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罗湖区中考备考“百师助学”课程之《将军饮马与最值问题》
答案详解
模型一:两定一动
例题：在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+，
∵△OAP的面积为．
∴ OA yP＝，
∴yP＝，
∵点P在一次函数图象上，
∴令﹣x+＝，
解得x＝4，
∴P（4，）．
∵点P在反比例函数的图象上，
∴k2＝4×＝2．
∴反比例函数的解析式为：y2＝；
（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，
∴K（1，2），
作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，
∵P（4，）．
∴P′（4，﹣）．
∴PP′＝1，
∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．
令y＝0，解得x＝．
∴C（，0）．
∴S△PKC＝ （xC﹣xK） PP′
＝×（﹣1）×1
＝．
∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．
跟踪练习：
1．（2008年深圳中考第14题）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是　10　．
【解答】解：点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），过点B向x轴作垂线与过A1和x轴平行的直线交于C，
则A1C＝6，BC＝8，
∴A1B＝＝10
∴从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10．
故填10．
2．（（2010年深圳中考第22题)）如图所示，抛物线y＝ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
【解答】解：（1）由题意可得：，
解得；
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4；
（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD．
则BD与y轴的交点即为M点；
设直线BD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则有：
，
解得；
∴直线BD的解析式为y＝x﹣2，点M（0，﹣2）；
3．（2012年深圳中考第22题）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．
【解答】方法一：
解：（1）设函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，
解得：，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
即直线BC的解析式为y＝﹣2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），
从而可得：AE＝＝2，CE＝＝2，
故可得出AE＝CE；
（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
即直线AD的解析式为y＝x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，
解得：，
即点F的坐标为（﹣，），
则BF＝＝，
又∵AB＝5，BC＝＝3，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠ABF＝∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．
方法二：
（1）略．
（2）略．
（3）若△ABF∽△ABC，则，即AB2＝BF×BC，
∵A（﹣4，0），D（0，4），
∴lAD：y＝x+4，lBC：y＝﹣2x+2，
∴lAD与lBC的交点F（﹣，），
∴AB＝5，BF＝，BC＝3，
∴AB2＝25，BF×BC＝×3＝25，
∴AB2＝BF×BC，
又∵∠ABC＝∠ABC，
∴△ABF∽△ABC．
（4）由（3）知：KAE＝，KCE＝﹣2，
∴KAE×KCE＝﹣1，
∴AE⊥CE，
过C点作直线AE的对称点C，点E为CC′的中点，
∴，，
∵C（﹣2，6），E（0，2），
∴C′X＝2，C′Y＝﹣2，
∵D（0，4），∴lC′D：y＝﹣3x+4，
∵lAE：y＝x+2，
∴lC′D与lAE的交点P（，）．
4．（2014年深圳中考第22题）如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC＝4CA，连接BD．
（1）求⊙M的半径；
（2）证明：BD为⊙M的切线；
（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．
【解答】（1）解：∵M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），
∴AB是⊙M的直径，
由题意可得出：OA2+OB2＝AB2，AO＝4，BO＝3，
∴AB＝5，
∴圆的半径为；
（2）证明：由题意可得出：M（2，）
又∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且 MC＝，故 C（2，﹣1）
过 D 作 DH⊥x 轴于 H，设 MC 与 x 轴交于 K，
则△ACK∽△ADH，
又∵DC＝4AC，
故 DH＝5KC＝5，HA＝5KA＝10，
∴D（﹣6，﹣5）
设直线AB表达式为：y＝kx+b，
，
解得：
故直线AB表达式为：y＝﹣x+3，
同理可得：根据B，D两点求出BD的表达式为y＝x+3，
∵kAB×kBD＝﹣1，
∴BD⊥AB，BD为⊙M的切线；
（3）解：取点A关于直线MC的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，
此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值；
设直线DO表达式为 y＝kx，
∴﹣5＝﹣6k，
解得：k＝，
∴直线DO表达式为 y＝x
又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，y＝，
∴P（2，），
此时|DP﹣AP|＝DO＝＝．
模型二：两定一动
例题：如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．

【解答】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，
由作图得：，，
∴的周长，
∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
过D作交直线于P，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴点P与点B重合，
∴，
∴
∴的周长最小值为，

跟踪练习：
1．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，且OP＝6，则△PMN周长的最小值是 　6　．
【解答】解：如图
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点N、M，连接OP、OC、OD、PN、PM，
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COA＝∠POA，
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝5cm，
∴∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝6cm，
∴△PNM的周长的最小值为PN+MN+PM＝CN+MN+DMF≥CD＝6，
故答案为6．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　　．
【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
∵AD平分∠CAB，
∴根据对称知，EF＝EF′，
∵，
∴，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为．
3．如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣5ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴OB＝OA＝3，
∴B（3，0），
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x＝3时，y＝﹣×9+×3+4＝5，
∴D点坐标为（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC＝＝＝5，
设M（0，m），则CM＝BN＝4﹣m，CN＝5﹣（4﹣m）＝m+1，
∵∠MCN＝∠OCB，
∴当＝时，△CMN∽△COB，则∠CMN＝∠COB＝90°，即＝，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；
当＝时，△CMN∽△CBO，则∠CNM＝∠COB＝90°，即＝，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，
∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO＝∠DBC，
∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM＝DN，
∴AM+AN＝DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值＝＝，
∴AM+AN的最小值为．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，AB＝2，AD＝4，P、Q分别是边BC、CD上的动点，连接AP，AQ，PQ，则△APQ周长的最小值为 　　．
【解答】解：延长AB到E，使BE＝AB，连接PE，延长AD到F，使DF＝AD，连接FQ，EF，过点E作EH⊥AD交DA的延长线于点H，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴CB垂直平分AE，CD垂直平分BF，
∴PE＝PA，QF＝QA，
∴△APQ周长＝AP+PQ+QA＝EP+PQ+QF≥EF，
∴△APQ周长的最小值为EF的长，
∵∠BAD＝120°，AB＝2，
