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2024—2025学年度上学期普通高中第三次联合教学质量检测解析版
高三数学试卷
满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合{}，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题可得.
故选：D
2．已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
故选：D.
3．已知平面向量，满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由在上的投影向量为，得，所以，
所以，所以，
又，所以
故选：C.
4．已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，
因为在上单调递增，且，所以，
又在上单调递减，且，所以，
即的值域是.
故选：C.
5．已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．300 B． C．210 D．
【答案】A
【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数，
则 ， ①
， ②
①②得：，
所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列；
所以
.
故选:A.
6．设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在区间内恰有6个零点，
又最多有两个零点，
当时，至少有四个根，
，
令，即，，，
又，，即，
令，解得或，
①若且，解得，
此时在有2个零点，
只需要在有4个零点，
这4个零点分别为
故且，解得，此时有6个零点，满足题意，
②当且时，解得，
此时在有1个零点，
只需要在有5个零点，
这5个零点分别为，
故且，解得，此时有6个零点，满足题意，
③当且时，解得，
此时在有1个零点，
只需要在有5个零点，
这5个零点分别为，
故且，解得不存在，
综上可得或，
故选：D
7．已知，是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则事件与事件的关系为（ ）
A． B．互斥但不对立
C．互为对立 D．相互独立
【答案】D
【详解】解：，得，
又，故事件与事件相互独立，
故选：D.
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，，则，
根据双曲线性质可知，所以 ，
，又因
所以为直角三角形，可得，
所以可得，
解之可得或（舍），
可求出，
在中根据余弦定理
，
解之可得，所以.
故选：C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列选项正确的有（ ）
A．当时，函数的最小值为2
B．，函数的最大值为
C．函数的最小值为2
D．当，时，若，则的最小值为
【答案】AD
【详解】A选项，，
，当且仅当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项错误.
C选项，，
但无解，所以等号不成立，所以C选项错误.
D选项，当，时，若，则，
，当且仅当时等号成立，
所以D选项正确.
故选：AD
10．已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．三角形的周长是12
B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为
C．若，则的位置不唯一
D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是
【答案】ACD
【详解】由题意可得双曲线，，，，，，
圆心坐标，半径，
A，，，，
所以三角形的周长是12，故A正确；
B，由题意可设双曲线的方程为或，
变形为标准形式或，，
又双曲线的焦距为8，所以，
所以双曲线为或，故B错误；
C，，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，，
所以轨迹方程为，
圆心坐标代入椭圆方程可得，
所以圆心在椭圆上，
又点是圆上点，画出图形可得
所以，的位置不唯一，故C正确；
D，由双曲线的定义可得，
所以，
所以，
因为，
所以当三点共线时，取得最小值，
又因为的最小值为，
所以的最小值是，故D正确；
故选：ACD.
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点G到平面的距离为定值
B．若，则的最小值为2
C．若，且，则点G到直线的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ACD
【详解】对于A，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故A正确；
对于B，连接，面，是在平面上的射影，
要使，则，
所以点M的轨迹是平面上以F为圆心，1为半径的半圆，
所以的最小值为，故B错误；
对于C，连接，，，，
因为，且，所以A，E，，G四点共面，
因为在正方体中，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，则，则，
因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，
故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，，，
故点G到直线距离，故C正确；
对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
设（），则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线与平面所成角为（），
则，
因为，所以，则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在的展开式中，含的项的系数是 .
【答案】7
【详解】在展开式的通项为，
当时，，
所以含的项的系数是7.
故答案为：7.
13．在中，已知，点为的中点，，则的最大值为 .
【答案】
【详解】由已知得，
由正弦定理得，由余弦定理得.
由，得，且，即，
即，当且仅当时，等号成立.
又，
，
所以
.
故答案为：.
14．设为椭圆上一点，为焦点，，，，则椭圆离心率的最大值为 .
【答案】/
【详解】如图：
在中，，，所以，.
所以.
又，所以.
