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第07讲 7.4.2 超几何分布
课程标准 学习目标
①理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系。 ②根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差。 ③在实际问题中能用超几何概型解决实际问题。 通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题
知识点1：超几何分布
（1）超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.
其中，，，，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
（2）对超几何分布的理解
①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.
②若随机变量满足：
试验是不放回地抽取次；
随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.
③超几何分布的特点：
不放回抽样；
考察对象分两类；
已知各类对象的个数；
从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列.
（3）超几何分布的均值
若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率).
【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数的数学期望．
【答案】1
【详解】袋中球的总数为，
根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数服从超几何分布，
即．
因为，，，所以．
知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系
（1）区别
由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
（2）联系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.
题型01 对超几何分布的理解
【典例1】（2022上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③X表示取出的白球个数；
④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.
这四种变量中服从超几何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【典例2】（多选）（2022上·高二课时练习）（多选题）下列随机变量X不服从超几何分布的是（　　）
A．X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数
B．X表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和
C．有一批产品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件数为X
D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X（N－M＞n＞0）
【典例3】（2023·高二课时练习）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列；
(3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列；
(4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列；
(5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列．
【变式1】（2023下·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为
B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为
C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为
D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【变式2】（2023下·高二课时练习）下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
【变式3】（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）下列关于超几何分布的叙述中，正确的是（ ）
A．X的可能取值为0，1，2，…，20 B．
C．X的数学期望 D．当k＝8时，最大
题型02 超几何分布的概率
【典例1】（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为 .
【变式1】（2024上·广西桂林·高二统考期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则（ ）
A． B．
C． D．1
【变式3】（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 .
【变式4】（2024下·全国·高二随堂练习）为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为 .
题型03 超几何分布均值与方差（选填）
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（多选）（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（ ）
A．服从二项分布 B．的值最小为1
C． D．
【典例4】（2024上·全国·高三专题练习）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为，则 .
【变式1】（2024上·山东临沂·高三校联考开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式2】（多选）（2024上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为 ．
【变式4】（2024下·全国·高二随堂练习）某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用表示4人中的团员人数，则＝ ；＝ ．
题型04 超几何分布均值与方差（解答）
【典例1】（2024上·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．
(1)写出X的分布列，并求出和的值；
(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．
【典例2】（2024上·广东广州·高三校考期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
班号 1 2 3 4
人数 30 40 20 10
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望.
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望.
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
题型05二项分布与超几何分布
【典例1】（2024上·北京海淀·高三统考期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分．
(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差；
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列．
【变式1】（2024上·山西·高三期末）一盒乒乓球中共装有2只黄色球与4只白色球，现从中随机抽取3次，每次仅取1个球.
(1)若每次抽取之后，记录抽到乒乓球的颜色，再将其放回盒中，记抽到黄球的次数为随机变量，求及；
(2)若每次抽取之后，将抽到的乒乓球留在盒外，记最终盒外的黄球个数为随机变量，求及；
(3)在（1）（2）的条件之下，求.
【变式2】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
(1)应从高一 高二 高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·江苏泰州·高二统考期末）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用表示所选2名志愿者中男生的人数，则为（ ）
A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2
3．（2023·全国·高二专题练习）设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023下·高二课时练习）有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）设随机变量，且．若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·山东青岛·高二校考期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023下·广东深圳·高二校联考期中）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布
10．（2023下·江苏徐州·高二统考期中）下列说法正确的有（ ）
A．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B．若随机变量X的数学期望，则
C．若随机变量X的方差，则
D．随机变量则
三、填空题
11．（2023·全国·高三对口高考）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ．
12．（2023下·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ．
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率．
14．（2023下·高二课时练习）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：
(1)甲答对试题数的概率分布；
(2)乙所得分数的概率分布．
B能力提升
1．（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用PLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为.
(1)在某次测试中输入了7个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这7个问题中抽取3个，以表示这抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
2．（2023·四川成都·统考二模）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：
(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；
(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.
3．（2023·广东·统考二模）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
4．（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.同学们在学完高中统计和概率相关章节后，探讨了以下两个问题，请帮他们解决：
(1)从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间，并分别计算在三种抽样方式下抽到的两人都是男生的概率，结合计算结果分析三种抽样；
(2)一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和数学期望.结合计算结果分析两种摸球方式的特点.
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第07讲 7.4.2 超几何分布
课程标准 学习目标
①理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系。 ②根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差。 ③在实际问题中能用超几何概型解决实际问题。 通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题
知识点1：超几何分布
（1）超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.
其中，，，，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
（2）对超几何分布的理解
①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.
②若随机变量满足：
试验是不放回地抽取次；
随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.
