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第04讲 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法
(4类热点题型讲练)
目录
【考点一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】 1
【考点二 分类讨论思想在角的计算中的应用】 6
【考点三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 12
【考点四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 18
【考点一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】
例题：（23-24七年级下·四川成都·开学考试）已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为
【变式训练】
1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知线段，点C在直线上，且，点D是的中点，则 ．
2．（23-24七年级上·北京·期末）已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ．
3．（23-24七年级下·山东日照·开学考试）已知三点在同一直线上，线段是线段的中点，且，则线段的长等于 ．
4．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
5．（23-24七年级上·湖北随州·期末）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ．
【考点二 分类讨论思想在角的计算中的应用】
例题：（22-23七年级上·河南南阳·期末）已知，，平分，平分，则 ．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·湖南湘西·期末）已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为 ．
2．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知，平分平分，则的度数是 ．
3．（22-23七年级上·海南三亚·期末）已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ．
4．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ．
5．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ．
【考点三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】
例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．

(1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ；
(2)当时，求t的值；
(3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知点在线段上，点分别是的中点．
(1)若，求线段的长；
(2)若点为线段上任一点，其它条件不变，你能猜想线段与的数量关系吗？并说明你的理由；
(3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出你的结论．
2．（22-23六年级下·山东泰安·期中）（1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求：
①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度；
②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由．
（2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值．
【考点四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由；
【拓广探索】
（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
（4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，已知平分平分．
(1)如图， ___________；
(2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由；
(3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由．
2．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，已知，，平分，平分．
(1)求的度数．
(2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数；
(3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数．
(4)从前面的结果中，你能得出什么结论？
3．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分．
(1)若，则______，______．
(2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由．
(3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系．
4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究
【问题情境】
将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线．
【初步探究】
现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起．
（1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）．
【深入探究】
（2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°．
如果设，请求出图1中的度数．
【类比拓展】
（3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数．
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第04讲 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法
(4类热点题型讲练)
目录
【考点一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】 1
【考点二 分类讨论思想在角的计算中的应用】 6
【考点三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 12
【考点四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 18
【考点一 分类讨论思想在线段的计算中的应用】
例题：（23-24七年级下·四川成都·开学考试）已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为
【答案】27或35
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】根据题意可分当点C在线段上和点C在线段外，且在点A的左边，然后根据线段的中点及线段的和差可进行求解．
本题主要考查线段的和差及线段中点的性质，熟练掌握线段的和差及线段中点的性质是解题的关键．
【详解】解：①如图，
线段，直线上有一点，且，
，
∵为的中点，
，
；
②如图，
线段，直线上有一点，且，
，
∵为的中点，
，
，
综上所述，的长为27或35．
故答案为：27或35．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知线段，点C在直线上，且，点D是的中点，则 ．
【答案】或
【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差
【分析】本题考查的是线段的和差计算，线段中点的性质，灵活运用数形结合思想、掌握线段中点的性质是解题的关键．
分当点C在线段上和点C在线段的反向延长线上两种情况，根据线段中点的定义、结合图形进行计算即可．
【详解】如图1，当点C在线段上时，
∵，，
∴，
∵点D为线段的中点，
∴
∴；
如图2，当点C在线段的反向延长线上时，
∵，，
∴，
∵点D为线段的中点，
∴，
∴，
综上所述，或．
故答案为：或．
2．（23-24七年级上·北京·期末）已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ．
【答案】5或11
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查的是与线段中点有关的线段计算，掌握线段中点的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
分两种情况：（1）当点在线段上时，当点在线段的反向延长线上时，分别画出图形，结合图形利用线段和差求解即可．
【详解】解：（1）当点在线段上时，
，
又，，
点是线段的中点，
；
（2）当点在线段的反向延长线上时，
，
又，，
点是线段的中点，
