=1时，不成立. ∴
（3），∴.
∴左边显然成立.
37．解：（Ⅰ）当时，
（1）时，
当时，；当时，
（2）当时，
当时，；当时，
综上所述，当或4时，；当时，
（Ⅱ）
在上恒为增函数的充要条件是，解得
（Ⅲ），
① 当时，，即 （1）
当n=1时，；当n≥2时， （2）
（1）—（2）得，n≥2时，，即
又为等差数列，∴ 此时
②当时 ，即 ∴
若时，则（3），将（3）代入（1）得，
对一切都成立
另一方面，，当且仅当时成立，矛盾
不符合题意，舍去.
综合①②知，要使数列成等差数列，则
38．（I）解：由
从而由
的等比数列
故数列
（II）
39．1°
40．解：（I）令x=y=0，得f(0)=0。
又当x=0时，即。
∴对任意时，都有。
为奇函数。
（II）满足
。。
在上是奇函数， ∴，即。
是以为首项，以2为公比的等比数列。。
（III）=。
假设存在正整数m，使得对任意的，
有成立，
即对恒在立。
只需，即
故存在正整数m，使得对，有成立。
此时m的最小值为10。
41．解（1）
（2）∵，∴，
∴。
①当即时，函数在区间（-,-1]上是减函数
∴当时，即，
又,∴该方程没有整数解；
②当，即时，
∴，解得或（舍去）
综上所述，为所求的值
42．解：（I）由，得
或
∴内的整点在直线和上，记直线为l，l与直线的交点的纵坐标分别为，则
（II）
∴当时，，且
是数列中的最大项，故
43．（Ⅰ） 解：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为 ( http: / / wxc. )
（Ⅱ）解：设，　　　①
　　　　　　　　②
当时，①式减去②式，
得，
( http: / / wxc. )
这时数列的前项和 ( http: / / wxc. )
当时， ( http: / / wxc. ) 这时数列的前项和 ( http: / / wxc. )
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
( http: / / wxc. ) 　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因为
( http: / / wxc. )
所以③式成立 ( http: / / wxc. )
因此，存在，使得对任意均成立 ( http: / / wxc. )
44．解：（I）
（II）假设符合条件的k(k∈N*)存在，
由于 ∴当k为正奇数时，k + 27为正偶数
由 （舍）
当k为正偶数时，k + 27为正奇数，
由 即（舍）
因此，符合条件的正整数k不存在
（III）将不等式变形并把代入得
设
又，
45．解：（Ⅰ）由
，，
由题意知：的两根，
（Ⅱ），
为等差数列，，，
经检验时，是等差数列，
（Ⅲ）
46．⑴由已知条件得， ①
当时，， ②
①－②得：，即，
∵数列的各项均为正数，∴（），
又，∴；
∵，
∴，∴；
⑵∵，
∴，
，
两式相减得，
∴．
47．解：（1）由
相减得：是等比数列
（2），
（3），
①
②
①－②得：，
，
所以：
48．解： （1）根据对一切实数恒成立，
令，可得，；
（2）设，则，解得
又恒成立，即恒成立，
，解得，，
（3）由（2）得，
49．（Ⅰ）解：依题意，，
所以，解得，或，符合题意.
（Ⅱ解不等式，即， 得
所以，要使成立，则
（1）当时，，
而，即，不满足题意.
（2）当时，，，，满足题意.
综上，.
（Ⅲ）解：构造数列：， . 那么 . 不妨设取，
那么，，，，
. 由，可得， （，）.
因为，所以.
又，所以数列是无穷数列，因此构造的数列符合题意.
50．解：（Ⅰ）因为．所以．
令，得，即．
（Ⅱ）
又
两式相加
．
所以，
又．故数列是等差数列．分
（Ⅲ）
所以
20070209
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