③超几何分布的特点：
不放回抽样；
考察对象分两类；
已知各类对象的个数；
从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列.
（3）超几何分布的均值
若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率).
【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数的数学期望．
【答案】1
【详解】袋中球的总数为，
根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数服从超几何分布，
即．
因为，，，所以．
知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系
（1）区别
由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
（2）联系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.
题型01 对超几何分布的理解
【典例1】（2022上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③X表示取出的白球个数；
④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.
这四种变量中服从超几何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【详解】超几何分布定义：设有总数为N件的甲乙两类物品，其中甲类有M件，从所有物品中任取n件，则中所含甲类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值m时的概率为，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布.
①②中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①②错误；
③中的变量符合超几何分布的定义选项，将白球视作甲类物品，黑球视作乙类物品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故③正确；
④中的变量可以对应取出的白球个数，符合超几何分布的定义选项，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故④正确.
故选：B．
【典例2】（多选）（2022上·高二课时练习）（多选题）下列随机变量X不服从超几何分布的是（　　）
A．X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数
B．X表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和
C．有一批产品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件数为X
D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X（N－M＞n＞0）
【答案】ABC
【详解】对于A，设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则，
而在次独立重复试验中事件恰好发生了次的概率，符合二项分布的定义，不是超几何分布，故A正确；
对于B，的取值是，
且，显然不符合超几何分布的定义，因此不服从超几何分布，故B正确．
C和D的区别：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中次试验是不独立的，因此D服从超几何分布，对于C有服从二项分布，故C正确，D错误.
故选：ABC
【典例3】（2023·高二课时练习）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列；
(3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列；
(4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列；
(5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)不是，理由见解析
(3)是，理由见解析
(4)是，理由见解析
(5)不是，理由见解析
【详解】（1）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题.
（2）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题.
（3）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类，
随机变量表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
（4）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类，
随机变量X表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
（5）解：样本没有给出不合格产品数，无法计算的分布列，所以不属于超几何分布问题．
【变式1】（2023下·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为
B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为
C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为
D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【答案】C
【详解】对于A选项，将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为，
则服从二项分布，A不满足；
对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为，则服从两点分布，B不满足；
对于C选项，从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为，
则服从超几何分布，C满足；
对于D选项，盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则不服从超几何分布，D不满足.
故选：C.
【变式2】（2023下·高二课时练习）下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
【答案】ACD
【详解】对于A中，将一枚硬币连抛3次，每次正面向上的概率均为，所以正面向上的次数服从二项分布；
对于B中，从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为服从超几何分布；
对于C中，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，可得命中目标的次数服从二项分布；
对于D中，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，首次摸出黑球时的总次数的取值为，
而超几何分布定义为，即从N个物件（包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回），故不服从超几何分布.
故选：ACD.
【变式3】（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）下列关于超几何分布的叙述中，正确的是（ ）
A．X的可能取值为0，1，2，…，20 B．
C．X的数学期望 D．当k＝8时，最大
【答案】ACD
【详解】根据超几何分布的定义得到的可能取值为0，1，2，20，，，故AC正确，B错；
，解得，所以时最大，故D正确.
故选：ACD.
题型02 超几何分布的概率
【典例1】（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.
故选：B.
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】随机变量可取，
，，，，
，
故选：C
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知X服从超几何分布，则.
故选：C
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为 .
【答案】
【详解】设有白球个，因为从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：5
【变式1】（2024上·广西桂林·高二统考期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，件产品中有件次品，件正品，
从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，
表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件，
故.
故选：B.
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】C
【详解】由题意知X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，
故，
，
于是.
故选：C.
【变式3】（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 .
【答案】/0.5
【详解】因 .
故答案为：.
【变式4】（2024下·全国·高二随堂练习）为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为 .
【答案】
【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为，则的可能取值为：0，1，2，
可得：，
所以最后抽取到的题为多选题的概率为.
故答案为：.
题型03 超几何分布均值与方差（选填）
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，
则，，．
所以．故A正确.
故选：A.
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故
所以
，
，
故选：D．
【典例3】（多选）（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（ ）
A．服从二项分布 B．的值最小为1
C． D．
【答案】BCD
【详解】依题意知随机变量服从参数为6，4，3的超几何分布，故A错误；
的所有可能取值为1，2，3，所以的值最小为1，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
【典例4】（2024上·全国·高三专题练习）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为，则 .
【答案】 3 /0.36
【详解】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布，
由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1，2，3，
由超几何分布事件分别计算对应概率，
，
，
可得分布列如下：
1 2 3
则，
.
故答案为：;
【变式1】（2024上·山东临沂·高三校联考开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由题可知，，解得，
X的可能取值为，
，，，，
∴.