．
综上，的长为5或11．
故答案为：5或11．
3．（23-24七年级下·山东日照·开学考试）已知三点在同一直线上，线段是线段的中点，且，则线段的长等于 ．
【答案】或
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查了线段的中点运算以及线段的和差运算，分类讨论且结合图形进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵三点在同一直线上，线段是线段的中点，
∴
∵，
∴
如图：
∴
或
故答案为：或
4．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ．
【答案】4或24
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可．
【详解】①如图，，，
∵点D是折线的“折中点”，
∴，
∵点E为线段的中点，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，，，
∵点D是折线的“折中点”，
∴，
∵点E为线段的中点，
∴
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为4或24，
故答案为：4或24．
5．（23-24七年级上·湖北随州·期末）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ．
【答案】 6 或
【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差
【分析】本题主要考查了线段的数量问题、线段的中点的性质、线段的和差等知识点，明确各线段间的关系成为解题的关键．
先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答；分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答．
【详解】解：图中的线段有：共6条线段，
故答案为：6；
∵点为线段的中点，为线段上一点，且，
∴，
∵，
∴点P在的延长线上和点P在的延长线，
如图:当点P在的延长线上时，则，
∵，
∴，解得：，
∴,
∴，
∴；
如图:当点P在的延长线上时，则，
∵，
∴，解得：，
∴,
∴，
∴．
故答案为：或．
【考点二 分类讨论思想在角的计算中的应用】
例题：（22-23七年级上·河南南阳·期末）已知，，平分，平分，则 ．
【答案】或
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键．
分射线在内部和外部两种可能来解答．
【详解】解：当射线在内部时，如图，
， 平分，
，
∵，平分，
∴，
；
当射线在外部时，如图，
， 平分，
，
∵，平分，
∴，
，
故答案为：或．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·湖南湘西·期末）已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为 ．
【答案】或
【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分当在外部时和当在内部时两种情况求解即可．
【详解】当在外部时，如图，
∵，，
∴．
∵是的平分线，
∴．
当在内部时，如图，
∵，，
∴．
∵是的平分线，
∴．
综上可知，的度数为或．
2．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知，平分平分，则的度数是 ．
【答案】或
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，根据题意画出满足条件的两种情况即可求解．
【详解】解：如图所示：第一种情况如下图
∵，
∴
∵平分平分，
∴
∴
第二种情况如图
此时，
故答案为：或
3．（22-23七年级上·海南三亚·期末）已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ．
【答案】或
【知识点】角平分线的有关计算
【详解】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合的度数可求解．
【解答】解：当射线在的内部时，如图，
∵射线平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
当射线在的外部且在射线上方时，如图，
∵射线平分，平分，
∴，
∵，
∴；
当射线在的外部且在射线下方时，如图，
∵射线平分，平分，
∴，
，
，
，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
4．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点G为直线上一点，，将绕点G逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转；在旋转过程中，射线始终平分；当，三条射线中有一条是另外两条射线所成夹角的平分线时，的度数为 ．
【答案】或
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，分平分和平分两种情况进行讨论求解即可．理清角度之间的和差关系，是解题的关键．
【详解】解：如图，当平分时：则：，
∵平分；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为；
当平分时，则：，
∵平分；
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的度数为或；
故答案为：或．
5．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ．
【答案】或或
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键．
分3种情况，根据巧分线定义即可求解．
【详解】解：∵，是的“巧分线”，
则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：
①，此时；
②，此时；
③，此时；
∴的度数为或或．
故答案为：或或．
【考点三 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】
例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．

(1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ；
(2)当时，求t的值；
(3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
【答案】(1)2，；
(2)或；
(3)
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面．
（1）根据点P的运动速度，即可求出；
（2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧；
（3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变．
【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度，
所以当时，的长为2，
因为点 A 对应的有理数为，，
所以点P表示的有理数为；
（2）解：当，要分两种情况讨论，
点P在点B的左侧时，因为，所以，所以；
点P在点B的是右侧时，，所以；
（3）解：MN长度不变且长为5．
理由如下：当在线段上时，如图，

∵M为线段 的中点，N 为线段的中点，
∴，，
∴ ，
∵，
∴．
当在线段的延长线上时，如图，

同理可得：；
综上：．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知点在线段上，点分别是的中点．
(1)若，求线段的长；
(2)若点为线段上任一点，其它条件不变，你能猜想线段与的数量关系吗？并说明你的理由；
(3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出你的结论．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
(3)成立；理由见解析
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查了线段的和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
（1）根据“点M、N分别是的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可；
（2）当C为线段上一点，且M，N分别是的中点，可表示线段、的长度，再利用，则；
（3）点C在的延长线上时，根据M、N分别为的中点，即可求出的长度．
【详解】（1）解：∵，点M是的中点，
∴，
∵，点N是的中点，
∴，
∴，
∴线段的长度为5；
（2）解：．理由如下：
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
∴；
（3）解：成立，理由如下：
当点C在线段的延长线时，如图：
则，
∵M是的中点，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴．
2．（22-23六年级下·山东泰安·期中）（1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求：
①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度；
