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第10练　二次函数与幂函数
一、单项选择题
1．(★)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m的值(　　)
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
2．(★)(2023·重庆模拟)已知二次函数y＝x2－4x＋a的两个零点都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(3，＋∞)
C．(3,4) D．(－∞，3)
3．(★)(2024·鞍山模拟)“幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm在(0，＋∞)上单调递增”是“函数g(x)＝2x－m2·2－x为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(★★)(2023·郴州模拟)“<”是“－2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(★★)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝对任意两个不相等的实数x1，x2∈[2，＋∞)，都有不等式>0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B.
C. D.
6．(★★★)已知a，b，c均为正实数，且b≠1，若abA．a＝bC．a二、多项选择题
7．(★)(2023·淄博模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．b>0 B．c>0
C．b2－4ac<0 D．a＋b＋c>0
8．(★★★)(2024·福州模拟)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有(　　)
A．存在实数k，使得方程无实数根
B．存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根
C．存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根
D．存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根
三、填空题
9．(★★)(2023·忻州模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝__________.
①y＝f(x)－1为奇函数；
②f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当0.
10．(★★★)(2023·南通模拟)函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－1)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(1－x)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤，则m的最大值是__________．
四、解答题
11．(★★)(2023·长春模拟)已知二次函数f(x)＝x2－2x－3.
(1)令g(x)＝f(x)＋a，若函数g(x)的图象与x轴无交点，求实数a的取值范围；
(2)设函数h(x)＝x＋＋b，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈(1,5]，使得f(x1)＝h(x2)，求实数b的取值范围．
12．(★★)(2023·丰台模拟)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a,2a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)当x∈时，f(x)>4mx＋1恒成立，求实数m的取值范围．
第10练　二次函数与幂函数（解析版）
一、单项选择题
1．(★)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m的值(　　)
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
答案　B
解析　方法一　因为最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f ＝b－中取，所以最值之差一定与b无关，与a有关．
方法二　令g(x)＝x2＋ax，
则M－m＝(g(x)max＋b)－(g(x)min＋b)＝g(x)max－g(x)min，
故M－m与b无关．
又当a＝1时，g(x)max－g(x)min＝2，
当a＝2时，g(x)max－g(x)min＝3，
故M－m与a有关．
2．(★)(2023·重庆模拟)已知二次函数y＝x2－4x＋a的两个零点都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(3，＋∞)
C．(3,4) D．(－∞，3)
答案　C
解析　二次函数y＝x2－4x＋a，对称轴为x＝2，图象开口向上，
在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
要使二次函数f(x)＝x2－4x＋a的两个零点都在区间(1，＋∞)内，
需解得3故实数a的取值范围是(3,4)．
3．(★)(2024·鞍山模拟)“幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm在(0，＋∞)上单调递增”是“函数g(x)＝2x－m2·2－x为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
所以解得m＝1，
当m＝1时，g(x)＝2x－2－x，x∈R，
则g(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立；
若函数g(x)＝2x－m2·2－x为奇函数，
则g(x)＝－g(－x)，即2x－m2·2－x＝－(2－x－m2·2x)＝m2·2x－2－x，
解得m＝±1，故必要性不成立．
4．(★★)(2023·郴州模拟)“<”是“－2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为y＝是定义在[0，＋∞)上的增函数，又<，
所以解得－1≤a<，
因为由－1≤a<可推出－2故“<”是“－25．(★★)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝对任意两个不相等的实数x1，x2∈[2，＋∞)，都有不等式>0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B.
C. D.
答案　C
解析　由题意可知f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
令t(x)＝ax2－2x－5a＋8，
则函数t(x)为二次函数，在区间[2，＋∞)上单调递增，且当x∈[2，＋∞)时，t(x)≥0恒成立，
∴解得a∈.
