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第05讲 3.3.1抛物线及其标准方程
课程标准 学习目标
①掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质。 ②了解抛物线在实际问题中的初步应用。 通过本节课的学习，要求掌握抛物线的定义，标准方程及相关的条件，并能应用抛物线的定义解决实际问题
知识点01：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
【即学即练1】（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】由题得抛物线的准线方程为，
所以点P到准线的距离为，
由抛物线的定义得3.
故选：B

知识点02：抛物线的标准方程
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程 （） （） （） （）
图形
焦点
准线
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)焦点为，准线方程为；
(2)焦点为，准线方程为．
【详解】（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上，
所以可得其焦点为，准线方程为；
（2）将化成标准方程为，
可得，且焦点在轴负半轴上，
所以焦点为，准线方程为.
特别说明：
1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).
2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .
3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
题型01抛物线定义的理解
【典例1】（2023秋·陕西西安·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为 ．
【典例2】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为7，则 .
【变式2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则 .
题型02利用抛物线定义求方程
【典例1】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程；
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
题型03抛物线上点到定点距离及最值
【典例1】（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【典例2】（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为 .
题型04抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值
【典例1】（2023秋·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
【典例2】（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .
【变式1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为 ．
题型05根据抛物线方程求焦点和准线
【典例1】2．（2023春·四川·高二统考期末）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）抛物线的准线方程是 ．
【变式1】（2023·青海西宁·统考二模）已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为 .
题型06抛物线的焦半径公式
【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
【变式1】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 .
题型07求抛物线方程
【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）经过点的抛物线的标准方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线同时满足以下三个条件
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点在圆上．
则的方程为 ．（写出一个满足题意的即可），
【变式1】（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离．求抛物线的方程；
题型08抛物线的实际问题
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
【变式1】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）
A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）抛物线C：过点，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ）
10．（2023春·广西·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周长为16
C．的面积为 D．
三、填空题
11．（2023秋·高二课时练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ．
12．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 .
四、解答题
13．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
(2)经过点的抛物线的标准方程.
14．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
15．（2023秋·河南信阳·高二信阳高中校考期末）已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
B能力提升
1．（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．2 D．3
2．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
4．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点是满足的阿氏圆上的任一点，若抛物线的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 .
C综合素养
1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点．
(1)证明：；
(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交．
2．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点，求的值．
第05讲 3.3.1抛物线及其标准方程
课程标准 学习目标
①掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质。 ②了解抛物线在实际问题中的初步应用。 通过本节课的学习，要求掌握抛物线的定义，标准方程及相关的条件，并能应用抛物线的定义解决实际问题
知识点01：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
【即学即练1】（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】由题得抛物线的准线方程为，
所以点P到准线的距离为，
由抛物线的定义得3.
故选：B

知识点02：抛物线的标准方程
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程 （） （） （） （）
图形
焦点
准线
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)焦点为，准线方程为；
(2)焦点为，准线方程为．
【详解】（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上，
所以可得其焦点为，准线方程为；
（2）将化成标准方程为，
可得，且焦点在轴负半轴上，
所以焦点为，准线方程为.
特别说明：
1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).
2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .
3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
题型01抛物线定义的理解
【典例1】（2023秋·陕西西安·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为 ．
【答案】4
【详解】由题意可得，，P纵坐标为，由其解析式可得P横坐标为，
由抛物线定义知.
故答案为：4
【典例2】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由抛物线定义可得：，解得，所以抛物线的标准方程为.
故选：C