②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由．
（2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值．
【答案】（1）①，②的长度不会发生变化，理由见解析；（2）
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算：
（1）①根据线段中点的定义，可得，即可求解；
②根据线段中点的定义，可得，即可求解；
（2）根据线段中点的定义，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：（1）①点、分别是线段、的中点，
，，
∴，
，
；
②的长度不会发生变化，理由：
点、分别是线段、的中点，
，，
∴，
，
；
（2）点是线段的中点，
，
，
，
∴，
，
．
3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图（1），已知点C在线段上，且．
(1)若，求线段的长；
(2)若点C为线段上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段 的长；
(3)如图（2），若点C为线段延长线上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段的长．
【答案】(1)12
(2)
(3)
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了线段的和差计算：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，再根据进行求解即可；
（3）先求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：解：∵，，
∴．
4．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置．
【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”．
如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）．
；；．
【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由．
【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值．
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解；
【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解；
【运用概念】
设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，，
则点对应的数为，点对应的数为，即可求解；
【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解；
本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键.
【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点
则点为所求点，如下图：
【认识概念】 ，故不符合题意；
，故不符合题意；
设 ，则，
同理可得：，故符合题意，
故答案为：；
【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，，
则点对应的数为，点对应的数为，
（）当，即，则，
则，
（）当，即，
则，
【拓展提升】存在，理由：
设点对应的数为：，点对应的数为：，
则点、对应的数分别为：，，
则点对应的数为，
而，
则点对应的数为： ，
则 ，
当时，为定值．
【考点四 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由；
【拓广探索】
（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
（4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键．
（1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可；
（2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可；
（3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可；
（4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（1）得，，
，
．
故答案为：；
（3）．理由如下:
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（4）∵平分，
又∵，
．
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，已知平分平分．
(1)如图， ___________；
(2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由；
(3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由．
【答案】(1)45
(2)
(3)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据角平分线的以求出与的度数，然后相减即可求出的度数；
（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出与的度数，然后相减即可得到的度数；
（3）根据前两题的求解思路把具体数据换为、，然后整理即可得出规律．
本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键．
【详解】（1）解： ，，
，
平分，平分，
，
，
；
（2）解：能．过程如下：
，，
，
、分别平分，，
，
，
；
（3）解：能．过程如下：
，，
，
、分别平分，，
，
，
，
即
2．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，已知，，平分，平分．
(1)求的度数．
(2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数；
(3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数．
(4)从前面的结果中，你能得出什么结论？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义
（1）由已知结合图形可求得的度数，再由角平分线的定义可分别求得与的度数，再由角的差的关系即可得结果；
（2）分析与（1）相同；
（3）分析与（1）相同；
（4）设，（为锐角），余下与（1）相同．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（4）解：设，（为锐角），
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
3．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分．
(1)若，则______，______．
(2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由．
(3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系．
【答案】(1)；
，
即，
故．
4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究
【问题情境】
将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线．
【初步探究】
现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起．
（1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）．
【深入探究】
（2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°．
如果设，请求出图1中的度数．
【类比拓展】
（3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数．
【答案】（1），；（2）；；（3）
【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题
【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解；
（2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解；
（3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解．
【详解】解：（1）分别是的角平分线，
∴，
在图2中与重合，
∴，
∵
∴
；
在图3中与重合在一起，
∴，，
∵
∴
；
故答案为：，；
（2）由（1）可得图1中，，
故答案为：；
若，
，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
；
（3）设，
，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
．
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