6．(★★★)已知a，b，c均为正实数，且b≠1，若abA．a＝bC．a答案　A
解析　∵a，b，c均为正实数，且b≠1，ab∴a<1，c<1，
若b>1，则logbc<0，不符合题意，故0∴y＝logbx是减函数，又logbc<1＝logbb，
∴c>b，故B，C错误；
若a＝b，则ab＝bb，ca＝cb，又y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，ab∴a＝b若bac>aa，ca∴ab>ca，不符合题意，故D错误．
二、多项选择题
7．(★)(2023·淄博模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．b>0 B．c>0
C．b2－4ac<0 D．a＋b＋c>0
答案　ABD
解析　由f(x)的图象开口向下可知，a<0，对称轴为x＝－>0，所以b>0，故A正确；
由二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与y轴的交点可知，c>0，故B正确；
f(x)与x轴有两个交点，则Δ＝b2－4ac>0，故C错误；
由图可知，当00，故f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．
8．(★★★)(2024·福州模拟)关于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命题正确的有(　　)
A．存在实数k，使得方程无实数根
B．存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根
C．存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根
D．存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根
答案　AB
解析　设t＝x2－2x，方程化为关于t的二次方程t2＋2t＋k＝0(*)．当k>1时，方程(*)无实数根，故原方程无实数根．
当k＝1时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有2个相等的实数根x＝1.
当k<1时，方程(*)有2个实数根t1，t2(t1－1.
因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1无实数根，x2－2x＝t2有2个不相等的实数根．
综上，A，B项正确，C，D项错误．
三、填空题
9．(★★)(2023·忻州模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝__________.
①y＝f(x)－1为奇函数；
②f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当0.
答案　－x3＋1(答案不唯一)
解析　取f(x)＝－x3＋1，则y＝f(x)－1＝－x3，易知函数y＝－x3为奇函数，满足①；
由y＝－x3在(0，＋∞)上单调递减，可知f(x)＝－x3＋1在(0，＋∞)上单调递减，满足②；
对于③，f －
＝－3＋1－
＝－3
＝
＝
＝，
所以当0F －>0，
即f >，满足③.
10．(★★★)(2023·南通模拟)函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－1)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(1－x)，若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤，则m的最大值是__________．
答案　
解析　因为f(x)＝2f(x－1)，又当x∈(0,1]时，f(x)＝－2＋∈，
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(2－x)＝－22＋∈，
显然当0当x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝－42＋1∈[0,1]，
当x∈(2,3]时，由f(x)＝，即－42＋1＝，解得x＝或x＝，
结合函数图象可得对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤，必有m≤，
所以m的最大值是.
四、解答题
11．(★★)(2023·长春模拟)已知二次函数f(x)＝x2－2x－3.
(1)令g(x)＝f(x)＋a，若函数g(x)的图象与x轴无交点，求实数a的取值范围；
(2)设函数h(x)＝x＋＋b，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈(1,5]，使得f(x1)＝h(x2)，求实数b的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝x2－2x－3，所以g(x)＝f(x)＋a＝x2－2x－3＋a，
又函数g(x)的图象与x轴无交点，则一元二次方程g(x)＝0无实根，
所以Δ＝(－2)2－4(－3＋a)＝－4(a－4)<0，解得a>4，
所以实数a的取值范围是(4，＋∞)．
(2)因为对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈(1,5]，使得f(x1)＝h(x2)，
等价于f(x)在[1,4]上的值域是h(x)在(1,5]上值域的子集，
因为f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
所以f(x)在[1,4]上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝－4，f(x)max＝f(4)＝5，
所以f(x)在[1,4]上的值域为[－4,5]，
而对于h(x)＝x＋＋b，
由对勾函数的性质可得h(x)在(1,5]上单调递减，又h(1)＝26＋b，h(5)＝10＋b，
则h(x)在(1,5]上的值域为[10＋b,26＋b)，
所以[－4,5] [10＋b,26＋b)，则有解得－21所以实数b的取值范围为(－21，－14]．
12．(★★)(2023·丰台模拟)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a,2a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)当x∈时，f(x)>4mx＋1恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)根据题意，二次函数f(x)满足f(0)＝f(2)＝3，可得函数f(x)的对称轴为x＝1，
又函数f(x)的最小值为1，可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，
又因为f(0)＝3，可得f(0)＝a＋1＝3，解得a＝2，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由函数f(x)＝2(x－1)2＋1，其对称轴为x＝1，
要使得函数f(x)在区间[2a,2a＋1]上不单调，
则满足2a<1<2a＋1，解得0故实数a的取值范围为.