【变式1】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为7，则 .
【答案】
【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，
因为点在上，且到直线的距离为，
可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以.
故答案为：.
【变式2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则 .
【答案】/3.5
【详解】由题知：，故由焦半径公式得：.
故答案为：.
题型02利用抛物线定义求方程
【典例1】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），
所以，，
又因为过作圆的切线，
所以切线的方程为，
因为动点到的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，
所以的轨迹方程为．
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程；
【答案】
【详解】
由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，
所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
【答案】或．
【详解】解：∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，
∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．
∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．
∴抛物线的方程为，
又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为②．
综上，得动点M的轨迹方程为或．
题型03抛物线上点到定点距离及最值
【典例1】（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知点A是抛物线上的点，点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】设，则，则，
所以当时，取得最小值．
故选：A
【典例2】（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 .
【答案】
【详解】设，则，
因为，
所以
，当时取得最小值4，
故答案为：4
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）动点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【详解】设，则，当时，取得最小值，最小值为
故选：B
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为 .
【答案】3
【详解】因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设，
设圆的圆心坐标为：，半径为1，
因此，当时，，
所以长度的最小值为，
故答案为：
题型04抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值
【典例1】（2023秋·陕西·高二校联考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
【答案】C
【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为，
记抛物线的准线为，作于，如图所示：
因为，，
所以当，，共线时，有最小值，最小值为.
故选：C.
【典例2】（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故，
如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立.
故选：C
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .
【答案】/
【详解】
抛物线的准线方程为，
过点作垂直准线于点，
显然，当平行于轴时，
取得最小值，此时，
此时
故答案为:.
【变式1】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：，
所以，而
所以.
当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1.
故选：B
【变式2】（2023秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】抛物线的准线方程为，
过作准线的垂线，垂足为，则，
所以.当且仅当与准线垂直时，取等号.
所以的最小值为.

故答案为：.
题型05根据抛物线方程求焦点和准线
【典例1】2．（2023春·四川·高二统考期末）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由得，故焦点为，
故选：B
【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）抛物线的准线方程是 ．
【答案】
【详解】因为抛物线的方程为，
所以抛物线的准线方程是.
故答案为：.
【变式1】（2023·青海西宁·统考二模）已知函数（且）的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为 .
【答案】x=-1
【详解】因为函数 经过定点 ，所以函数 经过
定点，将它代入抛物线方程得 ，解得，
所以其准线方程为；
故答案为： .
题型06抛物线的焦半径公式
【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，
因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得.
故选：C.
【典例2】（多选）（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
【答案】BD
【详解】由题可知，
因为点在抛物线上，且，
所以，
解得，
所以，
故选：BD.
【变式1】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，，所以
又知抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可知，，整理得，解得，
所以的焦点坐标为，
故选：C．
【变式2】（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）抛物线上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 .
【答案】1
【详解】抛物线，，设点，
依题意可知，，得，
故答案为：
题型07求抛物线方程
【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，抛物线的准线方程为，
即其焦点在轴负半轴上，且，得，
故其标准方程为：.
故选：D.
【典例2】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）经过点的抛物线的标准方程是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【详解】设抛物线的方程为或，
将点代入，可得或，
解得或，
故抛物线的标准方程为或，
故选：C
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线同时满足以下三个条件
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点在圆上．
则的方程为 ．（写出一个满足题意的即可），
【答案】（答案不唯一，只需填写或或或中的任意一个）
【详解】由已知得：抛物线的焦点在坐标轴上；
若抛物线的焦点在轴上，将代入可得：，
抛物线的焦点为，；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为；
若抛物线的焦点在轴上，将代入可得：或，
抛物线的焦点为，；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为；
则可同时满足三个条件的抛物线的方程为或或或．
故答案为：（答案不唯一，只需填写或或或中的任意一个）．
【变式1】（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意得 ，
因为，所以.
又，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：
，，，所以
可得，由抛物线的定义得
所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是．
故选：B
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离．求抛物线的方程；
【答案】
【详解】因为抛物线上一点到焦点的距离，
所以抛物线的定义得，
所以 ，解得．
所以抛物线的方程为；
题型08抛物线的实际问题
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．

