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知识技能梳理
在中考中，尺规作图一直是命题热点。在有的省市的试卷中会考查尺规作图的识别，利用所做的线的性质来解决几何问题。近些年来很多试卷当中，尺规作图一般出现在解答题的位置，直接考察尺规作图，不要求写出具体做法，但需要保留作图痕迹。
尺规作图的命题一般相对简单。几乎所有的尺规作图基本上都是基于常见的五种基本作图基础之上。但总有一部分学生，因为五种基本作图方法没掌握好，就丢了分数。
尺规作图的概念
在几何里，把限定用直尺（没有刻度的）和圆规来画图的作法，称为尺规作图，
五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段：
2.作已知角的平分线：
3.作已知线段的垂直平分线：
4.作一个角等于已知角：
5.过一点作已知直线的垂线【点在线上、点在线外】。
模块一：五种尺规作图复习
1.作一条线段等于已知线段
已知：如图所示线段a.
求作：线段AB，使AB = a.
作法：
(1)作射线AP；
(2)在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。
作线段的垂直平分线（中垂线）或中点
已知：如图，线段MN.
求作：线段MN的垂直平分线.
作法：
(1)分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于P，Q；
(2)连接PQ交MN于O．
则直线PQ就是线段MN的垂直平分线。
3.作已知角的平分线
已知：如图，∠AOB.
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）.
作法：
(1)以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；
(2)分别以M、N为圆心，大于的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P；
作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
4.作一个角等于已知角
已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法：
1）作射线O′A′；
2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；
3）以O′为圆心，以OM的长为半径画弧，交O′A′于M′；
4）以M′为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N′；
5）连接O′N′并延长到B′。
则∠A′O′B′就是所求作的角。
5.过一点作已知直线的垂线
已知点在直线上
已知：直线l、及直线l上一点C
求作：直线l的垂线，使得垂线经过点C
作法：
(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)以点A 、B为圆心,以大于CB长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点D；
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
已知点在直线外
已知：直线l、及直线l外一点C
求作：直线l的垂线，使得直线l经过点C
作法：
(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)分别以点A、 B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，两弧于点D．
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
模块二：分题型练习
作相等线段出现等腰三角形
例1．已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
针对训练：
1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6 B．
C．9 D．
3．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 　 　个．
角平分线及性质应用
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（　　）
A．3 B． C． D．
针对训练：
1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝BD B．C△BCD＝AB+BC
C．∠BDC＝72° D．S△ABD：S△BCD＝BC：AC
2．如图，已知直角△ABC，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线GH，分别交AC，AB于点E，F．
依据以上作图，若AF＝3，CE＝1，则CD的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
中垂线及性质应用
例3．如图，在 ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
针对训练：
下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（　　）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
2．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有 　 　个．
模块三：综合应用
角平分线+中垂线综合
两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
针对训练：
如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　）
ED＝CD B．AC＝AE
∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B
中垂线与将军饮马模型
例2. ∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是　 　．
针对训练：
要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是　 　．
角平分线加三角形综合
例3.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，如图Ⅰ，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图Ⅱ；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
（1）填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为 　 　；
（2）①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当AB＝AC＝6，BC＝2时，连接DG，请直接写出　 　；
（3）如图Ⅲ，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当∠CPM＝∠B时，求AM的长．
针对训练：
下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线． 简述理由如下： 由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线． ……
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 　 　（填序号）．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．
圆与尺规作图综合
例4. 已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．AP＝BQ B．PQ∥AB
C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180°
针对训练：
如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，
以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）求AE的长度．《第1讲 尺规作图》答案
模块一：五种尺规作图复习
1.作一条线段等于已知线段
已知：如图所示线段a.
求作：线段AB，使AB = a.
作法：
(1)作射线AP；
(2)在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。
作线段的垂直平分线（中垂线）或中点
已知：如图，线段MN.
求作：线段MN的垂直平分线.