(3)由函数f(x)＝2x2－4x＋3，
若在上，f(x)>4mx＋1恒成立，
则2x2－4x＋3>4mx＋1在上恒成立，
即x2－2(1＋m)x＋1>0在上恒成立，
设g(x)＝x2－2(m＋1)x＋1，则g(x)的图象开口向上，对称轴为x＝m＋1，
又g(x)>0在上恒成立，即g(x)min>0，
当m＋1≤－，即m≤－时，g(x)在上单调递增，
则g(x)min＝g＝2－2(m＋1)×＋1>0，解得m>－，则－当－g(x)min＝g(m＋1)＝(m＋1)2－2(m＋1)2＋1>0，解得－2当m＋1≥2，即m≥1时，g(x)在上单调递减，
g(x)min＝g(2)＝22－2(m＋1)×2＋1>0，解得m<(舍去)，
综上，实数m的取值范围为.第11练　指数与指数函数
一、单项选择题
1．(★)(2023·南阳模拟)下列运算中错误的是(　　)
A.＝－ B.＝π－e
C．＝ D．＝x
2．(★)(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　)
3．(★)(2024·大连模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c4．(★★)(2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝x－2 023x，a＝，b＝－3，c＝，则(　　)
A．f(a)C．f(b)5．(★★)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
6．(★★)(2023·盐城模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[－1,0) D．(－∞，1]
二、多项选择题
7．(★★)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，<0
8．(★★)(2023·南阳模拟)设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定不成立的是(　　)
A．3c≤3b B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
三、填空题
9．(★)计算下列各式：
(1)－－2＋－(＋1)0 ＝________；
(2)2××＝____________.
10．(★)(2024·南通模拟)已知函数f(x)＝a·x＋b(a≠0)的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则2a＋b＝________.
11．(★★)若函数f(x)＝2(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为____________．
四、解答题
12．(★★)已知f(x)＝1＋是R上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若不等式f(mx2－2x)＋f(mx＋2)≥0对x∈R恒成立，求m的取值范围．
第11练　指数与指数函数（解析版）
一、单项选择题
1．(★)(2023·南阳模拟)下列运算中错误的是(　　)
A.＝－ B.＝π－e
C．＝ D．＝x
答案　A
解析　对于A，因为－>0，所以a<0，则＝－，A错误；
对于B，因为π－e>0，所以＝π－e，B正确；
对于C，＝＝，C正确；
对于D，＝x9－8＝x，D正确．
2．(★)(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　)
答案　C
解析　f(x)＝(x－a)(x－b)的图象与x轴的交点的横坐标为方程(x－a)(x－b)＝0的两个根，由(x－a)(x－b)＝0可得两根为a，b，
又a>b，所以a>1，－1由a>1可知，y＝ax为增函数，
又由－1分析选项可得C符合这两点．
3．(★)(2024·大连模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c答案　B
解析　因为a＝，b＝＝，且函数y＝2x为增函数，
所以>，即a>b，
又a＝＝，c＝＝，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以<，即a综上所述，b4．(★★)(2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝x－2 023x，a＝，b＝－3，c＝，则(　　)
A．f(a)C．f(b)答案　B
解析　因为a＝＝－log332＝－2，b＝－3＝－33＝－27，c＝∈(1,2)，所以b因为f(x)＝x－2 023x是R上的减函数，所以f(c)5．(★★)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
答案　A
解析　函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f ＝f ，又<2－<<1，所以f c>a.
6．(★★)(2023·盐城模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”．已知f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[－1,0) D．(－∞，1]
答案　C
解析　因为f(x)＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，
所以存在实数x0，使得－a－1＝a＋1，
所以方程－ae－x－1＝aex＋1在R上有解，
所以方程－＝a在R上有解，
又ex＋e－x＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，
所以－1≤a<0，
所以a的取值范围是[－1,0)．
二、多项选择题
7．(★★)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，<0
答案　AC
解析　对于A，由函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C，设y＝，则3x＝，所以>0，即<0，解得－1即函数f(x)的值域为(－1,1)，故选项C正确；
对于D，对 x1，x2∈R，且x1≠x2，<0，可得函数f(x)为减函数，
而f(x)＝＝1－为增函数，故选项D错误．
8．(★★)(2023·南阳模拟)设f(x)＝|3x－1|，cf(a)>f(b)，则下列关系式中一定不成立的是(　　)
A．3c≤3b B．3c>3b
C．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2
答案　BC
解析　因为f(x)＝|3x－1|＝则f(x)的图象如图所示，
因为c若0f(a)>f(b)矛盾，
同理，c所以只有c<0所以3c<3b,3c<1,3a>1，故B一定不成立，A成立；
又f(c)－f(a)>0，即1－3c－(3a－1)>0，所以3c＋3a<2，故D一定成立，C一定不成立．
三、填空题
9．(★)计算下列各式：
(1)－－2＋－(＋1)0 ＝________；
(2)2××＝____________.