∴∠EAH＝60°，AE＝4，
在Rt△AEH中，
AH＝AE cos60°＝4×＝2，
EH＝AE sin60°＝4×＝，
在Rt△EFH中，
HF＝AH+AF＝2+8＝10，
EF＝，
故答案为：．
模型三：两定两动
例题1：如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为　 　。
【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，
交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；
∵AD＝2，AE＝BE＝1，
∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，
∴AE′＝3，AA′＝4，
∴A′E′＝＝5，
∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．
例题2：如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 　（﹣，0）　．
【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，
∴BH＝EF＝3，BC∥AO，
∴四边形BHEF是平行四边形，
∴BF＝EH，
∵点D与点D'关于x轴对称，
∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），
∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，
∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，
∵EF和BD是定值，
∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，
∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，
∵点B（﹣4，6），
∴点H（﹣1，6），
设直线D'H的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，
∴当y＝0时，x＝﹣，
∴点E（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
跟踪练习：
如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为 ．
【解答】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，
可知四边形B′B″DC为平行四边形，
则B′C=B″D，
由对称性质可得：BC=B′C，
∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，
则此时AB″最小，即AD+BC最小，
∵A（3，6），B（-2，2），
∴B′（-2，-2），
∴B″（-1，-2），
设直线AB″的表达式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB″的表达式为：y=2x，
令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），
∴点C坐标为（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
2．（2011年深圳中考第23题）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B的坐标为（3，0）．
∴4a+4＝0，
∴a＝﹣1，
∴此抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）存在．
抛物线的对称轴方程为：x＝1，
∵点E的横坐标为2，
∴y＝﹣4+4+3＝3，
∴点E（2，3），
∴设直线AE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为：y＝x+1，
∴点F（0，1），
∵D（0，3），
∴D与E关于x＝1对称，
作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），
连接EF′交x轴于H，交对称轴x＝1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，
设直线EF′的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线EF′的解析式为：y＝2x﹣1，
∴当y＝0时，2x﹣1＝0，得x＝，
即H（，0），
当x＝1时，y＝1，
∴G（1，1）；
∴DF＝2，FH＝F′H＝＝，DG＝＝，
∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG＝2+++＝2+2；
（3）存在．
∵BD＝＝3，
设M（c，0），
∵MN∥BD，
∴，
即＝，
∴MN＝（1+c），DM＝，
要使△DNM∽△BMD，
需，即DM2＝BD MN，
可得：9+c2＝3×（1+c），
解得：c＝或c＝3（舍去）．
当x＝时，y＝﹣（﹣1）2+4＝．
∴存在，点T的坐标为（，）．
3．（（2019年深圳中考第22题））如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝1；
（2）四边形ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于直线x＝1对称点C′（2，3），则CD＝C′D，
取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，
故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；
2《将军饮马与最值问题》自主学习单
红桂中学 陈伟钊
最值问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”以及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”、三角形三边关系为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、构造平行四边形等变换进行研究.
本专题以“将军饮马模型”为载体开展对最值问题的研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”以及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”、三角形三边关系问题．
学习过程：
模型一：两定一动
【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
原理：
【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
原理：
【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
原理：
【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
原理：
例题：在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
跟进练习：
1、（2008年深圳中考第14题）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是　　．
2、（2010年深圳中考第22题)如图所示，抛物线y＝ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
3、（2012年深圳中考第22题）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．
4、（2014年深圳中考第22题）如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC＝4CA，连接BD．
（1）求⊙M的半径；
（2）证明：BD为⊙M的切线；
（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．
模型二：一定两动
【问题1】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小
【问题2】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小
【问题3】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值
例题：如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．
跟踪练习：
1、如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=6，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．
第1题 第2题
2、（2023下·湛江·二模）如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．
3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
4、（2023·西安·二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．
模型三：两定两动
【问题1】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小
【问题2】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值
【问题3】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求四边形ABNM周长的最小值
例题1：如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为　 　。
例题2：如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ．
跟踪练习：
1、（2011年深圳中考第23题）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
2、（2019年深圳中考第22题）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
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