故选：A
【变式2】（多选）（2024上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，
故；
从而，故选项A正确；
，，，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；
故选：ACD.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为 ．
【答案】1.2
【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，其中，，，
于是次品件数X的期望，
故答案为：1.2
【变式4】（2024下·全国·高二随堂练习）某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用表示4人中的团员人数，则＝ ；＝ ．
【答案】 2
【详解】依题意服从参数为的超几何分布，
所以，.
故答案为：，2
题型04 超几何分布均值与方差（解答）
【典例1】（2024上·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．
(1)写出X的分布列，并求出和的值；
(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)，;
【详解】（1）依题意，得，
，，，
所以随机变量的分布列为
0 1 2
；
.
（2）依题意，得，
则，.
【典例2】（2024上·广东广州·高三校考期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
【答案】(1)，平均数670，中位数650，众数600
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题意知，
解得，
样本平均数为，
由于，故中位数650，
众数600．
（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，
随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的数学期望．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
班号 1 2 3 4
人数 30 40 20 10
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)3,4,2,1
(2)分布列见解析，2.8
【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为，
故班分别抽取（人），（人），（人），（人）.
（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，
,
,
,
,
所以的分布列为：
1 2 3 4
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】(1)，，，
(2)①各组应该抽取的人数分别为3，4，5，6；②分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为，又因为第五小组的频数为2400，所以样本容量．
因为第六小组的频率为，所以第六小组的频数是．
由频率之和为1，得，所以．
因为频率分布直方图中的满足，
所以．
所以代入中，得，
得，解得．所以．
（2）①因为前4组的频率之比为，
且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
所以在应该抽取的人数分别是
．
②由题意，随机变量的所有可能取值是．则
故随机变量的分布列为
0 1 2 3
故随机变量的数学期望为．
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】分布列见解析，
【详解】由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以．
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得的分布列为
0 1 2 3
所以.
题型05二项分布与超几何分布
【典例1】（2024上·北京海淀·高三统考期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.
设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，
分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，
而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以
，，
故.
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分．
(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差；
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【详解】（1）设甲答对题目的数目为，则，
可得，
又因为，
所以，.
（2）设乙答对的题目数为，可知的可能取值为0，1，2，3，4，
则，则有：
，
，
，
所以的分布列为：
10 25 40
【变式1】（2024上·山西·高三期末）一盒乒乓球中共装有2只黄色球与4只白色球，现从中随机抽取3次，每次仅取1个球.
(1)若每次抽取之后，记录抽到乒乓球的颜色，再将其放回盒中，记抽到黄球的次数为随机变量，求及；
(2)若每次抽取之后，将抽到的乒乓球留在盒外，记最终盒外的黄球个数为随机变量，求及；
(3)在（1）（2）的条件之下，求.
【答案】(1)，
(2)，；
(3)
【详解】（1）由题意知，每次取到黄球的概率为，故，
因为，
代入得，
同理可得，，，
故；（或者根据二项分布的期望公式直接求得结果）
（2）由题意可知服从超几何分布，，
代入得，
同理可得，，
故；
（3）由（1）（2）知，
.
【变式2】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
(1)应从高一 高二 高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
【答案】(1)3人，2人，2人.
(2)①答案见解析；②，
【详解】（1）由已知选取的三个年级的人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从高一 高二 高三三个年级的学生中分别抽取3人，2人，2人.
（2）①随机变量X符合超几何分布，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.则
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3
②取一个学生就是一次试验，有“睡眠不足”和“睡眠充足”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是符合二项分布，所以
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·江苏泰州·高二统考期末）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，.
故选：B
2．（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用表示所选2名志愿者中男生的人数，则为（ ）
A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2
【答案】B
【分析】根据超几何分布概率公式求出各取值的概率，然后由期望公式可得；也可根据超几何分布的期望公式直接可得.
【详解】的所有可能取值为，则.
所以，
所以.
另解：因为X服从超几何分布，所以.
故选：B.
3．（2023·全国·高二专题练习）设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据超几何分步的数学期望公式求解即可
【详解】由题意，个
故选：A
4．（2023下·高二课时练习）有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，抽到正品数服从超几何分布，结合超几何分布的期望公式，即可求解.
【详解】由题意，有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，
则抽到正品数服从超几何分布，
所以抽到的正品数的数学期望值是.
故选：B.
5．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）设随机变量，且．若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合二项分布的期望和方差可得，再利用超几何分布的概率公式运算求解.
【详解】因为，则，解得或，
又因为，则，可得，
则．所以，
故选：．
6．（2023下·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得的值.
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
且，，，
因此，.