答案　(1)　(2)10
解析　(1)－－2＋－(＋1)0
＝－22＋－1
＝22－22＋－1
＝.
(2)2××＝
＝＝
＝＝10.
10．(★)(2024·南通模拟)已知函数f(x)＝a·x＋b(a≠0)的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则2a＋b＝________.
答案　－2
解析　∵f(x)＝a·x＋b(a≠0)的图象过原点，
∴a＋b＝0，又f(x)的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，
∴b＝2，则a＝－2，
∴2a＋b＝－2.
11．(★★)若函数f(x)＝2(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为____________．
答案　1
解析　根据f(1＋x)＝f(1－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，可知a＝1，从而可以确定函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，从而有[m，＋∞) [1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.
四、解答题
12．(★★)已知f(x)＝1＋是R上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若不等式f(mx2－2x)＋f(mx＋2)≥0对x∈R恒成立，求m的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝1＋是R上的奇函数，
∴f(0)＝1＋＝0，可得b＝－1，
经检验，此时f(x)＝1－＝为奇函数，满足题意．
∴f(x)＝1－.
(2)∵f(x)＝1－，
∴f(x)在R上单调递增，
又f(x)为R上的奇函数，
∴由f(mx2－2x)＋f(mx＋2)≥0，
得f(mx2－2x)≥－f(mx＋2)＝f(－mx－2)，
∴mx2－2x≥－mx－2，即mx2＋(m－2)x＋2≥0恒成立，
当m＝0时，不等式－2x＋2≥0不可能对x∈R恒成立，故m＝0不符合题意；
当m≠0时，要满足题意，需
解得6－4≤m≤6＋4.
∴实数m的取值范围为{m|6－4≤m≤6＋4}．第12练　对数与对数函数
一、单项选择题
1．(★)函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
2．(★)(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A．cC．a3．(★)(2023·湖南五市十校联考)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1C．0D．04．(★)若loga<2，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪(1，＋∞)
5．(★★)(2023·保定模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．[－4,4] D．(－4,4]
6．(★★)若x2－loga(x＋1)<2x－1在x∈内恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7．(★★)(2023·深圳模拟)星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，－0.46等星的星等值为－0.46.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2－m1＝－2.5lg (E1>0，E2>0)，关于星等下列结论正确的是(　　)
A．星等值越小，星星就越亮
B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍
C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10－1
D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10－4
8．(★★)(2024·厦门模拟)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A．f(2 022)＋f(－2 023)＝0
B．函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线y＝x与函数f(x)的图象有两个交点
D．函数f(x)的值域为(－1,1)
三、填空题
9．(★★)f(x)＝log24x·，x∈的最大值为________________．
10．(★★★)(2023·湖州模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－mx＋1，若g(x)存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是____________．
四、解答题
11．(★)计算下列各式的值：
(1)；
(2)log3·
12．(★★★)(2023·上海模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝f(4x)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)<－1；
(2)对任意的x∈(0,2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围．
第12练　对数与对数函数（解析版）
一、单项选择题
1．(★)函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
答案　A
解析　由y＝log0.5x得y＝log2－1x ＝－log2x，
所以函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象关于x轴对称．
2．(★)(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A．cC．a答案　C
解析　a＝log523．(★)(2023·湖南五市十校联考)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1C．0D．0答案　D
解析　由题图知，函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以当f(x)＝0时，x＝1＋b>0，即b>－1，
又因为函数图象与y轴有交点，所以－b>0，即b<0，所以－14．(★)若loga<2，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪(1，＋∞)
答案　D
解析　因为loga<2，
所以loga当0所以a2<，可得0当a>1时，y＝logax为增函数，
所以a2>，可得a>1，
综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．
5．(★★)(2023·保定模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．[－4,4] D．(－4,4]
答案　C
解析　令g(x)＝x2－ax＋3a，
∵f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在(2，＋∞)上单调递减，
∴g(x)在(2，＋∞)上单调递增，且恒大于0，
∴≤2且g(2)≥0，
∴－4≤a≤4.