设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，
解得，则，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，
则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．
故选：C
【典例2】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
【答案】3.8
【详解】由题意，如图建系：
则，，，，
如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，
故抛物线方程为，
将代入抛物线方程，可得，
.
故答案为：3.8.
【变式1】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为，
又抛物线过点，则，解得，
则抛物线的方程为，当时，，
故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.
故选：D
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）
A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
【答案】C
【详解】依题意知，抛物线，即，
因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，
所以抛物线方程为，
令，则，解得，
所以校门位于地面宽度最大约为米.
故选：C.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由抛物线，可得，所以，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C.
2．（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）抛物线C：过点，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】抛物线C：过点，则，解之得，
则抛物线C方程为，则C的准线方程为
故选：B
3．（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，结合图形可知，，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是.
故选：B
4．（2023春·湖北·高二十堰一中校联考期中）已知的顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点F，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【详解】由题意得,，设，，，
点是的重心，，，
根据抛物线的定义可得.
故选：B.
5．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】抛物线即的开口向上，将其绕顶点顺时针方向旋转，得到的抛物线，开口向右，其方程为，则，
故选：B.
6．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【详解】点在C：上，设，
而抛物线的焦点坐标为，故，
则.
故选：D
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【详解】抛物线的准线方程为y＝－1，焦点为，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，，
由抛物线的定义知，因为，
所以△PFQ为等边三角形，所以，又，
所以，n＝3，所以点P的坐标为，
所以，所以．
故选：C．

8．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

直线的方程为，
联立可得，即点，
所以，因为，所以，
所以直线的方程为，抛物线，设点，，
联立可得，
由韦达定理可得，则
故选：D
二、多选题
9．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点并且倾斜角为0°的直线方程为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点关于的对称点坐标为
D．抛物线的准线方程是
【答案】BC
【详解】对A，过点并且倾斜角为0°的直线方程为，故错误；
对B，双曲线的渐近线方程为，故正确；
对C，设点关于的对称点坐标为，则由解得，故正确；
对D，抛物线，，准线方程为，故错误.
故选：BC
10．（2023春·广西·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周长为16
C．的面积为 D．
【答案】AB
【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得．，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，．
设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．
故选：AB

三、填空题
11．（2023秋·高二课时练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ．
【答案】
【详解】当时，准线，由已知得，所以，所以抛物线方程为．
故答案为：.
12．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，与x轴相交于点M，若，，则 .
【答案】4
【详解】
由题意易知，可设，
由，可得Q为AM中点，则，
又由可得:，
即，由题意可知直线AB、BM的斜率存在，
故，
联立抛物线与直线AB可得
所以有
由抛物线定义得，
故答案为：4
四、解答题
13．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
(2)经过点的抛物线的标准方程.
【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或.
14．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，
且该抛物线以为焦点，所以所以，
所以曲线的方程为.
（2）若直线垂直于轴，则AB的中点在轴上，不满足题意，
若直线不垂直于轴，设，且，
因为在曲线上，所以，两式相减得，
，所以，
即，所以的方程为整理得.
15．（2023秋·河南信阳·高二信阳高中校考期末）已知抛物线的准线与x轴交于点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点M的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）的准线过
故，则
抛物线方程为
（2）设切线方程为
与抛物线方程联立有
故
故直线l的方程为：或
B能力提升
1．（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】由题意知，，设，则，
所以，

故当时，，
所以.
故选：B.
2．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】因为圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，
而抛物线的通径与轴垂直，
所以圆的这条通径与轴垂直，
且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，
因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的通径的右端点为，
即抛物线经过点，则，即.
故选：C.
【详解】设，由阿氏圆的定义可得，
即，化简得.
所以，所以点在圆心为，半径为的圆上，
因为抛物线的焦点为.所以，
因为.所以点在圆内，
因为点到与圆心的距离为，
所以过点的最短弦长为，过点的最长弦长为，
所以过点的最长弦与最短弦的和为.
故答案为：
C综合素养
1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点．
(1)证明：；
(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：因为点到抛物线焦点的距离为，
所以，解得或，
又因为，
所以，故抛物线方程为，
当直线轴时，可得，
此时，所以；
当直线与轴不垂直时，设的方程为，设，
代入得，
则，，
所以，
所以，
综上，．
（2）证明：由于关于轴对称，结合（1），故的坐标为，
所以直线的方程为，即，
由（1）得，所以，
可得直线恒过点，
因为圆的方程，且，
所以点在圆内部，
所以直线恒与圆相交．
2．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；
(2)若直线l经过点，求的值．
【答案】(1)6
(2)
【详解】（1）设，，线段中点设为，则，
由题意，抛物线的焦点为，，
根据抛物线的定义得；
（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线斜率必存在，设为，
与抛物线联立得：，，得，
所以.
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