作法：
(1)分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于P，Q；
(2)连接PQ交MN于O．
则直线PQ就是线段MN的垂直平分线。
3.作已知角的平分线
已知：如图，∠AOB.
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）.
作法：
(1)以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；
(2)分别以M、N为圆心，大于的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P；
作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
4.作一个角等于已知角
已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法：
1）作射线O′A′；
2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；
3）以O′为圆心，以OM的长为半径画弧，交O′A′于M′；
4）以M′为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N′；
5）连接O′N′并延长到B′。
则∠A′O′B′就是所求作的角。
5.过一点作已知直线的垂线
已知点在直线上
已知：直线l、及直线l上一点C
求作：直线l的垂线，使得垂线经过点C
作法：
(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)以点A 、B为圆心,以大于CB长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点D；
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
已知点在直线外
已知：直线l、及直线l外一点C
求作：直线l的垂线，使得直线l经过点C
作法：
(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)分别以点A、 B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，两弧于点D．
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
模块二：分题型练习
作相等线段出现等腰三角形
例1．已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠COD）（180°﹣40°）＝70°，
∵DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝40°，
∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，
∴∠CDE＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
针对训练：
1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6 B．
C．9 D．
【解答】解：连接BD交AC于O，
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∵AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵AB＝BC＝3，
∴AD＝CDAB＝3，
∴四边形ABCD的面积＝S△DAB+S△DCB＝2×（3×3），
故选：D．
3．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 　 　个．
【解答】解：如图，可以作出这样的三角形4个．
角平分线及性质应用
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴ DE×10 CD×66×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故选：A．
针对训练：
1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝BD B．C△BCD＝AB+BC
C．∠BDC＝72° D．S△ABD：S△BCD＝BC：AC
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由作图痕迹发现BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴AD＝BD，∠BDC＝72°，故A、C正确，不符合题意；
S△ABD：S△BCD＝AD：CD＝BC：CD，故D错误，符合题意；
△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝AB+BC，故B正确，不符合题意．
故选：D．
2．如图，已知直角△ABC，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线GH，分别交AC，AB于点E，F．
依据以上作图，若AF＝3，CE＝1，则CD的长是（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
连接DE，如图，
∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，
∴AE＝AF＝3，
∵EF垂直平分AD，
∴ED＝AE＝3，
在Rt△CDE中，CD2．
故选：A．
中垂线及性质应用
例3．如图，在 ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，
由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即AG＝3，
故选：B．
针对训练：
下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（　　）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
【解答】解：图（1）和图（2）中，由“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知，AJ垂直平分GH，BC垂直平分AK，故作图正确；
图（3）中，依据“直径所对的圆周角等于90°”可知，BC所对的圆周角为直角，故作图正确；
故选：A．
2．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有 　 　个．
【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个．
故答案为：8．
模块三：综合应用
角平分线+中垂线综合
两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【解答】解：如图：
点C即为所求作的点．
针对训练：
如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　）
ED＝CD B．AC＝AE
∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B
【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，
∴ED=CD，∠DAC=∠DAB，∠EDB=90°-∠B，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)，
∴AC=AE，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠CAB=90°-∠B，
∴∠EDB=∠CAB，
∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB，
∴∠DAB不一定等于∠B，
∴∠DAC不一定等于∠B，
故选：D．
中垂线与最短路线问题
例2. ∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是　 　．
【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，
此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，