6．(★★)若x2－loga(x＋1)<2x－1在x∈内恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由x2－loga(x＋1)<2x－1在x∈内恒成立，
可得x2－2x＋1结合二次函数与对数函数的性质可得，当0当a>1时，令f(x)＝x2－2x＋1，
g(x)＝loga(x＋1)，
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)，g(x)的大致图象，如图所示，
令f ≤g，
得≤loga，
即a≤，解得a≤4，
所以要使x2－loga(x＋1)<2x－1在x∈内恒成立，
则实数a的取值范围是.
二、多项选择题
7．(★★)(2023·深圳模拟)星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，－0.46等星的星等值为－0.46.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2－m1＝－2.5lg (E1>0，E2>0)，关于星等下列结论正确的是(　　)
A．星等值越小，星星就越亮
B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍
C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10－1
D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10－4
答案　ABD
解析　选项A，若m2则m2－m1＝－2.5lg <0，
即lg >0，
∴>1，
∵E1>0，∴E2>E1，
∴星等值越小，星星就越亮，故A正确；
选项B，当m2＝6，m1＝1时，5＝－2.5lg ，则＝100，故B正确；
选项C，若m2－m1＝－2.5lg <2.5，则lg >－1，即>10－1，故C错误；
选项D，若m2－m1＝－2.5lg >10，则lg <－4，即<10－4，故D正确．
8．(★★)(2024·厦门模拟)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A．f(2 022)＋f(－2 023)＝0
B．函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线y＝x与函数f(x)的图象有两个交点
D．函数f(x)的值域为(－1,1)
答案　AD
解析　由题意知，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，
当x∈[1,2)时，可得x－1∈[0,1)，可得f(x－1)＝log2x，
又因为f((x－1)＋1)＝－f(x－1) f(x－1)＝－f(x)＝log2x f(x)＝－log2x，
所以f(x)＝
又因为函数f(x)为定义在R上的偶函数，所以可作出函数f(x)的图象如图．
对于A，由f(2 022)＋f(－2 023)＝f(2 022)＋f(2 023)
＝f(0)＋f(2 022＋1)＝f(0)＋f(1)
＝f(0)－f(0)＝0，所以A正确；
对于B，由图象可知函数f(x)不是周期函数，所以B错误；
对于C，由图象可知直线y＝x与函数f(x)的图象只有1个交点，所以C错误；
对于D，由图象可知函数f(x)的值域为(－1,1)，所以D正确．
三、填空题
9．(★★)f(x)＝log24x·，x∈的最大值为________________．
答案　
解析　f(x)＝log24x·
＝·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]，
令t＝log2x，因为x∈，则t∈[－1,2]，
则函数f(x)可化为y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
当t＝－时，ymax＝.
10．(★★★)(2023·湖州模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－mx＋1，若g(x)存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是____________．
答案　(－∞，0)∪(0,1)
解析　令g(x)＝f(x)－mx＋1＝0，
∴f(x)＝mx－1.
∴g(x)存在两个不同的零点即函数f(x)的图象和直线y＝mx－1有两个不同的交点.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象和直线y＝mx－1，如图．
当m＝0时，f(x)与y＝mx－1只有一个交点，不符合题意；
当m<0时，f(x)与y＝mx－1恒有两个交点；
当m>0时，令y＝mx－1与f(x)相切，设切点坐标为(a，ln a)，
则切线斜率k＝f′(a)＝，
切线方程为y－ln a＝(x－a)＝x－1，
即y＝x＋ln a－1，
又切线方程为y＝mx－1，∴m＝，
ln a－1＝－1，即ln a＝0，得a＝1，此时m＝1，
∴当0综上，当m∈(－∞，0)∪(0,1)时，g(x)存在两个不同的零点．
四、解答题
11．(★)计算下列各式的值：
(1)；
(2)log3·
解　(1)原式＝＝＝1.
(2)log3·
＝
＝·log5(10－3－2)＝－.
