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2024~2025学年度第一学期调研测试
高三数学
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1.请将选择题、填空题的答案和解答题的解题过程涂写在答题卷上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，务必将自己的考场号、座位号、姓名、准考证号涂写在答题卷上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A. B. C. D.
7.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少。已知改良工艺前的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A.12 B.13 C.14 D.15
8.已知某个三角形的三边长为，，，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.不存在实数，使得
C.若向量，则或
D.若向量在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为
10.对于函数，给出下列结论，其中正确的有（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.函数在区间上的值域为
C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D.曲线在处的切线的斜率为1
11.已知函数，及其导函数，的定义域均为R，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ）
A.为偶函数 B.的图象关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的单调递增区间为________.
13.已知是数列的前项和，是和的等差中项，则________.
14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知集合，.
（1）当时，求；
（2）在“充分条件”“必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.
是否存在正实数，使得“”是“”的________？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
16.（本小题满分15分）
在中，角，，所对的边分别为，，，设向量，，，且对任意，都有.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求的面积.
17.（本小题满分15分）
已知函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若且恒成立，求的最小值.
18.（本小题满分17分）
已知数列前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和；
（3）记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.
（1）证明：曲线是轴对称图形；
（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，证明：；
（3）已知函数，其中，，.
若对任意的恒成立，求的最大值.

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