所以.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知平面向量，，且，其中，．设点和在函数的图象（的部分图象如图所示）上．
(1)求a，b，的值；
(2)若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间．
【答案】(1)，，；
(2)
【详解】（1）因，，由，可得，
由
，其中，
因点和在函数的图象上，则有，，
结合图象，由① 可得，
将其代入② 式，可得，即，（*）
由图知，该函数的周期满足，即又，则有，
由（*）可得，故.
由解得，，
故，，；
（2）不妨记，则，
因是图象上的一点，即得，即，
又因是函数图象上的相应的点，故有.
由，可得，
因，故得.
在上的单调递减区间为.
16.（本小题15分）
设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为
(1)求数列的和公比；
(2)若不等式对任意的成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，前项和为，
则，
所以.
因为是“和等比数列”，
所以，即，对任意的都成立，
所以，解得，
所以的和公比为
（2）解：可知，则，
所以，
所以，
所以，
即，所以.
设，
.
不等式对任意的恒成立，
即不等式对任意的恒成立.
当为奇数时，，则；
当为偶数时，，则.
综上，的取值范围是
17.（本小题15分）
在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，的长度为或
【详解】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面， 平面，
所以， 又已知，且都在面内，
所以平面.
（2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得， 解得或， 即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
18.（本小题17分）
已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
(1)求点的轨迹．
(2)设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，线段与轨迹交于点，求四边形的面积．
【答案】(1)点的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆
(2)
【详解】（1）设点到直线的距离为，依题意，，
于是，化简得，即．
所以点的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆．
（2）设，
又，则．
由，可得，
则四边形面积为．
当直线斜率为0时，易知，又，则．
根据对称性不妨取，由得
则，得此时；
当直线斜率不为0时，设的方程为，
将直线方程与椭圆方程联立有：
消去得：．
，
由韦达定理，．
所以
，
代入可得，解得，
，
又原点到直线距离为，则此时．
综上可得，，四边形面积为.
19.（本小题17分）
已知函数，
(1)求函数的极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求a的最小值；
(3)如果存在实数m、n，其中，使得，求的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
(3)
【详解】（1）∵定义域为，，
∴当时，；当时，；
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为，无极大值．
（2）依题可知，，在上恒成立，显然，所以，
设，，，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
（3）方法1：由已知，则函数在、上为增函数，
若存在实数m、n，其中，使得，则，，
由可得，则，
故，
令，，，可得.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故，，
又因为，，且，所以，
因此，的取值范围是．
方法2：由已知，则函数在、上为增函数，
若存在实数m、n，其中，使得，则，，
令，则，可得，
由可得，
令，其中，令可得，
当时，，此时函数单调递减，当时，，
此时函数单调递增，故当时，，
又因为，，且，所以，
因此的取值范围是．2024—2025学年度上学期普通高中第三次联合教学质量检测
高三数学试卷
本试卷共4页 满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合{}，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
3．已知平面向量，满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．300 B． C．210 D．
6．设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则事件与事件的关系为（ ）
A． B．互斥但不对立
C．互为对立 D．相互独立
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列选项正确的有（ ）
A．当时，函数的最小值为2
B．，函数的最大值为
C．函数的最小值为2
D．当，时，若，则的最小值为
10．已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．三角形的周长是12
B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为
C．若，则的位置不唯一
D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点G到平面的距离为定值
B．若，则的最小值为2
C．若，且，则点G到直线的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在的展开式中，含的项的系数是 .
13．在中，已知，点为的中点，，则的最大值为 .
14．设为椭圆上一点，为焦点，，，，则椭圆离心率的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知平面向量，，且，其中，．设点和在函数的图象（的部分图象如图所示）上．
(1)求a，b，的值；
(2)若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间．
16.（本小题15分）
设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为
(1)求数列的和公比；
(2)若不等式对任意的成立，求实数的取值范围.
17.（本小题15分）
在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
18.（本小题17分）
已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
(1)求点的轨迹．
(2)设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，线段与轨迹交于点，求四边形的面积．
19.（本小题17分）
已知函数，
(1)求函数的极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求a的最小值；
(3)如果存在实数m、n，其中，使得，求的取值范围.

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