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2024-2025学年九年级数学期中模拟试卷
一、选择题（每题3分，共30分）。
1. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举行，北京将成为历史上第一座既
举办过复奥会，又举办过冬奥会的城市，下面的图形是各届冬奥会会徽中的部分图案，其
中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.抛物线，下列说法正确的是( )
A．开口向下，顶点坐标（2，3） B．开口向上，顶点坐标（2，–3）
C．开口向下，顶点坐标（–2，3） D．开口向上，顶点坐标（–2，–3）
4.如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，若∠COD =40°，则∠BOC的度数为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5.如图的直径为26，弦的长为24，且，垂足为，则的长为（ ）
A. 25 B. 8 C. 5 D. 13
6.如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB=50°,若P为弧AB上一点,∠AOP=53°,则∠POB的度数为（　　）
A．25° B．47° C．53° D．37°
7．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（　　）
A．x﹒(60＋x)＝864 B．x﹒(60－2x)＝864
C．x﹒(30－x)＝864 D．x﹒(60－x)＝864
第4题图 第5题图 第6题图
8. 设A（–2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线上的三点，则y1，y2，
y3的大小关系为( )
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y2>y1 D．y3>y1>y2
9.二次函数y＝的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0 B．k≤0 C．k≤0且k≠－1 D．k＜0且k≠－1
10．老师给出了二次函数y＝≠0）的部分对应值如表，同学们讨论得出了下列结论，其中不正确的是（　　）
x … －3 －2 0 1 3 5 …
y … 7 0 －8 －9 －5 7 …
A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．方程＝0无实数根
C．当－2＜x＜4时，y＜0 D．若是该抛物线上的两点，则
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）。
11.在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是________．
12.二次函数的图像向右平移2个单位后图像的函数表达式为________．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为　 　°．
14. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
15. 已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则第三边长是_______．
16.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为_______．
第13题图 第14题图 第16题图
三．解答题（共9大题，共72分）
17. （4分）解下列方程：．
18. （6分）如图，在平面直角坐标系中，．
（1）在图中画出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
（2）在图中画出与关于原点对称的图形，并写出点的坐标．
19.（6分）“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为8米，净高CD为8米，求此隧道单心圆的半径OA．
20. （8分）2020年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2022年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2023年保持年平均增长率不变，求2023年该县将投入“扶贫工程”多少万元？
21.（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．
（1）求证：．
（2）若，，求BD．
22.(8分) 已知关于x的一元二次方程＝0．
（1）求证：不论m取何实数，若该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若、是这个一元二次方程的两个根，求的最小值．
.
23.（10分）如图，⊙O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求点O到弦BD的距离．
（3）求CD的长。
24.（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝20cm，点D为△ABC内一点，AD＝12cm，连接BD，
（1）将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°，画出旋转之后的三角形△ACE；
（2）连接DE交AC于点F.
①若点B、D、E三点共线，求∠FEC的度数．
②若∠BAD＝15°，求CF的长．
25．（12分）已知二次函数y＝其中m≠0．
（1）若二次函数经过(－1，6)，求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当－1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点当时，总有求a的取值范围．
答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数
答案 C D A C B B D A C D
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11. (2.-3) _. 12. 13. 60° _.
14.. 15. 5 ___. 16. ___.
三．解答题（本大题7小题，满分47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
解下列方程：．
解：
∴
∴，
18.解： (1)如图所作：
（2）如图所作：
19. 解：∵CD为高，
∴根据垂径定理：CD平分AB，
又∵路面AB宽为8米，
则有：AD＝4米．
设圆的半径是x米，
在Rt△AOD中，有＝
即：＝
解得：x＝5，
即此隧道单心圆的半径OA的长度是5米．
20.解：（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x,
依题意得：=144,
解得：=0.2==-2.2(不合题意，舍去）．
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%．
(2)144×(1+20%)=144×1.2=172.8(万元）．
答：预计2023年该县将投入“扶贫工程"172.8万元．
21.（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴=
∵点C是劣弧BD的中点，
∴=
∴=即=
∴AB=AD；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°,
∵∠ACD=60°,
∴∠DAC=30°,
∴∠DAB=60°,
∵AB=AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AD=．
22． （1）证明：∵Δ＝
＝
＝
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得＝＝m，
∴＝＝＝＝
∴的最小值是3．
23.解：(1)△ABD是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴＝
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）过O作OE⊥DB于E，如图所示：
则∠OEB=90°,
∵AB=10cm,
∴OB==5(cm),
由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°,
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OE==
即点O到弦BD的距离为
（3）过B作BF⊥CD于F，如图所示：
则∠BFC=∠BFD=90°,
∵∠ACB=90°,
∴BC===8(cm),
∵∠BCD=45°,
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴CF=BF==
由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，
∴BD==
∴DF===
∴CD=CF+DF==．
24.解：（1）如图所作△ACE
（2）由旋转的性质得：∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE，
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠AEC=∠BDA,
∵点B、D、E三点共线，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-45°=135°,
∴∠FEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°;
（2）过A作AH⊥DE于H，
∴AH＝＝
∵∠BAD＝15°，
∴∠FAH＝90°－∠BAD－∠DAH＝30°，
∴cos30°＝＝
∴AF＝
∴CF＝AC－AF＝．
25． 解：（1）把(－1，6)代入函数解析式得，
m＋2m＋3＝6，
∴m＝1，
∴函数解析式为：y＝
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝＝
∴抛物线的顶点为(1，3－m)，
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N(1，3－m)，
∵当x＝－1时，y＝3m＋3，
当x＝2时，y＝3，
且m＞0，
∴3m＋3＞3，
∴最高点M(－1，3m＋3)，
∴3m＋3＝6，
∴m＝1，
代入M点和N点坐标得：M(－1，6)，N(1，2)；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当时，总有
此时a＋2≤1，
∴a≤－1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当时，总有
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤－1；当m＜0时，a≥1．
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