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几何最值之将军饮马
什么是将军饮马——传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题。
如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮（yìn）马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？
据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今；为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究:
一、两定一动求最值
类型一：两定一动求最小值——如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度——连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：
如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段——作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P。
【课堂练习】
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为　　．
2. 如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为（ ）
A. B. C. 12 D.
3.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？
3. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,BC＝ AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF.
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30 ，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值.
4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE
（1）说明：AE＝CE＝BE；
（2）若DA⊥AB,BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB＋PC最小，并求出此时PB＋PC的值.
类型二：两定一动求最大值——如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：
如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：
如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？
构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：
【课堂练习】
1.如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 2
2.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60 ，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 .
二、一定两动求最值
类型一：三段线段求最值——如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？
别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值。
【课堂练习】
1.如图，在∠MON的边OM,ON上分别有点A,D，且∠MON＝30 ，OA＝10，OD＝6，B，C两点分别是边OM,ON上的动点，则AC＋BC＋BD的最小值为 .
2.如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90 ，∠C＝90 ，∠D＝60 ，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（ ）
A. B. C. 6 D. 3
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
类型二：两段线段求最值——如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？
作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.
【课堂练习】
1.如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠A＝120 ，点P,Q,K分别为线段BC,CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为 .
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分
别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是　　．
3.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4 ，∠ABC＝45 ，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM＋MN的最小值.
类型三——两定两动。
1.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝　　时，四边形APQE的周长最小．
2.如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为　　．

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