连接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），
∴OP′＝OP＝OP″5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ，P′Q＝P″Q，
∴P′P″＝2P′Q＝25，
则△PMN周长的最小值是5．
故答案为：5．
针对训练：
要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是　 　．
【解答】解：点A关于x轴的对称点A1的坐标是（0，﹣3），过点B向x轴作垂线与过A1和x轴平行的直线交于C，
则A1C＝6，BC＝8，
∴A1B10
∴从A、B两点到奶站距离之和的最小值是10．
故填10．
角平分线加三角形综合
例3.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，如图Ⅰ，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图Ⅱ；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
（1）填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为 　 　；
（2）①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当AB＝AC＝6，BC＝2时，连接DG，请直接写出　 　；
（3）如图Ⅲ，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当∠CPM＝∠B时，求AM的长．
【解答】解：（1）由作图步骤可得AD为∠GAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠GAD，
故答案为：∠CAD＝∠GAD；
（2）①AD∥BC，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，且∠GAC＝∠B+∠C＝2∠C，
∵∠GAC＝∠CAD+∠GAD＝2∠CAD，
∴∠C＝∠DAC，
∴AD∥BC；
②∵∠CAD＝∠GAD∠GAC，
∴∠B＝∠C∠GAC，
∵∠CAD＝∠GAD∠GAC，
∴∠GAD＝B＝∠C，
又∵AD＝GD，
∴∠GAD＝∠AGD，
∴∠GAD＝∠AGD＝B＝∠C，
∴△ADG∽△BAC，
∴，
即：，
∵AB＝6 BC＝2，
∴3，
故答案为：3．
（3）如图所示，延长CP交MA的延长线于点Q，
∵AM∥BC，
∴∠3＝∠4+∠5，
∵∠B＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠B，
∵∠CPM＝∠B，
∴∠CPM＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∠2+∠3+∠M＝180°，∠1+∠CPM+∠5＝180°，
∴∠M＝∠5，
又∵AQ∥BC，
∴∠Q＝∠PCB，∠PAQ＝∠B，
又∵P为AB的中点，
∴AP＝PB，
∴△PAQ≌△PBC（AAS），
∴AQ＝BC＝2，
又∵∠APC＝∠B+∠4＝∠APM+∠CPM，∠B＝∠CPM，
∴∠4＝∠APM，
又∵∠Q＝∠4，
∴∠APM＝∠Q，
又∵∠M＝∠5，
∴△APM∽△AQC，
∴，
∵AB＝6，AP＝3，AC＝6，
∴AM9，
答：AM的长为9．
针对训练：
下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线． 简述理由如下： 由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线． ……
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 　 　（填序号）．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．
【解答】解：（1）如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，
∴∠PGO＝∠PHO＝90°，
∵OE﹣OC＝OF﹣OD，
∴CE＝DF，
∵CGCE，DHDF，
∴CG＝DH，
∴OC+CG＝OD+DH，
∴OG＝OH，
∵OP＝OP，
∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），
故答案为：⑤．
（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△DOE≌△COF（SAS），
∴∠PEC＝∠PFD，
∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，
∴△CPE≌△DPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（SAS），
∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，
∴射线OP是∠AOB的平分线．
（3）如图3，OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PME＝90°，
由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，
∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠POF∠AOB＝30°，
∵∠CPE＝30°，
∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，
∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，
∴∠OCP＝∠OPC（180°﹣∠POE）（180°﹣30°）＝75°，
∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，
∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，
∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，
∴MP＝ME，
设MP＝ME＝m，则OM＝MP tan60°m，
由OE1，得mm1，解得m＝1，
∴MP＝ME＝1，
∴OP＝2MP＝2，
∴OC＝OP＝2；
如图4，OC＞OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PMC＝90°，
同理可得，∠POE＝∠POF∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，
∴OE＝OP1，
∵MC＝MPOPOE，
∴OM＝MP tan60°，
∴OC＝OM+MC2．
综上所述，OC的长为2或2．
圆与尺规作图综合
例4. 已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．AP＝BQ B．PQ∥AB
C．∠ABP＝∠PBQ D．∠APQ+∠ABQ＝180°
【解答】解：．∵
∴AP＝BQ，
∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA，
∴∠APQ+∠PAB＝180°．
∴APQ+ABQ＝180°．
所以A、B、D选项正确，C选项错误．
故选：C．
针对训练：
如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，
以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）求AE的长度．
【解答】解：如图：
（1）∵AC是圆的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴OC＝5，
由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB＝∠OAC＝90°，
∵OD是圆的半径，
∴DB为⊙O的切线；
（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAO，
∴，
即：，
解得：CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．

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