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菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试
高三数学试题
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
4. “函数在上单调递增”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，若直线过原点，则其斜率为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
7. 自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：，其中为剪切应力，为黏度，为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（ ）
A. ①和④ B. ③和④ C. ③和② D. ①和②
8. 已知函数，点在曲线上，则（ ）
A. 有最大值为，最小值为1 B. 有最大值为0，最小值为
C. 有最大值0，无最小值 D. 无最大值，有最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转弧度，记表面积增加量为，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 呈周期变化 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题：“所有能被4整除正整数能被2整除”的否定是______．
13. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则______．
14. 已知时，，则正数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记的内角的对边分别为，已知，的面积为．
（1）求；
（2）求的周长．
16. 已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的最大值．
17. 记锐角的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）延长到，使，求．
18. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）设分别为的极大值点和极小值点，记．证明：直线与曲线交于另一点．
19. 已知函数，其中，
（1）证明：；
（2）探究是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试
高三数学试题
1
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4. “
【答案】A
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ABD
10.
【答案】BCD
11【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除
13.【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识求得.
（2）利用三角形的面积公式、余弦定理等知识求得三角形的周长.
【小问1详解】
在中，由，
即，
化简得，又，所以．
【小问2详解】
由，解得，
由余弦定理变形可得
故的周长为．
16. 已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1），
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的单调区间列不等式求解，即得答案；
（2）由x范围，确定范围，设，将函数化为关于t的函数，结合基本不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
令，
解得，
所以的单调递减区间为，．
【小问2详解】
所以，
设，则，故，
所以
当且仅当，即或时等号成立，
故的最大值为0．
17. 记锐角的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）延长到，使，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.
（2）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识.
【小问1详解】
已知，正弦定理得，
则有，
所以，而，
则，
即，锐角中，，则，
由，因此.
【小问2详解】
在中，由正弦定理得①．
在中，由正弦定理得②．
，，得，
由①②可得，
解得．
18. 已知函数．
（1）求单调区间；
（2）设分别为的极大值点和极小值点，记．证明：直线与曲线交于另一点．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后，借助导函数的正负即可得原函数的单调性；
（2）求出直线的方程后，联立直线的方程与曲线，可得，构造函数，结合导数研究单调性后结合零点的存在性定理，可得方程有处外的第三个解，即可得证.
【小问1详解】
令得或，
当时，；
当时，；
故的单调增区间为，单调减区间为；
【小问2详解】
由（1）得，
则直线的方程为，
即，
令，得，
设，
则，
令得，当时，；
当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
因，
存在唯一的，使，所以有且仅有2个零点，
其中，这表明方程0的解集为，
即直线与曲线交于另一点，且的横坐标为．
【点睛】关键点点睛：第二问关键点在于将证明直线与曲线交于另一点转化为证明直线的方程与曲线联立后，消去后所得方程有除外的第三个解.
19. 已知函数，其中，
（1）证明：；
（2）探究是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）没有，理由见解析
【解析】
【分析】（1）构造函数，，根据函数在上的单调性，求即可.
（2）结合（1）的结论，分析函数在上的单调性，即可说明函数的最小值的情况.
【小问1详解】
设函数，其中，则，
令，其中，
所以，，
所以在上单调递增，故，
所以在上单调递增，则，即.
【小问2详解】
由题意可得
因为，则，
由（1）可得，
所以，
因为，
所以
所以对任意的，
故函数在上单调递减，无最小值．
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