故选：B.
7．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题设易知服从超几何分布，根据目标式对应概率的含义即可得答案.
【详解】由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，
所以．
故选：A
8．（2023下·山东青岛·高二校考期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.
【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，.
则，，
，
则分布列为：
4 3 2
所以得分期望为.
故选：.
二、多选题
9．（2023下·广东深圳·高二校联考期中）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布
【答案】BC
【分析】根据超几何分布的定义以及概率公式，可得答案.
【详解】由题意知随机变量服从超几何分布；
的取值分别为0，1，2，3，4，
则，，
，，，
故选：BC．
10．（2023下·江苏徐州·高二统考期中）下列说法正确的有（ ）
A．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B．若随机变量X的数学期望，则
C．若随机变量X的方差，则
D．随机变量则
【答案】AC
【分析】A选项由超几何分布的定义可判断；
B选项，利用公式可得；
C选项，利用公式可得；
D选项，利用二项分布和组合数的对称性可得.
【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：，故C正确；
D选项：因所以，
根据组合数的对称性可知，，故D错误.
故选：AC
三、填空题
11．（2023·全国·高三对口高考）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ．
【答案】
【分析】利用古典概型与对立事件的概率公式，结合超几何分布即可得解.
【详解】依题意，这20件产品中有件合格品，
所以该商家接收这批产品的概率为，
故商家拒收这批产品的概率为.
故答案为：.
12．（2023下·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ．
【答案】/0.5
【分析】随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况,根据组合知识求得基本事件的个数后可得概率
【详解】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.
所求概率为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率．
【答案】得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412．
【分析】由题意，用X表示抽到的红球数，则，根据超几何分布的概率公式得解.
【详解】解：从18个小球中抽取3个时，有种等可能的结果，用X表示抽到的红球数，
则，则
P（得一等奖）．
P（得二等奖）．
P（得三等奖）．
因此，得一等奖的概率约为0.0686，得二等奖的概率约为0.3431，得三等奖的概率约为0.4412．
14．（2023下·高二课时练习）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：
(1)甲答对试题数的概率分布；
(2)乙所得分数的概率分布．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得可能取的值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列；
（2）依题意可得可能取的值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列.
【详解】（1）由题意，甲能答对10道试题中的6题，且为甲答对随机抽出的3题的试题数，
则随机变量可能取的值为，，，．
所以，，
，，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
（2）由题意随机变量可能取的值为，，，
所以，，，
的分布列为：
5 10 15
B能力提升
1．（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用PLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为.
(1)在某次测试中输入了7个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这7个问题中抽取3个，以表示这抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）易知的所有取值为1，2，3，
此时，，，
所以的分布列为：
1 2 3
则；
（2）（ⅰ）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件，
记“ChatGPT的回答被采纳”为事件，
易知，
所以，，，
；
（ⅱ）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率
2．（2023·四川成都·统考二模）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：
(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；
(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)种茶的亩产属于“左拖尾分布”.
【详解】（1）亩产不低于56千克频率为，
所以，亩产不低于56千克的数据共有个，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
的分布列为
0 1 2
的数学期望
（2）根据以上直方图数据，茶叶亩产平均数为：
，
设中位数为由得，
因为，所以种茶的亩产属于“左拖尾分布”.
3．（2023·广东·统考二模）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2).
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
，，，
所以X的分布列为：
X 4 3 2
P
故.
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为，
则穿蓝色衣物的概率为，
穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，
则当天穿连衣裙的概率为.
所以小李同学当天穿连衣裙的概率为.
4．（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.同学们在学完高中统计和概率相关章节后，探讨了以下两个问题，请帮他们解决：
(1)从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间，并分别计算在三种抽样方式下抽到的两人都是男生的概率，结合计算结果分析三种抽样；
(2)一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和数学期望.结合计算结果分析两种摸球方式的特点.
【答案】(1)答案见解析；
(2)分布列见解析，数学期望为8；特点见解析.
【详解】（1）设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点，设事件“抽到两名男生”，
有放回简单随机抽样的样本空间
，
事件，则；
不放回简单随机抽样的样本空间
，事件，则；
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间，
由于按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，则，因此，
计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，
用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；
用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，
用有放回简单随机抽样进行抽样，可以有效地降低出现“极端”样本的概率，
特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，
真正避免了这类极端样本的出现.所以改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
（2）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验是独立的，因此，
的分布列为，，
的数学期望为；
对于不放回摸球，各次试验不独立，服从超几何分布，
的分布列为，，
的数学期望为，
说明：二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，
并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当远小于时，每抽取一次后，对的影响小，
此时，超几何分布可以用二项分布近似.
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