12．(★★★)(2023·上海模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝f(4x)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)<－1；
(2)对任意的x∈(0,2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围．
解　(1)由f(x)<－1，a＝1，得log2(x＋1)<－1＝log2，
则0(2)g(x)＝f(4x)＝log2(4x＋a)(a>0)，
因为对任意的x∈(0,2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)图象的下方，
则f(x)即log2(x＋a)0)在(0,2)上恒成立，2log2(x＋a)log2(x＋a)2整理得x2＋2(a－2)x＋a2－a<0在(0,2)上恒成立，
设m(x)＝x2＋2(a－2)x＋a2－a，x∈(0,2)，
则只需要即可，可得0≤a≤1,
又因为a>0，
所以0一、单项选择题
1．(★)(2023·大连模拟)已知a＝ln 0.99，b＝e0.1，c＝0.99e(其中e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．a2．(★)(2024·湘潭模拟)已知a＝log20.2，b＝log0.53,5c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
3．(★★)(2023·白山模拟)设a＝log53，b＝e－1，c＝log169·log278，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．c4．(★★)设a＝0.30.4，b＝0.40.3，c＝log0.40.3，则a，b，c的大小顺序为(　　)
A．aC．b5．(★★)(2023·石家庄模拟)已知x＝，y＝log45，z＝log34，则x，y，z的大小关系为(　　)
A．y>x>z B．x>y>z
C．z>x>y D．x>z>y
6．(★★★)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
二、多项选择题
7．(★)(2023·惠州模拟)已知x>y>0，则下列结论正确的是(　　)
A．log2(x2＋1)>log2(y2＋1)
B．cos x>cos y
C．(x＋1)3>(y＋1)3
D．e－x＋1>e－y＋1
8．(★★)(2024·开封模拟)已知log2a>log2b，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．2a>2b B．a2>b2
C.＋a>＋b D．aln b>bln a
9．(★★)(2023·哈尔滨模拟)已知函数f(x)为偶函数，f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(－1)＝0.若a＝f(20.7)，b＝f(0.5－0.9)，c＝f(log0.70.9)，则下列结论正确的是(　　)
A．b2>a2 B.<
C.> D．b>a＋c
10．(★★★)(2023·黄冈模拟)已知实数x，y，z满足2x＝3,3y＝4,4z＝5，则下列结论正确的是(　　)
A．y< B．xyz>2
C．y2
三、填空题
11．(★★)(2024·邵阳模拟)已知正实数a，b满足3a＝27b＋log3，则a与3b大小关系为________．
12．(★★★)(2023·天津模拟)已知a，b，c满足2－a＝a＋2，b＋log2b＝－2，c3－c－2＝0，则a，b，c的大小关系为______________．
第13练　指、对、幂的大小比较（解析版）
一、单项选择题
1．(★)(2023·大连模拟)已知a＝ln 0.99，b＝e0.1，c＝0.99e(其中e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．a答案　D
解析　因为0.99<1，所以a＝ln 0.99<0，
因为e>1，所以b＝e0.1>1，
因为0.99<1，所以0所以a<02．(★)(2024·湘潭模拟)已知a＝log20.2，b＝log0.53,5c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
答案　B
解析　∵a＝log20.2＝log2＝－log25，
b＝log0.53＝＝－log23，
且log25>log23>1，
∴－log25<－log23<－1，
∴a∵5c＝，
∴c＝log5＝－log54,0∴－1∴c>b>a.
3．(★★)(2023·白山模拟)设a＝log53，b＝e－1，c＝log169·log278，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．c答案　D
解析　a＝log53>log5＝，b＝e－1＝<，c＝log169·log278＝·＝·＝，
所以b4．(★★)设a＝0.30.4，b＝0.40.3，c＝log0.40.3，则a，b，c的大小顺序为(　　)
A．aC．b答案　A
解析　∵指数函数y＝0.3x，y＝0.4x为减函数，
∴a＝0.30.4<0.30.3<0.30＝1，b＝0.40.3<0.40＝1，
∵幂函数y＝x0.3为增函数，
∴0.30.3<0.40.3，
∴a∵对数函数y＝log0.4x为减函数，
∴c＝log0.40.3>log0.40.4＝1，即c>1，
∴a5．(★★)(2023·石家庄模拟)已知x＝，y＝log45，z＝log34，则x，y，z的大小关系为(　　)
A．y>x>z B．x>y>z
C．z>x>y D．x>z>y
答案　D
解析　∵y＝log45>1，z＝log34>1，
∴＝＝log45·log43≤2＝2＝(log4)2<(log44)2＝1，
即z>y，
∵＝，而＝34＝81>43＝64，即>4，
∴＝ >log34，又＝1<，
即x>z，
综上，x>z>y.
6．(★★★)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
答案　A
解析　因为9m＝10，所以m＝log910，
所以a＝10m－11＝－11＝.
因为log910－log1011
＝－＝＞＝＞0，所以a＞0.
b＝－9＝，
因为log910－log89
＝－＝
＜＝＜0，所以b＜0.
综上，a＞0＞b.故选A.
二、多项选择题
7．(★)(2023·惠州模拟)已知x>y>0，则下列结论正确的是(　　)
A．log2(x2＋1)>log2(y2＋1)
B．cos x>cos y
C．(x＋1)3>(y＋1)3
D．e－x＋1>e－y＋1
答案　AC
解析　对于A，由x>y>0，得x2＋1>y2＋1，又f(t)＝log2t为增函数，
所以log2(x2＋1)>log2(y2＋1)，故A正确；
对于B，由于g(t)＝cos t在(0，＋∞)上不单调，所以cos x与cos y的大小关系无法确定，故B错误；
对于C，由x>y，得x＋1>y＋1，又h(t)＝t3为增函数，所以(x＋1)3>(y＋1)3，故C正确；
对于D，由x>y，得－x＋1<－y＋1，又φ(t)＝et为增函数，所以e－x＋18．(★★)(2024·开封模拟)已知log2a>log2b，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．2a>2b B．a2>b2
C.＋a>＋b D．aln b>bln a
答案　AB
解析　根据题意，得a>b>0.
因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以2a>2b，A选项正确；
因为y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以a2>b2，B选项正确；
对勾函数y＝x＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以＋a与＋b的大小不确定，C选项错误；
aln b>bln a，即>，
设h(x)＝，x>0，则h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝e.
因为当x∈(0，e)时，h′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，
所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以，的大小不确定，D选项错误．
9．(★★)(2023·哈尔滨模拟)已知函数f(x)为偶函数，f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(－1)＝0.若a＝f(20.7)，b＝f(0.5－0.9)，c＝f(log0.70.9)，则下列结论正确的是(　　)
A．b2>a2 B.<
C.> D．b>a＋c
答案　ACD
解析　因为函数f(x)为偶函数，f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(－1)＝0，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，
又log0.71＝0所以c<0对于A选项，因为c<00，即b2>a2，故A选项符合题意；
对于B选项，因为c<0对于C选项，因为c<0，故C选项符合题意；
对于D选项，因为c<0a>a＋c，故D选项符合题意．
10．(★★★)(2023·黄冈模拟)已知实数x，y，z满足2x＝3,3y＝4,4z＝5，则下列结论正确的是(　　)
A．y< B．xyz>2
C．y2
答案　ABD
解析　因为2x＝3,3y＝4,4z＝5，
所以x＝log23，y＝log34，z＝log45.
对于A选项，因为43<34，则log343所以y＝log34<，故A选项正确；
对于B选项， xyz＝log23·log34·log45＝log25>log24＝2，故B选项正确；
对于C选项，y－z＝log34－log45＝－＝，
因为0又(lg 4)2＝2＝2>2，
所以(lg 4)2－lg 3lg 5>0，即y－z>0，所以y>z，故C选项错误；
对于D选项，因为x＝log23>1，y＝log34>1，
所以x＋y＝log23＋log34>2＝2＝2，故D选项正确．
三、填空题
11．(★★)(2024·邵阳模拟)已知正实数a，b满足3a＝27b＋log3，则a与3b大小关系为________．
答案　a<3b
解析　因为3a＝27b＋log3，所以3a＋log3a＝33b＋log3(3b)－1<33b＋log3(3b)，
设f(x)＝3x＋log3x(x>0)，因为y＝3x与y＝log3x在(0，＋∞)上都单调递增，
所以f(x)＝3x＋log3x在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(a)所以a<3b.
12．(★★★)(2023·天津模拟)已知a，b，c满足2－a＝a＋2，b＋log2b＝－2，c3－c－2＝0，则a，b，c的大小关系为______________．
答案　a解析　由题意知，把a的值看成函数y1＝2－x与y2＝x＋2图象的交点的横坐标，如图1所示．
　
图1　　　　　　　图2
因为2－(－1)>－1＋2,20<0＋2，易知－1把b的值看成函数y3＝log2x与y4＝－x－2图象的交点的横坐标，如图2所示．
log21>－1－2，易知0把c的值看成函数y5＝x3与y6＝x＋2图象的交点的横坐标，如图3所示．
图3
13<1＋2,23>2＋2，易知1所以a

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